2024届江西省新余四中数学高二第二学期期末检测试题含解析

2024届江西省新余四中数学高二第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线（为参数）上与点的距离等于的点的坐标是A． B．C．或 D．或2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C．60 D．723．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）A．24种 B．16种 C．12种 D．10种4．若且，且，则实数的取值范围（）A． B．C．或 D．或5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．6．设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为（）A．0 B．1 C．2 D．38．的外接圆的圆心为，，，则等于（）A． B． C． D．9．设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A． B． C． D．10．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A． B． C． D．11．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．12．已知等差数列的前项和为，，，则（）A．10 B．12 C．16 D．20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正三棱柱中，已知它的底面边长为10，高为20，若P、Q分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小为_________（结果用反三角函数表示）．14．已知集合，若则集合所有可能的情况有_________种.15．设向量，，且，则的值为__________．16．已知正方体的棱长为4，点为的中点，点为线段上靠近的四等分点，平面交于点，则的长为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围．18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．20．（12分）对于给定的常数,设随机变量.（1）求概率.①说明它是二项式展开式中的第几项；②若,化简：；（2）设，求，其中为随机变量的数学期望.21．（12分）已知数列，的前n项和分别为，，，且.(1)求数列的前n项和；(2)求的通项公式.22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程和的普通方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

直接利用两点间的距离公式求出t的值，再求出点的坐标.【题目详解】由，得，则，则所求点的坐标为或.故选D【题目点拨】本题主要考查直线的参数方程和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、D【解题分析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．3、C【解题分析】

根据每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【题目详解】每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，故该十字路口行车路线共有（种）故选：C【题目点拨】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.4、C【解题分析】试题分析：根据题意，由于且，且成立，当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，，故可知范围是，综上可知实数的取值范围C考点：不等式点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题．5、A【解题分析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.6、B【解题分析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减．因为,所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为∪，故应选．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集．7、B【解题分析】

先由题意得到的可能取值为，分别求出其对应概率，进而可求出其期望.【题目详解】由题意，的可能取值为，由题中数据可得：，，，所以.故选B【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型.8、C【解题分析】

，选C9、D【解题分析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．10、C【解题分析】分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即．故选C．点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，通过研究的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．11、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.12、D【解题分析】

利用等差数列的前项和公式以及通项公式即可求出.【题目详解】，，，，故选：D【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解题分析】

作出两异面直线所成的角，然后在三角形求解．【题目详解】取中点，连接，∵是中点，∴，∴异面直线与所成的角为或其补角．在正三棱柱中，，则，，∴，，，∴，∴异面直线与所成的角的余弦为，角的大小为．故答案为．【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出两条异面直线所成的角，然后通过解三角形得出结论．方法是根据定义，平移其中一条直线使之与另一条相交，则异面直线所成的角可确定．平行线常常通过中位线、或者线面平行的性质定理等得出．14、【解题分析】

通过确定X,Y,Z的子集，利用乘法公式即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知，由于，可知Z共有种可能，而有4种可能，故共有种可能，所以答案为128.【题目点拨】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.15、【解题分析】分析：先根据向量垂直得，再根据两角差正切公式求解.详解：因为，所以,因此点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：16、1【解题分析】

作的中点，连接，，得四边形为平行四边形即可求解【题目详解】作的中点，连接，，易知.又面面故，所以，由于，所以四边形为平行四边形，所以.故答案为1【题目点拨】本题考查点线面的位置关系及线段的计算，考查面面平行的基本性质，考查空间想象能力和运算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，得出切点坐标，利用导数求出，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；（2）由，即，将问题转化为，然后利用导数求出函数在区间上的最大值，可求出实数的取值范围．【题目详解】（1），，在处的切线方程为：，即；（2），即，令，得.时，，时，.在上减，在上增，又时，的最大值在区间端点处取到.，，，在上最大值为，故的取值范围是：.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于中等题．18、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出，将已知等式代入即可求出的值；（2）由可求出的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.试题解析：（1）由，得，根据余弦定理得；（2）由，得，∴，，∴．19、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【题目详解】（1）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；【题目点拨】本题考查导数的运用，考查利用导数求函数单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．20、(1);①;②;（2）.【解题分析】

(1)由二项分布的通项公式可得答案；①对比二项展开式可得项数；②将展开对比可得答案；（2）通过二项分布期望公式即得答案.【题目详解】(1)由于随机变量，故；它是二项式展开式中的第项；若，则，所以；（2）由（1）知，而，故，，所以.【题目点拨】本题主要考查二项分布与二项式定理的联系，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.21、（1）（2）【解题分析】

（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法可求出数列的通项公式．【题目详解】（1）因为，所以；（