小学奥数：数学题型与解题思路11-20讲

11、有关数的法则或方法

【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的

读、写方法，见小学数学课本，此处略。）

“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二

成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为

十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。

“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”

~“％。”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7%。”，读作“千

分之七”。

【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幕来表示一个数

的方法，叫做“科学记数法”。

利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“aXlO0

（iWaWlO,n是整数）”的形式。例如:

25700,把小数点向左移动四位，得K2.57<10,但2.57比25700小了10000

倍，所以

25700=2.57X10'o

0.00867,把小数点向右移动三位,得1<8.67V10,但8.67比0.00867大

了1000倍，所以

o

000867=——=8.67X10-\

1000

【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一

法三种。

四舍五入法——省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍

去的尾数的最高位上的数是4,或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去

的尾数的最高位上的数是5,或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前

一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。

例如，把8,654,000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五

入保留两位小数约等于7.62；把2,873,000,000四舍五入到亿位，约等于29

亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。

去尾法——要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法

叫做“去尾法”。

1

3

例如，y=0.428571428571……。若用去尾法，保留二位小数的近似值为

，=0.42,保留三位小数的近似值为，=0.428,……o

进一法——省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向

它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。

3

例如，用进一法处理亍=0.428571428571……时，取一位小数的近似值

是，3=0.5；取两位小数的近似值是（3=0.43；取五位小数的近似值是3

0.42858c

显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，

而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。

例如，把1.5972四舍五入,保留两位小数得1.60,即如5972—1.60,最后的“0”

不可去掉，否则，它只精确到十分位了。

【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。

（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质

数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。

（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来

判断。

例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、

11、13、17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的

乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数

整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。

由161+7=23,可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。所以，

161是合数，而不是质数。

由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197+17=11...10,这时

的除数17已大于不完全商11,于是可以肯定：197是质数，而不是合数。因为

197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。假定有，商也一定比11小。这

就是说，197同时还要有比11小的约数。但经过试除，比11小的质数都不能整

除197,这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。

【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

2

(1)分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连

乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求2940、756和168的最大公约数：

2940=22X3X5X72,

756=22X33X7,

168=2'X3X7；

，(2940,756,168)=22X3X7=84,

注:“(2940,756,168)=84”的意思，就是“2940、756和168的最大

公约数是84”。

(2)检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本

介绍的那一种一般的求法，此处略。

(3)辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：

用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现

两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

例如，求792和594的最大公约数。

(792,594)=(792-594,594)

=(198,594)=(594-198,198)

=(198,396)=(198,396-198)

=(198,198)=198,

二(792,594)=198o

用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，

具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样

逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公

约数。

例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。

(1260,1134,882,1008)

=(1260-1134,882,1008-882,1134-882)

=(126,126,882,252)

3

=（126,126,882-126X6,252-126）

=（126,126,126,126）=126,

二（1260,1134,882,1008）=126。

（4）辗转相除法（欧几里得算法）。

用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：

光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；

再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；

又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；

这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。这时，余数“0”

前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦

的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公约数。具体做法是：先将437和551并排写好,

再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：

（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为

1140

437551

437

（2）用余数114去除437,把商数“3”写在比114大的数（437）的线外,

并求得余数为95。

3437

342

95

（3）用余数95去除114,把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余

数为19o

4

(4)用余数19去除95,把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余

数为0。

(5)当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19,就是437和551

的最大公约数。

又如，求67和54的最大公约数，求法可以是

由余数可知，67和54的最大公约数是1。也就是说，67和54是互质数。

辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。

早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公

约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的

发现要早600年以上。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的

最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与

第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大

公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。

【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一

组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得

整数。

求一组分数的最大公约数的方法是：

(1)先将各个分数中的带分数化成假分数；

(2)再求出各个分数分母的最小公倍数a；

5

(3)然后求出各个分数分子的最大公约数b；

(4)a作分母，b作分子，？即为所求。

a

例如，求5三、2m和6x的最大公约数；

689

先将各分数分别化成假分数，得当、3和等；

6o9

再求出三个分母的最小公倍数，得72；

然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；

以72为分母，以7为分子，得《，击就是5联2羡和6^|•三个分数的最

72609

大公约数。即

5527

(5?28'69)=72°

【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。

(1)分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一

个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。

例如，求120、330和525的最小公倍数。

V120=23X3X5,

330=2X3X5X11,

525=3X&X7；

A[120,330,525]=23X3X52X7X11=46200

注:“[120,330,525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍

数是46200”。

(2)检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，

也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。

(3)先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数

与最小公倍数的乘积”，即

6

a•b=(a,b),[a,b]

所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约

数来求得。即

例如，求[42,105]。

2421052

4284(42,105)=21

-52T

[42,105”处泮=210

若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍

数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四

个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的

那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。

例如，求[300,540,160,720]

