上海市市八中2024届数学高二第二学期期末监测试题含解析

上海市市八中2024届数学高二第二学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为A． B． C． D．2．已知是离散型随机变量，，则（）A． B． C． D．3．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地，可得的值为（）A． B． C． D．4．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生概率的取值范围是（）A． B． C． D．6．下列有关命题的说法正确的是A．“”是“”的充分不必要条件B．“x=2时，x2－3x+2=0”的否命题为真命题C．直线：，：，的充要条件是D．命题“若，则”的逆否命题为真命题7．球的体积是，则此球的表面积是（）A． B． C． D．8．设，则的定义域为（)．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)9．若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为（）A．最大值为2，没有最小值 B．最小值为2，没有最大值C．既没有最大值也没有最小值 D．最小值为1，最大值为210．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．若命题，则C．若为真命题，则，均为真命题D．若命题为真命题，则的取值范围为11．A．30 B．24 C．20 D．1512．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．14．已知函数，则函数的最大值为_______.15．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．16．如图，在梯形中，，，，，，如果，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.18．（12分）某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1)，以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2)根据上述数据作出散点图，可知绿豆种子出芽数(颗)和温差具有线性相关关系。(1)求绿豆种子出芽数(颗)关于温差的回归方程；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11℃，估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数。附：19．（12分）如图，在三棱锥中，两两垂直，，且为线段的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.20．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．21．（12分）已知命题关于的方程的解集至多有两个子集，命题，,若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答详解：命题是“第一次投中”，则命题是“第一次没投中”同理可得命题是“第二次没投中”则命题“两次都没有投中目标”可表示为故选点睛：本题主要考查了，以及的概念，并理解为真时，，中至少有一个为真。2、B【解题分析】

根据题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【题目详解】根据题意，，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【题目点拨】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.3、B【解题分析】

设，可得，求解即可.【题目详解】设，则，即，解得，取.故选B.【题目点拨】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【题目详解】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与围成,其面积为，则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为；故选：B.【题目点拨】本题考查定积分在求面积中的应用,几何概型求概率，属于综合题，难度不大，属于简单题.5、D【解题分析】

设事件发生一次的概率为，根据二项分布求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.【题目详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得，所以.又，故.故选:D.【题目点拨】本题考查独立重复试验、二项分布概率问题，属于基础题.6、D【解题分析】A选项不正确，由于可得，故“”是“”的必要不充分条件；B选项不正确，“时，”的逆命题为“当时，”，是假命题，故其否命题也为假；C选项不正确，若两直线平行，则，解得；D选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故其逆否命题为真，故选：D．7、B【解题分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【题目详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【题目点拨】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.8、B【解题分析】试题分析：要使函数有意义，则解得，有意义，须确保两个式子都要有意义，则，故选.考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.9、C【解题分析】分析：先根据公切线求出，再研究函数的最值得解.详解：当a≠0时，显然不满足题意.由得，由得.因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则将代入得，由得，设当x＜2时，，f(x)单调递减，当x＞2时，，f(x)单调递增.或a<0.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.10、C【解题分析】分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确；若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．故选C．点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．11、A【解题分析】

根据公式：计算即可.【题目详解】因为，故选：A.【题目点拨】本题考查排列数的计算，难度较易.12、B【解题分析】

由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．【题目详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.14、0【解题分析】

求出函数的导函数，然后利用导数的性质求出函数的最大值.【题目详解】解：由，得，因为，所以，所以在上单调递减，所以的最大值为故答案：0【题目点拨】此题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于基础题.15、0.5【解题分析】分析：利用条件概率求解.详解：设第一道工序出废品为事件则，第二道工序出废品为事件，则根据题意可得，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率即答案为0.5点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题.16、【解题分析】试题分析：因为，所以考点：向量数量积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）当时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得，利用导数即可求解函数的单调区间.（Ⅲ）令，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.【题目详解】（Ⅰ）当时，函数在处的切线方程是；（Ⅱ），当时，函数的单调增区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅲ）令，可以证明函数的最小值是，所以恒成立，所以两个图像没有交点.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.18、（1）；（2）5125颗【解题分析】

（1）列出日到日温差与出芽数（颗）之间的表格，计算出、，将数据代入公式计算出和的值，即可得出关于的回归方程；（2）先求出日的温差，再代入回归方程计算出日颗绿豆种子的发芽数，得出该日绿豆种子的发芽率，即可计算出颗绿豆种子的发芽数。【题目详解】（1）依照最高（低）温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：日期日日日日日日温差出芽数故，，，，所以，，则，所以，绿豆种子出芽数（颗）关于温差的回归方程为；（2）因为月日至日温差的平均值为，所以月日的温差，所以，，所以，月日浸泡的颗绿豆种子一天内的出芽数约为颗。【题目点拨】本题考查回归直线方程的求解，解这类问题的关键在于理解最小二乘法公式，并代入相关数据进行计算，考查运算求解能力，属于中等题。19、(1)见解析；（2）.【解题分析】分析：（1）由题意得，又，从而即可证明；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，即可运用空间向量的方法求得答案.详解：（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又两两垂直，且所以平面，则.因为，所以平面.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.∵，∴可设，则，∴，则，设平面的法向量为，则，即令，得.平面的一个法向量为，则.故平面与平面所成二面角的正弦值为.点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20、(1)．(2)【解题分析】

（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin（B）＝0，结合范围B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，计算出sinC，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（C﹣B）的值．【题目详解】（1）∵a＝2，c＝3，，可得：cosBsinBcosB，∴可得：sin（B）＝0，∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得：B，∴由余弦定理可得：b．（2）由余弦定理得．可知，故由得，．【题目点拨】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属