2024届广东省肇庆市高二数学第二学期期末检测试题含解析

2024届广东省肇庆市高二数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则()．A． B． C． D．4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．5．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（）A． B．C． D．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于A． B．C． D．17．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．248．已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A． B． C． D．9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为310．函数在处的切线与直线:垂直，则（）A．3 B．3 C． D．11．若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段12．若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为______.14．设函数（，，为常数，且，，）的部分图象如图所示，则_____.15．已知函数，若函数y=f（x）﹣m有2个零点，则实数m的取值范围是________．16．已知奇函数且，为的导函数，当时，，且，则不等式的解集为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数为实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的范围；18．（12分）在中，内角所对的边分别为且满足.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的值..19．（12分）某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数(颗)和温差()具有线性相关关系.(1)求绿豆种子出芽数(颗)关于温差()的回归方程；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：，20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.21．（12分）已知函数在处有极大值．（1）求的值；（2）求在处的切线方程．22．（10分）在中，角的对边分别是，已知，，且．（1）求的面积；（2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①，当时等号成立，正确②，时不成立，错误③，时等号成立.正确④，时等号成立，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.2、A【解题分析】

由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．【题目详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.故选A．【题目点拨】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．3、C【解题分析】由题意可知，平面的一个法向量为：，由空间向量的结论可得：.本题选择C选项.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住条件有目的推理论证.(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．4、D【解题分析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.5、D【解题分析】

根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【题目详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，，所以在内单调递减又，故，选D.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.6、C【解题分析】

根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【题目详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝故选C【题目点拨】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．7、B【解题分析】

根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【题目详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【题目点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8、B【解题分析】设和的夹角为∵在上存在极值∴有两个不同的实根，即∵∴，即∵∴故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.9、D【解题分析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差10、A【解题分析】

先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【题目详解】函数在（1，0）处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是故选A.【题目点拨】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．11、D【解题分析】

根据复数的几何意义知，复数对应的动点P到对应的定点的距离之和为定值2，且，可知动点的轨迹为线段.【题目详解】设复数，对应的点分别为,则由知：,又，所以动点P的轨迹为线段.故选D【题目点拨】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.12、C【解题分析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可.【题目详解】解：由双曲线的标准方程可知，其渐近线为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了双曲线渐近线的求解.14、【解题分析】

由图像可以计算出，，的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【题目详解】由图可知：，由，得，从而.将点代入，得，即，又，所以，得.所以.【题目点拨】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础15、m=2或m≥3【解题分析】分析：画出函数的图象，结合图象，求出m的范围即可.详解：画出函数的图象，如图：若函数y=f（x）﹣m有2个零点，结合图象：或.故答案为：或.点睛：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．16、【解题分析】

构造函数，，根据条件可知，当时，，，根据单调性可得时，则有；当时，同理进行讨论可得.【题目详解】由题构造函数，求导得，当时，,所以在上递增，因为，所以，则有时，那么此时；时，那么此时；当时，为奇函数，则是偶函数，根据对称性，时，又因，故当时，；综上的解集为.【题目点拨】本题考查求不等式解集，运用了构造新函数的方法，根据讨论新函数的单调性求原函数的解集，有一定难度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）见解析；（Ⅱ）【解题分析】

(Ⅰ)求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．（II）依题意有在上的恒成立，转化为在上的恒成立，设，，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．【题目详解】(Ⅰ)由题意，函数，则令，解得或，①当时，有，有，故在上单调递增；②当时，有，随的变化情况如下表：极大极小由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；③同②当时，有，有在和上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（II）依题意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，设，，则有…（*）易得，令，有，，随的变化情况如下表：极大由上表可知，又由（*）式可知，故的范围为．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、(1);(2).【解题分析】分析：（1）根据正弦定理边化角，化简整理即可求得角B的值.（2）由三角形面积公式，得，再根据余弦定理，即可求得的值.详解：解：（1）解法一：由及正弦定理得：，，，．即（1）解法二：因为所以由可得……1分由正弦定理得即，，即（2）解法一：，，由余弦定理得：，即，，.（2）解法二：，，由余弦定理得：，即，由，得或.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果19、(1)(2)5125颗.【解题分析】

（1）根据题中信息，作出温差与出芽数（颗）之间数据表，计算出、，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出和，即可得出回归直线方程；（2）将月日至日的日平均温差代入回归直线方程，可得出颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出颗绿豆种子在一天内的发芽数。【题目详解】（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：日期1日2日3日4日5日6日温差781291311出芽数232637314035故，，-3-22-131-9-65-183，，所以，所以，所以绿豆种子出芽数(颗)关于温差()的回归方程为；（2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为，所以4月7日的温差，所以，所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.【题目点拨】本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题。20、(