天津市河西区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题

天津市河西区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述：①点关于轴的对称点的坐标是；②点关于平面的对称点的坐标是；③点关于轴的对称点的坐标是；④点关于原点的对称点的坐标是．其中正确的个数是（

）A．3 B．2 C．1 D．02．空间四边形中，，，，则等于（

）A． B． C． D．3．过点的直线的斜率等于1，则的值为A．1 B． C．2 D．4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（

）A．（－∞，－2）∪ B．C．（－2，0） D．5．已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（）A． B．1 C．2 D．6．若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为A． B． C． D．7．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（）A． B． C． D．8．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关9．若是直线上的两点，那么间的距离为（

）A． B．C． D．二、填空题10．已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为.11．如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少.三、双空题12．已知直线和平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角，（用含的代数式表示）.（用含的三角函数式表示）四、填空题13．已知点，和直线，动点在直线上，则的最小值为．14．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为．五、双空题15．两相交圆与的公共弦所在的直线方程为，以公共弦为直径的圆的方程为.六、证明题16．已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程．七、解答题17．已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求k．八、问答题18．已知两点为定点，动点到两点的距离比是常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.九、证明题19．直三棱柱中，，为的中点，为的中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．十、解答题20．如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若求椭圆离心率的值.参考答案：1．C【分析】根据点关于坐标轴对称点的特点可判断①③的正误，利用点关于坐标平面对称点的特点可判断②的正误，利用关于原点的对称点的特点可判断④的正误.【详解】空间直角坐标系中，点.对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误；对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误；对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误；对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确；综上知，正确的个数是1.故选：C.2．B【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得.故选：B.3．A【分析】利用直线的斜率公式计算.【详解】因为直线的斜率为1，所以，解得；故选：A．4．D【解析】整理方程得＋（y＋a）2＝1－a－，解不等式1－a－＞0即得解.【详解】由题得方程为＋（y＋a）2＝1－a－因为方程＋（y＋a）2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.故选：D【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．C【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.6．C【详解】由题意可知：.本题选择C选项.7．C【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.【详解】如图所示：，，由椭圆定义得.①在中，.②由①②得，则，所以椭圆C的方程为.故选：C.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解.8．B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，，，故选：B【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题9．A【分析】由两点间距离公式计算后结合点在直线进行化简．【详解】由题意，，故选：A．10．或【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论．【详解】焦点在轴时，，，长轴长为,焦点在轴时，，，长轴长为,故答案为：或．11．【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得．【详解】如图，矩形是货车截面图，，则，故答案为：．12．或【分析】讨论直线的方向向量与平面的法向量夹角、分别确定直线与平面的夹角与的关系，再应用诱导公式求.【详解】当时，直线与平面的夹角，则；当时，直线与平面的夹角，则；综上，.故答案为：或，13．【分析】找关于的对称点，可得的最小值为【详解】设关于的对称点为则，解之得故连接交直线于点，如图所示则此时取得最小值为故答案为：14．【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用坐标表示的空间向量求出点F到平面A1D1E的距离.【详解】取射线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．设平面A1D1E的法向量为=(x，y，z)．则即，令z＝2，则x＝1，得=(1，0，2)，又＝，所以点F到平面A1D1E的距离.故答案为：【点睛】点到平面的距离的问题，有共点三直线两两垂直，以建立坐标系求解最佳.15．【分析】将两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程；设所求圆的方程为：，得圆心，代入直线，求解即可.【详解】解：将与的方程相减，得，即两圆的公共弦所在直线方程为：；因为不在直线上，所以设所求圆的方程为：，即：，其圆心，因为圆心在直线上，所以，解得，故所求方程为，即.故答案为：；16．【分析】设出直线方程的斜截式方程，求出直线在两条坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式求解直线在y轴上的截距，从而可得答案．【详解】设直线的方程为，取，得，所以和坐标轴围成面积为，解得．所以直线的方程为，即．【点睛】本题考查了直线方程的一般式，训练了斜截式和一般式的互化，是基础题．17．(1)或(2)(3)或【分析】（1）由，可得存在唯一实数，使得，再结合空间向量的模的坐标公式即可得解；（2）根据空间向量夹角的坐标公式计算即可；（3）由与互相垂直，可得，再根据空间向量数量积的坐标公式即可得解.【详解】（1）由题知，因为，则存在唯一实数，使得，即，又因为，所以，解得，故或；（2）由题知，，，所以；（3）因为，，所以，，又与互相垂直，所以，解得或，所以或．18．答案见解析．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，设，则求出点轨迹方程，然后由方程确定曲线形状．【详解】建立如图所示的坐标系，设，设，则由题意得，所以，化简得当时，即，点的轨迹方程是，其轨迹是直线（轴）；当且时，点的轨迹方程是，点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆.19．(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可利用法向量与方向向量垂直证明，（2）利用法向量与直线的方向向量的夹角即可求解线面角，（3）根据平面法向量的夹角即可求解面面角大小.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面,所以，且，则，平面，则平面，平面，故，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，，,，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.（2）由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，.令直线与平面所成角为，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（1）可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，则，令平面与平面所成二面角为，由图可知，所以，即平面与平面所成二面角的余弦值为.20．（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程的关系式，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点的坐标，利用建立斜率之间的关系，解方程即可求出的值.试题解析：设椭圆的焦距为，则.（1），又,故,点在椭圆上，，解得,故所求椭圆的方程为.（2）在直线上，直线的方程为,解方程组得点的坐标为,又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为，直