山东省齐鲁名校2024届数学高二下期末经典模拟试题含解析

山东省齐鲁名校2024届数学高二下期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.若与有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．或2．已知集合满足，则集合的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．04．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为()A． B． C． D．5．给出下列命题：①过圆心和圆上的两点有且只有一个平面②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点③若直线上有无数个点不在平面内，则④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行⑤垂直于同一个平面的两条直线平行其中正确的命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．46．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．7．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．C．或 D．8．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是()A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．2 D．410．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．711．已知命题，，那么命题为（）A．， B．，C．， D．，12．抛物线的焦点坐标为A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量，若，则__________.14．设抛物线的准线方程为__________.15．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为___16．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:34562.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．18．（12分）已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）若且对任意的，恒成立，求的最大值．19．（12分）如图，在四边形中，，．已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的长．20．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求函数在的最值.21．（12分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：(1)恰好有5节车厢各有一人；(2)恰好有2节不相邻的空车厢；(3)恰好有3节车厢有人．22．（10分）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先把曲线，的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若与有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a的范围即得解.【题目详解】因为曲线的极坐标方程为即故曲线的直角坐标方程为：.消去参数可得曲线的一般方程为：，由于，故如图所示，若与有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距当直线与半圆相切时由于为上半圆，故综上：实数的取值范围是或故选：D【题目点拨】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2、B【解题分析】

利用列举法，求得集合的所有可能，由此确定正确选项.【题目详解】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能.故选：B【题目点拨】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.3、C【解题分析】分析：利用导数法，可得当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，结合方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．详解：∵函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，则x=±1，当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；故当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故选：C．点睛：本题考查的知识点是利用导数法研究函数的极值，方程根的个数判断，难度中档．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含参的函数，注意让含参的函数式子尽量简单一些。4、D【解题分析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.5、B【解题分析】

依照立体几何相关知识，逐个判断各命题的真假。【题目详解】在①中，当圆心和圆上两点共线时，过圆心和圆上的两点有无数个平面，故①错误；在②中，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线平行或异面，都没有公共点，故②正确；在③中，若直线上有无数个点不在平面内，则与相交或平行，故③错误；在④中，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故④错误；在⑤中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线平行，故⑤正确．故选．6、D【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【题目详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【题目点拨】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。7、A【解题分析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．8、D【解题分析】

取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.【题目详解】取中点，连接，如下图所示：为边上的高，即为二面角的平面角，即且平面为正三角形为正三角形又为中点平面，平面又平面即为点到的距离又，本题正确选项：【题目点拨】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.9、A【解题分析】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱，由三视图的性质可知三棱柱的底面面积，高，所以，,所以，几何体的体积为.故选A.【题目点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10、D【解题分析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【题目详解】在中，，，，点满足，可得则==【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．11、C【解题分析】特称命题的否定为全称命题，则为，，故选C．12、A【解题分析】

根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【题目详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【题目点拨】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】

由向量平行关系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【题目详解】因为，所以，解得，则，故．【题目点拨】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题．14、【解题分析】

由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.【题目详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.15、【解题分析】设正方形的边长为1,则扇形的面积为，所以，它落在扇形外正方形内的概率为.16、4【解题分析】，由的图像在处的切线方程为，易知，即，，即，则，故答案为4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析;(2);(3)当时，万元.【解题分析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算，，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时，的值：【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：(1)(2)；所求的线性回归方程：(3)当时，万元18、（1）极小值为，无极大值；（2）1.【解题分析】

（1）将代入，求其单调区间，根据单调区间即可得到函数的极值.（2）首先将问题转化为，恒成立，设，求出其单调区间和最值即可得到的最大值.【题目详解】（1）当时，，易知函数在上为单调增函数，及所以当，，为减函数.当，，为增函数.所以在时取最小值，即，无极大值.（2）当时，由，即，得.令，则.设，则，在上为增函数，因为，，所以，且，当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增．所以，因为，所以，，所以，即的最大值为1．【题目点拨】本题第一问考查利用导数求函数的极值，第二问考查利用导数解决恒成立问题，属于中档题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）在中，由正弦定理可得答案;（Ⅱ）由结合（Ⅰ）可得，在中，由余弦定理得BC值.【题目详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．因为，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因为，所以．在中，由余弦定理，得．因为所以，即，解得或．又，则．【题目点拨】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题.20、（1）；（2），【解题分析】

（1），可得到，即可求出的值；（2）由可判断的单调性，从而可求出函数在的最值.【题目详解】（1），则，．（2）的定义域为，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，∵，，且，∴．【题目点拨】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.21、（1）3602401；（2）360016807；（3）【解题分析】

(1)5人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n=75=16807，恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数m(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数m2=A