300X540162000

•.,[300,540]=

(300,540)60

=2700

2700X160_432000

[2700,160]=(2700,160)=20

=21600

21600X720

[21600,720]=

(21600,720)

1555200

720

21600

/.[300,540,160,720]=21600

【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一

组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个

分数的整数倍数。

7

求一组分数的最小公倍数，方法是：

（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；

（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；

（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；

（4）用a作分子，b作分母，得3:即为所求。

bb

例如，求55g25]和625的最小公倍数：

689

先将各带分数都化成假分数，得?、告和工；

689

再求各分数分子的最小公倍数，得

[35,21,56]=840；

然后求各分数分母的最大公约数，得

（6,8,9）=1

用840作分子，用1作分母，得拳，即840,840就是这三个分数的最

小公倍数。用式子表达出来，就是

552840

[5-T>2p,6-]=—j—=840

6891

【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、

分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方

法见小学数学课本，此处略。

化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如

8

0.19=0.191919……(1)

0.19X100=19.191919.........(2)

(2)-(1),得0.19X99=19。

・19

；.0.19=—o

99

又如，0.37X10=3.777……(1)

0.37XI00=37,777……(2)

(2)-(1),得0.37X90=37-3

.-37-33417

•.0.37=--------=—=—o

909045

由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：

(1)纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个

循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9,“9”的个数同循环节的位

数相同。

(2)混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数

点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组

成的数所得的差；分母的头几个数字是9,末几位数字是0,“9”字的个数同循

环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。

【分数化有限小数判断法】

(1)对于既约(最简)真分数;，如果它的分母只含有质因数2、5,即

b

分母b=2m-5\那么，这样的分数便可以化成有限小数。

若进一步研究，它又有以下的三种情况:

①在分母b=2皿♦5"中，当m=n时，分数:的分母就成为10的幕，即

b

aaa

b-2m*5n~Wr

例如,荒=吊=00”。

9

②在分母b=2m♦5〃中，当m〉n时，可以用5mx乘分数小二的分子

2♦J

和分母，即

m-nffi-nmn

-a-=------a-----=------a--»--5---------=--a--•--5-----=--a--•--5------

b2m.5n2m•5n.于-n2m.5mjgm

HI"111111X52275八…

例如‘丁寻=2苏5X5?=kS'

③在分母b=2m•5六中，当m〈n时，可以用2nH乘分数力、的分子

2♦□

和分母，即

n-mcn-m

aa2a•2a•2

b=2m•5n•2n'm2m10n

11_1111X2211X4

例如,可逆=丁=。

250=2X5350044

（2）对于既约（最简）真分数「如果它的分母或者不包含质因数2,

b

5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分

数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。

这里，又有以下的两种情况:

①当既约真分数:中的分母b与1。互质时，即分母b不包含质因数2

和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列

9,99,999,9999,.......

各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。

例如蔡，因为分母37与10互质，所以它能化成纯优环小数；又因为用

分母37去除9,99,999,9999,……,能整除的

最小的数是999,即

99937（即“999能被37整除”，""是整除符号；亦可逆读为“37能整除

999”）

10

也可以表示为37|999（即“37能整除999”，“|"也是整除符号;亦可

逆读为“999能被37整除”。）

这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个

数也是3个：

^■=0.513513513'……

37

=0.513

②当既约真分数;中的分母不仅含有质因数2,5,而且还含有2和5

b

以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的

个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列

9,99,999,9999,...

各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”

