淮安市重点中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

淮安市重点中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种B．315种C．153种D．143种2．给定下列两个命题：①“”为真是“”为真的充分不必要条件；②“，都有”的否定是“，使得”，其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真3．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1:y=0.68x+a，计算其相关系数为r1，相关指数为R12.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2A．r1>0,C．a=0.12 D．4．设复数z满足，则z的共轭复数（）A． B． C． D．5．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．与复数相等的复数是（）A． B． C． D．7．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）.A． B． C． D．8．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）A． B． C． D．9．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（）A． B． C． D．10．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A． B． C． D．11．已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A． B． C． D．12．已知复数z=1+i1-i(i是虚数单位)，则A．-i B．-1 C．i D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________．14．已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数________．15．甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.16．已知向量满足：，，当取最大值时，______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线，为上的任意点．（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.18．（12分）已知，函数.（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间.19．（12分）已知（1）求及的值；（2）求证：（），并求的值.（3）求的值.20．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．21．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求化学原始分在区间的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列.（附：若随机变量，则，，.）22．（10分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.2、D【解题分析】

由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。【题目详解】对①，“”为真，则命题，都真，“”为真，则命题，至少一个为真，所以“”为真是“”为真的充分不必要条件，①为真命题；对②，全称命题的否定是特称命题，所以“，都有”的否定是“，使得”，②为真命题；故答案选D【题目点拨】本题考查命题真假的判定，属于基础题。3、B【解题分析】

根据相关性的正负判断r1和r2的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出R12和R2【题目详解】由图可知两变量呈现正相关，故r1>0,r2>0故A正确，B不正确.又回归直线l1:y=0.68x+a必经过样本中心点(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回归直线l2:y=bx+0.68必经过样本中心点所以b=0.44，也可直接根据图象判断0<b<0.68（比较两直线的倾斜程度），故D【题目点拨】本题考查回归分析，考查回归直线的性质、相关系数、相关指数的特点，意在考查学生对这些知识点的理解，属于中等题。4、B【解题分析】

算出，即可得.【题目详解】由得，，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.5、A【解题分析】

由得出函数的图象关于点成中心对称以及函数的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围．【题目详解】由可知函数的图象关于点成中心对称，且，所以，，所以，函数的周期为，由于函数为奇函数，则，则，作出函数与函数的图象如下图所示：，则，于是得出，，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，因此，实数的取值范围是，故选A．【题目点拨】本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题．6、C【解题分析】

根据复数运算，化简复数，即可求得结果.【题目详解】因为.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的运算，属基础题.7、C【解题分析】

根据题意，用间接法分析：先计算从90件产品中任取3件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案．【题目详解】解：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有种取法，则至少有一件是次品的取法有种；故选：C．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．8、C【解题分析】分析：题意所求情况分为两种，两白一红，两红一白，两种情况，列式为，除以总的事件个数即可.详解：3个球颜色不同，即分为：两白一红，两红一白，两种情况，列式为，总的事件个数为，概率为.故答案为：C.点睛：这个题目考差了古典概型的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.9、B【解题分析】

直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可．【题目详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时是否成立，即不等式为：；故选：．【题目点拨】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．10、C【解题分析】

运行程序，当时退出程序，输出的值.【题目详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.【题目点拨】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.11、B【解题分析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．12、D【解题分析】

先利用复数的除法将复数z表示为一般形式，于是可得出复数z的虚部。【题目详解】∵z=1+i1-i=1+i21-i1+i【题目点拨】本题考查复数的概念，解决复数问题，一般利用复数的四则运算律将复数表示为一把形式，考查计算能力，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据向量夹角为钝角，可知且，解不等式可求得结果.【题目详解】由题意可知：且解得：且，即本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为的情况，造成出现增根.14、【解题分析】

把复数对应的点的坐标代入直线上，由此得到复数，即可求出答案【题目详解】复数在复平面内对应的点为，代入直线，可得，解得：，故复数，所以复数的共轭复数；故答案为【题目点拨】本题主要考查复数对应点的坐标以及与共轭复数的关系，属于基础题。15、300【解题分析】

分层抽样中，样本容量与总体容量是成比例的．由此计算．【题目详解】设乙设备生产的产品总数为件，则，解得．故答案为：300.【题目点拨】本题考查分层抽样，属于基础题．16、【解题分析】

根据向量模的性质可知当与反向时，取最大值，根据模长的比例关系可得，整理可求得结果.【题目详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析．（2）的最小值为【解题分析】

试题分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论，写出距离的乘积，再利用点在双曲线上得出定值；（2）用点点距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函数的最值，即可求得结论．（1）设点，由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离分别为和，则，得证；（2）设点，则当时，有最小值.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函数的和差公式和二倍角公式将化为，然后求出即可【题目详解】（1）又，.（2），，，的单调递增区间为【题目点拨】解决三角函数性质的有关问题时应先将函数化为基本型.19、（1）；（2）见解析；（3）.【解题分析】

（1）用赋值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左边用阶乘展开可证．再由己证式结合裂项求和，可求解（3）法一：先证公式再用公式化简可求值．法二：将两边求导，再赋值x=1和x=-1可求解．【题目详解】（1）当时，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）证明：因为，由二项式定理可得所以因为，所以（3）法一：由（2）知因为，所以+则，所以法二：将两边求导，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【题目点拨】本题考查二项式定理中的赋值法求值问题，这是解决与二项式定理展开式中系数求和中的常用方法．20、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即，由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，∴，∴M的轨迹C的方程为．（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21、（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）见解析【解题分析】

（Ⅰ）根