2024届山东省普通高中数学高二下期末检测模拟试题含解析

2024届山东省普通高中数学高二下期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．642．已知的展开式中，含项的系数为70，则实数a的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．复数，则的共轭复数在复平面内对应点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为()A． B． C． D．5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6．如图所示是的图象的一段，它的一个解析式是（）A． B．C． D．7．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为A． B．C． D．8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420 B．210 C．70 D．359．已知向量，，若与垂直，则（）A．2 B．3 C． D．10．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（）A． B．-1 C． D．11．设，则的值为()A．2 B．2046 C．2043 D．－212．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式的第3项为______.14．已知，则最小值为________.15．将极坐标化成直角坐标为_________.16．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，直线：.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值．18．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设点的直角坐标为，过的直线与直线平行，且与曲线交于、两点，若，求的值.19．（12分）已知函数在处有极值.（1）求的解析式.（2）求函数在上的最值.20．（12分）已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．21．（12分）已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；(2)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．22．（10分）设函数的最小值为.（1）求实数m的值；（2）已知，且满足，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【题目详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【题目点拨】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题2、A【解题分析】

分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.详解：展开式的通项公式为：，由于，据此可知含项的系数为：,结合题意可知：，解得：.本题选择A选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．3、A【解题分析】

化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案．【题目详解】，在复平面内对应点为故选A【题目点拨】本题考查复数，属于基础题．4、A【解题分析】分析：根据双曲线的一条渐近线与直线平行，利用斜率相等列出的关系式，即可求解双曲线的离心率.详解：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，可得，即，可得，离心率，故选A.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.5、D【解题分析】

通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【题目详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6、D【解题分析】

根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T求ω，图象过（），代入求，即可求函数f（x）的解析式；【题目详解】由图象的最高点，最低点，可得A，周期Tπ，∴．图象过（），∴，可得：，则解析式为ysin（2）故选D．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．7、C【解题分析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为．点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口．8、A【解题分析】

将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【题目详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为当不同时：染色方案为不同的染色方案为：种故答案为A【题目点拨】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.9、B【解题分析】分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.详解：由题可得：故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.10、D【解题分析】

先对函数求导，根据是奇函数，求出，进而可得出曲线在点处切线的斜率.【题目详解】由题意得，.是奇函数，，即，解得，，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.【题目点拨】本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.11、D【解题分析】分析：先令得，再令得，解得结果.详解：令得令得=0因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.12、C【解题分析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【题目详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用二项式定理展开式，令可得出答案．【题目详解】的展开式的第项为，故答案为．【题目点拨】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．14、4【解题分析】

把所求式子看作两点间距离的平方，再根据直线与曲线位置关系求最值【题目详解】看作两点之间距离的平方。点A在直线上，点B在曲线上，取所以，即最小值为4.【题目点拨】本题考查两点间距离公式以及利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.15、【解题分析】

试题分析：由题意得，，所以直角坐标为故答案为：考点：极坐标与直角坐标的互化.16、12【解题分析】

由题得高一学生数为，计算即得解.【题目详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）17【解题分析】

（1）将直线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开，然后利用代入直线和曲线的极坐标方程，即可得出直线和曲线的普通方程；（2）由直线的普通方程得出该直线的倾斜角为，将直线的方程表示为参数方程（为参数），并将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，然后代入可得出答案．【题目详解】（1）由曲线：得直角坐标方程为，即的直角坐标方程为：.由直线：展开的，即．（2）由（1）得直线的倾斜角为.所以的参数方程为（为参数），代入曲线得：.设交点所对应的参数分别为，则.【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程的几何意义的应用，对于直线与二次曲线的综合问题，常用的方法就是将直线的参数方程与二次曲线的普通方程联立，利用韦达定理以及的几何意义求解．18、（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）.【解题分析】

（1）利用两角和的余弦公式以及可将的极坐标方程转化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；（2）求出直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），并设点、的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线普通方程联立，列出韦达定理，由，代入韦达定理可求出的值.【题目详解】（1）因为，所以，由，，得，即直线的直角坐标方程为；因为消去，得，所以曲线的普通方程为；（2）因为点的直角坐标为，过的直线斜率为，可设直线的参数方程为（为参数），设、两点对应的参数分别为、，将参数方程代入，得，则，.所以，解得.【题目点拨】本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.19、(1)(2)最大值为为【解题分析】分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.详解：（1）由题意：，又由此得：经验证：∴（2）由（1）知，又所以最大值为为点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20、（1）；（2）【解题分析】

试题分析:第(1)问,先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程;第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间.试题解析:，，，所以切点为（0，-2），∴切线方程为，一般方程为；（2），令，解得或，∴的单调递减区间为和.21、（1）；（2）【解题分析】试题分析：⑴由题意可知当时直线经过定点，设，即可求出曲线的普通方程；⑵将代入直线的参数方程，可求出直线的普通方程，将代入即可求得直线的极坐标方程，然后联立曲线：，即可求出直线与曲线的交点的极坐标解析：（1）直线经过定点