字的个数相同。

例如，落=03「:乂>■,，它的分母不仅含有2和5的质因数，而且还含

质因数11,所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3个（最

高乘方牙的指数为3）,循环部分的循环节数字是两个（11I99,“9”的个数

为2个）：

—-=0.120454545……

440

=0.12045

概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：

（1）若分母只含质因数2,5,则化得的小数是有限小数；

（2）若分母不含质因数2,5,则化得的小数是纯循环小数；

（3）若分母既含质因数2,5,又含2和5以外的质因数，则化得的小数是

混循环小数。

注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。

11

【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度,

叫做溶液的百分比浓度。求法是

百分比浓度=溶剂罐黑质量X100%

或者是百分比浓度=鬻|><]。。％

例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得的糖水

（溶液）的百分比浓度是

]=-7=0.2=20%

1+45

用对称关系找约数

【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用

约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：

（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就

是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成

对地和一个不漏地找出来。例如，找出36的全部约数：

因为36=&,6是所有约数的“中心数”。比中心数6小的约数很容易找到,

它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对

地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9

（与4对应）。如下图（图4.7）：

12349'121836

I—J1

II

图4.7

（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。

例如，找出102的全部约数：

因为102Vl02Vli2,所以可选10或11为“近似中心数”。然后找出比这

个近似中心数小的所有约数一一1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数

——102、51、34、17o如下图（图4.8）：

1236J________Ji73451102

图4.8

12

（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一

个约数。）

【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如

求24和36的最小公倍数。如图4.9：

图4.9

24和36的最小公倍数是24X3=72,或36X2=720

这样做的道理很简单。因为

72=12X2X3X2lx372,2义2X3X3|X2

=24X3=36X2

所以，用24乘以36独有的质因数3,或者用36乘以24独有的质因数2,

都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因

数以后，顺手画一个“义”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们

的最小公倍数。

又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：

2|2。-2|6tkL8

3讽

53103

图4.10

V20和12的最小公倍数是20X3=60,

60和18的最小公倍数是60X3=180,

.•.20、12和18三个数的最小公倍数便是180o

如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的

最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求

三个数的最小公倍数，也是可以的。

13

12、用补充数速算

末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0,而是98、

51等，我们可以用(100-2).(50+1)等来代替，这也可能使运算变得比较

简便、快速。一般地我们把100叫做98的“大约强数”，2叫做98的“补充

数”；50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它

的大约强(弱)数与补充数的差(和)，然后再进行运算，这种方法叫做“运用

补充数法”。例如

(1)387+99=387+(100—1)

=387+100—1

=486

1680-89=1680-(100—11)

=1680—100+11

=1580+11

=1591

4365-997=4365-(1000-3)

=4365-1000+3

=3368

69X9=69X(10-1)

=690-69

=621

69X99=69X(100-1)

=6900-69

=6831

87X98=87X(100-2)

=8700-87X2

14

=8700-200+26

=8526

13、一般应用题

【和差的问题】

例1六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁

班，其余三个班的总人数是134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数

少1人。四个班的总人数是。

（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。则乙、丙两班总

人数的3倍就等于（131+134-1）=264人。所以，乙、丙两班共有246+3=88（人）。

然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为

88+89=177（人）。

例2东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15

幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有

___幅。

（1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级

比六年级多1幅画。所以六年级共有12幅画。然后可求出其它年级的画共有

（15-12）幅，即3幅。

例3甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事。每人都认某一

个故事开始按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了

52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有个。

（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。

乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事

按顺序往后读，所以甲读了75个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了

上面12个故事。故答案是12个。

例4某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从

总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果

15

月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人1天为1个工作日），且无

1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共—人。

（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。）

讲析：到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为240

X30=7200（个）。

而8070-7200=870（个）。

可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。

设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a人做29天,

a人做28天，a人做27天，...a人做1天。

所以，（1+29）XaX294-2=870,可解得a=2。

故，共派到分厂的工人为2X30=60（人）。

【积商的问题】

例1王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5

倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每

小时加工多少个零件？

（1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题）

讲析：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，

比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18小

（2.5-1）=12（小时）o

原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）

于是，改进前每小时加工的便是1500+30=50（个），

改进后每小时加工的便是1500+12=125（个）。

例2现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如

果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。

原来两种硬币各有多少个？

（1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）

讲析：我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）

个。

16

由题意得：2(x+24)-?5=x-6o

解得：x=26,即5分币有26个。

于是，2分币便有

26+24=50(个)

循环小数

【循环小数化分数】

例1把L$9i化成分数，结果是o（《小学生数学报》第四届小

学数学竞赛试题）

讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与

循环节相同个数的9所组成。所以，答案是1黑。

999

例2化?为小数时，小数点后第89位以后的小数，可由哪一个分

104数

推出？

（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）

讲析：

因==0.93269230力，故知它是从小数点后面第四位开始循环的，每个

104循

环节有6位数字。

而（89-3）+6=14余2。即小数点后第89位以后的数是230769循环。

由=得，可知小数点后面第89位以后的小数，可由*推出。

【循环小数的计算】

例1HW3.008+5,0534+19—+8^-»

9999900

（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）

17

讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得

官士08,534-5,991,937l…

原}---+-c>-------F19A---+8O----=37©

99999009999900

例2图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位

的循环小数，Wni.892915929o那么,在所有这样的数中，最大的一个是

8

19

92

29

951

图5.3

（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.291892915,

9.189291592,9.291592918,9159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数

点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.291892915。再考

虑循环节，可知答案是9.2918§291$。

18

14、旋转变换

【旋转成定角】例如下面的题目：

“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶

点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：”大正方形的面

积比小正方形的面积大多少？”

图4.23图4.24

按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。

若将小正方形围绕圆心旋转45°,使原图变成图4.24,容易发现，小正方形的

面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大

(8X2)X(8X2)4-2

=16X164-2

=128(平方厘米)

