2024届广东省广州市岭南中学数学高二下期末调研试题含解析

2024届广东省广州市岭南中学数学高二下期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，且，则的最小值为（）A． B．9 C．10 D．02．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（）A． B． C． D．3．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．设集合，若，则（）A．1 B． C． D．-15．某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有A．192种 B．144种 C．96种 D．72种6．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．7．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数为（）A． B． C． D．8．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9．复数满足，则（）A． B． C． D．10．在区域内任意取一点，则的概率是（）A．0 B． C． D．11．对两个变量x，y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），则下列说法中不正确的是A．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.12．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.14．设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为__________．15．在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为__________．16．抛物线的焦点坐标是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.18．（12分）已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.19．（12分）已知点在椭圆C:上，A，B是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线CD的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD相切，且切点为线段CD的中点，求该圆的方程.20．（12分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.21．（12分）已知复数，其中为虚数单位，.（1）若，求实数的值；（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；（3）当时，求证：对任意，恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用柯西不等式得出最小值．【题目详解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．当且仅当xy即xy=时取等号．故选：B．【题目点拨】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．2、D【解题分析】

先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【题目详解】函数，定义域为；则，即为奇函数，，函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，所以不等式变形可得，即，则，解不等式组可得，即，故选：D.【题目点拨】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.3、C【解题分析】

先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【题目详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【题目点拨】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．4、A【解题分析】

由得且，把代入二次方程求得，最后对的值进行检验.【题目详解】因为，所以且，所以，解得.当时，，显然，所以成立，故选A.【题目点拨】本题考查集合的交运算，注意求出参数的值后要记得检验.5、B【解题分析】

由题意知两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把两个节目排在号的位置上，也可以排在号的位置或号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个元素全排列.【题目详解】由题意知两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，两个节目可以排在两个位置，可以排在两个位置，也可以排在两个位置，所以这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有种不同的排法，故选B.【题目点拨】本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6、A【解题分析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行7、A【解题分析】

先由复数的除法，化简z，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【题目详解】因为，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.8、A【解题分析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A.9、C【解题分析】

利用复数的四则运算可得，再利用复数的除法与减法法则可求出复数.【题目详解】，，故选C.【题目点拨】本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题．10、C【解题分析】

求得区域的面积，x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案．【题目详解】根据题意，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是；故选C．【题目点拨】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．11、C【解题分析】由样本数据得到的回归方程必过样本中心，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。故选：C.12、D【解题分析】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果【题目详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.【题目点拨】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力14、【解题分析】

由切线的倾斜角范围为，得知切线斜率的取值范围是，然后对曲线对应的函数求导得，解不等式可得出点的横坐标的取值范围.【题目详解】由于曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是，则切线斜率的取值范围是，对函数求导得，令，即，解不等式，得或；解不等式，即，解得.所以，不等式组的解集为.因此，点的横坐标的取值范围是.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查切线的斜率与点的横坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题．15、1【解题分析】分析：可化为，利用点到直线：，的距离为2，求出m的值.详解：可化为，点到直线：，的距离为2，，又，.故答案为：1.点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．16、【解题分析】抛物线即，，所以焦点坐标为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)的直角坐标方程是.直线的普通方程为.(2).【解题分析】

（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.【题目详解】解：（1）由，得，将互化公式代上式，得，故圆的直角坐标方程是.由，得，即.所以直线的普通方程为.（2）设点.由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.联立，解得，或.故点的直角坐标是.【题目点拨】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．18、.【解题分析】试题分析：因为，可命题为真时，又由命题为时，即可求解实数的取值范围.试题解析：因为，所以若命题为真，则.若命题为真，则，即.因为为真，所以.19、（1）（2）【解题分析】

（1）联立方程解出ab（2）根据题意设出直线CD,联立方程得到两根之和与两根之积，再利用中点加垂直，解出参数．【题目详解】（1）依题意有：∴，∴（2）设CD：由得设，，CD中点则，∴，∴Q（，）又EQ⊥CD∴∴∴∴∴该圆的方程为.【题目点拨】本题综合考查椭圆、圆、直线的位置关系，属于中档题．20、（I）；（II）证明见解析.【解题分析】

（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.【题目详解】（I），，，，猜想.（II）证明：当时，，猜想成立；假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时猜想成立.综上，对于一切均成立.【题目点拨】本题考查抽象函数求值与归纳猜想.21、（1）（2）【解题分析】

（1）先进行化简，结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可．（2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．【题目详解】解：（1）由题意，根据复数的运算，可得，由，则，解得.（2）由在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即.【题目点拨】本题主要考查复数的计算以及复数几何意义的应用，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题．22、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.（2）求导，取导数为0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.【题目详解】（1）当时，．∴∴，又∵