双曲线知识点总结

双曲线知识点

指导教师：郑军

双曲线的定义：

1.第一定义：

到两个定点£与£的距离之差的绝对值等于定长（<出£|）的点的轨迹

（仍用-归鸟|=2。<闺用（〃为常数））这两个定点叫双曲线的焦点.

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2aV|E网.

当|姐|一|她|=2a时，曲线仅表示焦点内所对应的一支；

当|姐|一1/阀=—2a时，曲线仅表示焦点E所对应的一支；

当2a=|££|时，轨迹是一直线上以£、K为端点向外的两条射线；

当2a>|££|时，动点轨迹不存在.

2.第二定义：

动点到一定点尸的距离与它到一条定直线1的距离之比是常数e（e>l）时，这个动点

的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线/叫做双曲线的准线

图8—18

二、双曲线的标准方程:

/-R=~a>。，b>0）（焦点在x轴上）;

彳一彳=1（a>0,b>0）（焦点在y轴上）；

ab

1.如果/项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果V项的系数是正数，则焦点在y

轴上.a不一定大于b.

2222

2.与双曲线二-2=1共焦点的双曲线系方程是4---J=1

a~b~a+kb--k

22

3.双曲线方程也可设为：二-匕=1（加〃>0）

mn

22

例题：已知双曲线。和椭圆土+匕=1有相同的焦点，且过尸（3,4）点，求双曲线。的

169

轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：

1点与双曲线：

点P（x（）,%）在双曲线—5■—当'—1（。>0,Z?>0）的内部O—y->1

ab~ab~

2222

点P（x。,%）在双曲线三-1=13〉0/>0）的外部=乌-四<1

a"bab"

2222

点尸（X（）,%）在双曲线—z--=1（〃>0,/?>0）<=>—=1

abarh~

2直线与双曲线：

（代数法）

22

设直线/:>=米+加，双曲线=-二=1（。>0力>0）联立解得

a~扛

（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0

1）相=0时，-v*直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）;

aa

hh

k>~,k<-~,或k不存在时直线与双曲线没有交点；

aa

2）加w0时，

攵存在时，

若02-a2k2=0

k^±-,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若--a2k2w0,A=（-2a2mk）2-4（Z?2-a2k2）（-a2m2-a2b2）

=4a2h2（m2+b2-a2k2）

△>0时，加2+82一〃左2>0,直线与双曲线相交于两点；

△<0时，m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离,没有交点；

△=0时机2+从一储公=0,公='_挈_直线与双曲线有一个交点;

a

若左不存在，-a(加<a时，直线与双曲线没有交点；

机>a或m<-a直线与双曲线相交于两点；

3.过定点的直线与双曲线的位置关系：

22

设直线l:y=kx+m过定点P(x0,y0),双曲线j=l(a>0,b>0)

ab"

1).当点P(%,%)在双曲线内部时：

--<k<~,直线与双曲线两支各有一个交点；

aa

左=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

女〉2或A<—2或左不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

aa

2).当点尸(七,打)在双曲线上时：

%=±2或女=号1,直线与双曲线只交于点P(x°,y°)；

aa%

hh

——<左<一直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；

aa

k>^~(%w0)或(%w0)或％<-2或我不存在,

a-y0aay0a

直线与双曲线在一支上有两个交点；

当%H0时，

%=±g或左不存在，直线与双曲线只交于点p(x。,打)；

a

%>2或％<一2时直线与双曲线的一支有两个交点；

aa

-2<A<2直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；

aa

3).当点P(x0,九)在双曲线外部时：

当一(0,0)时,

--<k<~,直线与双曲线两支各有一个交点；

aa

或人或%不存在，直线与双曲线没有交点；

aa

当点加w0时，

k=±h时,过点p(x°,%)的直线与双曲线相切

攵=±2时，直线与双曲线只交于一点；

a

几何法：直线与渐近线的位置关系

2

例：过点P（0,3）的直线/和双曲线C:x2-2L=1,仅有一个公共点，求直线/的方

4

程。

四、双曲线与渐近线的关系：

22

1.若双曲线方程为与=1（“＞0乃〉0）

arb，

22

n渐近线方程：4=0oy=±2x

crb-a

22

2.若双曲线方程为匕-二=1（a＞0,b＞0）

a~b~

22

n渐近线方程：4-[=0y=±，

a2b2b

3.若渐近线方程为^=±2》0±±2=0

aab

22

n双曲线可设为0-2=九，XwO.

ab-

22

4.若双曲线与二-二=1有公共渐近线

a

22

则双曲线的方程可设为三-2=九（九＞0,焦点在x轴上，X＜0,焦点在y轴

ab-

上）

五、双曲线与切线方程：

22

1.双曲线=-4=1（。〉0力＞0）上一点。（司,％）处的切线方程是与-理=1.

a~b~ab

22

2.过双曲线「-2=1（。＞0力＞0）外一点P（x。,%）所引两条切线的切点弦方程是

ab

22

3.双曲线与=1（。〉0力＞0）与直线Ar+8），+C=0相切的条件是A2a2-82k=。2.