图4.25图4.26

又如,如图4.25,求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）

表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方

形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°,就得到了一个由阴影部分组

成的半圆（如图4.26）,于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答

略）

【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样,

绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。

例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白

部分面积的求法，

19

图《27图428图4.29

计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不

妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°,得到图4.28;再继续旋转，得

到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以,

阴影部分面积是

4X3.14+2-(4+4)X4X2

=25.12-16

=9.12（平方厘米）

又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。

图4.30图4.31

将这个图从中间剪开，以。为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半

部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边

均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即

（44-2）2X3,144-2-2X24-2

=6.28-2

=4.28（平方厘米）

20

15、小数和分数

【小数问题】

例1某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65,原数是

______O

（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）

讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。

所以，原数为25.65+9=2.85。

例2甲、乙两个数之和是171.6,乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲

数是o

（1993年广州市小学数学竞赛试题）

讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10

倍。所以，乙数是171.66+（10+1）=15.6,甲数是15.6。

例3用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点,

使它变成小数，差就增加154.44,这个整数是o

（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

讲析：因为差增加154.44,所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即

这个整数比原数增加了99倍，由154.444-99=1.56可知，这个整数是156。

【分数问题】

例1一个分数，如果分母减2,约分后是工；如果分母加9,约分后

4

后是那么，原来的分数是o

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

讲析：

因为分子没有增减数，而3与5的最小公倍数为15,可得搭=之，

420

畀宗所以原来分数的分子一定是15的倍数。

21

分母减2与分母加9,它们的差是11,而21与20差为1,故应将II

与黄的分子分母同时扩大11倍之后，分母才相差口。从而可得

20X11+2=222,15X11=165。

原分数为券。

例2比9大，比刃、，分母是13的最简分数有个。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

1_6,5

讲析:

5噜

7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用

余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。

例3号，［是三个最简真分数。如果这三个分数的分子都加上

346

c,则三个分数的和为6。求这三个真分数。

（第三届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：由江+也+业=6,可以4a+3b+llc=72。

346

因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2,b只能取1、3,C只能取

1、50

经检验，a=2,b=3,c=5符合要求。故三个真分数分别是

346

例4地同时满足下列条件的分数共有多少个？

（1）大于!，并且小于2

0J

（2）分子和分母都是质数;

22

（3）分母是两位数。

请列举出所有满足条件的分数。

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

讲析：100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、

41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、

89,97共25个。要找出满足条件!<±<?的分数？，可以先确定分子，

6a5a

即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。

①b=2时，A<2<2_,那么a=ll；

12a10

②b=3时，,那么a=17；

18a15

③b=5时,,那么a=29；

30a25

777

④b=7时，,那么a=37,41；

42a35

⑤b=ll时，那么a=59,61；

66a55

⑥b=13时，,那么a=67、71、73；

78a65

⑦b=17时，,那么a=89,97；

102a85

所以，符合条件的分数有12个：

2357711111313131717

H'17'29'37'41'59'61'67'71'73'89'方。

23

16、特殊解题方法

【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种

情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就

是穷举法。

例1从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四

条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3.28）

图3.28

分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙

地到达丙地共有下列不同的路线。

图3.29

解：3X4=12

答：共有12条路线。

例2如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括

号）组成算式，能使结果等于24,那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、

8、9、10、11、12这九个数中，可用的有______个。（1992年小学数学奥林匹

克初赛试题）

分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。

4X(1+2+3)=24(5+1+2)义3=24

6X(3+2-1)=247X3十豆十2—24

8X3X(2-1)=249X3—1—2—24

10X2+1+3=2411X2+3-1=24

24

12X(3+1-2)=24

通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。

答：可用的数有9个。

例3从0、3、5、7中选出三个数字能排成个三位数，其中能被5

整除的三位数有个。(1993年全国小学数学竞赛预赛试题)

分析：根据题中所给的数字可知：

三位数的百位数只能有三种选择：

十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；

个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。

解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。

305,307,350,357,370,375；

503,507,530,537,570,573；

703,705,730,735,750,753

答：能排成18个三位数,其中能被5整除的有10个数。

图3.30

例4数一数图3.30中有多少个大小不同的三角形？

分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三

角形分成A、B、C、D四类。

A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；

B类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。6个

尖朝上，一个尖朝下。

25

C类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都

朝上。

D类：是最大的三角形，图中只有1个。

解：16+7+3+1=27（个）

答：图中有大小不同的三角形共27个。

【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数

学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分

抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明

白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的

规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。

给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一

点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“1”未知，就给

单位“1”设具体数值。

例1判断下列各题。（对的打错的打X）

（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（）

（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（）

分析：第（1）小题可设几个具体数进行分析：2的