a"b~

六、双曲线的性质：

标准方程（焦点在X轴）

标准方程（焦点在y轴）

22

双曲线—7—当"=1（。＞0,Z?＞0）

ab

22

与-二=1(。>0/>0)

ab~

第一定义：平面内与两个定点片，K的距离的差的绝对值是常数(小于1耳6|)的

点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

｛用眼用一眼闾=为｝(2“<出国)

定义/Ax

第二定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离的比是常数e,当e>l时，

动点的轨迹是双曲线。定点/叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数

eCe>l)叫做双曲线的离心率。

\

范围国之〃，y£R|)归〃，xeR

对称轴X轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为26

对称中

原点。(0,0)

心

耳(―c,0)F(C,0)6(o,-c)与(0,c)

隹占坐2

标

焦点在实轴上，焦距：闺闻=2c

顶点坐(-〃，0)(〃，0)(0,-a,)(0,a)

标

离心率e=-(e>l),c2=〃2,e越大则双曲线开口的开阔度越大

a+b

X=±《

准线方cc

程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：生

C

顶

点到

的

准

线顶点A(4)到准线4(4)的距离为

C

距

离

顶点A|(4)到准线4(Z,)的距离为”

C

隹占至U焦点6(尸2)到准线4(4)的距离为c_《=£

CC

准线的

距离焦点£(招)到准线4(A)的距离为《+C

C

渐近线1（虚）,b/虚、

y=±b-xV—;x=±-y（.）

方程a实a实

共渐近2222

线的双—y—=k（攵WO）二-J=k（女工0）

222

曲线系/hab

方程

22

双曲线5-/=1与直线丁=行+匕的位置关系：

’22

工上一1

直线和利用/一"转化为一元二次方程用判别式确定。

双曲线y=kx+b

的位置

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB的弦长=J1+炉+/)2-4用工2

通径：

曲

过

双

罟芳=1或利用导数

线

上

一写-岑=1或利用导数

的

点

切a2b2

线

七、弦长公式：

若直线y=Ax+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且不当分别为A、B的横坐标，则

1^1=J(X|一工2『+(%-%)2

|AB|=52+1归一九21=+1+%2『一4工臼=J1+/,若%,%分别为A、B的纵

坐标，则|AB|=Jp-+1\y}-y2\=J'+Q(y+%)2-盯必。

2

通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长|AB|=2£h-。

若弦AB所在直线方程设为x=，则|AB|=H记-刃o

特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解,

v-22

例：直线y=x+l与双曲线二-v匕=1相交于AB两点，则A8=_____________

23

八、焦半径公式：

22

双曲线j-4=l(a>0,b>0)上有一动点

a'b'

当M(xn,%)在左支上时I"用=-exQ-a,\MF2\=-ex.+a

当M(x0,%)在右支上时I吗|=*,+a,|MF21=倏-a

注：焦半径公式是关于飞的一次函数，具有单调性，当在左支端点时l"KI=c-。，

\MF2\^c+a,当在左支端点时也片|=c+a,\MF2\=c-a

九、等轴双曲线：

22

^-^7=1(a>0,b>0)当。=人时称双曲线为等轴双曲线；

ab

则：1.a-b；

2.离心率e-V2；

3.两渐近线互相垂直，分别为y=±x；

4.等轴双曲线的方程=入，丸。0；

5.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

十、共加双曲线：

1.定义:以一知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共

掘双曲线，通常称它们互为共也双曲线.

2.方程：

3.性质：

共扼双曲线有共同的渐近线;共朝双曲线的四个焦点共圆.

它们的离心率的倒数的平方和等于1。

22

j-勺=1(a>0;b>0)的焦点为居与己，且p为曲线上任意一点，4F\PF，2=26。

则APGB的面积S=质。％

焦点三角形面积公式：S^PF2=b-cotp(^=ZF,PF2)

双曲线

1.点P处的切线PT平分APFFz在点P处的内角.

2.PT平分APFE在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直

径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P

在左支)

22

5.若外(%,%)在双曲线=-2=1(a>0,b>0)上，则过外的双曲线的切线方程是

ab

22

6.若《(%,%)在双曲线二-[=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切

ah~

点为Pi、P2,则切点弦PR的直线方程是黑-浑=1.

a~b

22

7.双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F”F,点P为双曲线上任意一

a：b2

8.点6=7,则双曲线的焦点角形的面积为5她小=〃cot乙.

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连

结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF_LNF.

10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、、A,为双曲线实轴上的顶点，

AF和AzQ交于点M,A2P和AQ交于点N,则MFLNF.

22

11.AB是双曲线=-4=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(%,yo)为AB的中点,

ab"

则长城火.二空，即K"空。

"oaJo

r2v2

12.若玲(公,先)在双曲线f-二=1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是

ab~

-x%一二姬

a2b2~a2b21