华中农业大学《微积分》方红-3

华中农业大学《微积分》方红-3汇报人：AA2024-01-25contents目录课程介绍与教学目标极限与连续导数与微分中值定理与导数应用不定积分与定积分无穷级数多元函数微积分学课程总结与复习指导01课程介绍与教学目标本课程是华中农业大学理学院数学系的一门重要基础课程，旨在培养学生掌握微积分的基本理论和方法，具备运用微积分知识解决实际问题的能力。通过本课程的学习，学生将了解微积分的思想、方法和技巧，为后续课程的学习打下坚实的数学基础。《微积分》是数学的一个重要分支，主要研究函数的微分与积分以及它们的应用。《微积分》课程简介教学目标掌握微积分的基本概念和基本定理；理解微积分的思想和方法，能够运用微积分知识分析和解决实际问题；教学目标与要求培养学生的数学素养和创新能力，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。教学目标与要求教学要求要求学生认真听讲、积极思考、独立完成作业；鼓励学生提出问题和意见，积极参与课堂讨论；重视学生的平时表现和期末考试成绩，综合评价学生的学习成果。01020304教学目标与要求参考书目《微积分学导论》，人民教育出版社，作者：华罗庚；《微积分学学习指导》，高等教育出版社，作者：同济大学数学系。《微积分学教程》，科学出版社，作者：华东师范大学数学系；教材选用：《微积分学教程》（上册、下册），高等教育出版社，作者：同济大学数学系。教材选用及参考书目02极限与连续设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$xtox_0$时的极限。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、与子列的关系等。极限的性质极限概念及性质无穷小量的定义01如果函数$f(x)$当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷小量。无穷大量的定义02如果对于任意给定的正数$M$，总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)|>M$，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$时的无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系03在同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大量，且$limfrac{1}{f(x)}=0$，则$frac{1}{f(x)}$为无穷小量；反之亦然。无穷小量与无穷大量连续函数的定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续。连续函数的性质局部有界性、保号性、介值性、与反函数的连续性关系等。一致连续性的概念如果对于任意给定的正数$epsilon>0$，总存在正数$delta>0$，使得对于区间$[a,b]$上的任意两点$x_1,x_2$，只要$|x_1-x_2|<delta$，就有$|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon$，则称函数在区间$[a,b]$上一致连续。连续函数及其性质03导数与微分导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的计算通过求极限的方式计算导数，基本方法包括定义法、公式法、运算法则和复合函数求导法则等。高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，表示函数在某一点处的更高阶变化率。导数概念及计算微分的定义微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即用一个线性函数近似地代替原函数在该点附近的变化。微分的计算通过求导数和乘以自变量的微分来计算函数的微分，基本方法包括定义法、公式法和运算法则等。微分与导数的关系微分和导数密切相关，微分是导数乘以自变量的增量，反映了函数值随自变量变化的精确程度。微分概念及计算导数与微分的应用函数的单调性和极值通过求导数判断函数的单调性和极值点，进而研究函数的性质。曲线的凹凸性和拐点通过求二阶导数判断曲线的凹凸性和拐点，进一步了解曲线的形状。最优化问题在实际问题中，经常需要求解某个函数的最大值或最小值，通过求导数并令其等于零可以找到可能的极值点，进而求解最优化问题。经济学中的应用导数和微分在经济学中有广泛应用，如边际分析、弹性分析等，可以帮助理解经济现象和制定经济政策。04中值定理与导数应用如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，并且在$x_0$处取得极值，则$f'(x_0)=0$。费马引理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。柯西中值定理中值定理及其证明洛必达法则在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。应用用于求解$frac{0}{0}$型、$frac{infty}{infty}$型、$0cdotinfty$型、$infty-infty$型、$1^{infty}$型、$0^0$型、$infty^0$型等七种未定式的极限问题。洛必达法则及应用泰勒公式近似计算误差估计证明不等式和等式泰勒公式及其应用通过泰勒公式可以将复杂的函数用简单的多项式来近似表示，从而简化计算过程。泰勒公式不仅可以给出函数的近似值，还可以估计这种近似的误差。泰勒公式在证明不等式和等式时非常有用，因为它可以将一个复杂的函数转化为一个简单的多项式形式。用多项式逼近一个函数的方法，即一个函数可以展开成无穷级数。05不定积分与定积分01不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。不定积分的定义02不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。不定积分的性质03不定积分的计算方法包括凑微分法、换元法、分部积分法等。不定积分的计算方法不定积分概念及计算定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，结果是一个数。定积分的定义定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式性质等。定积分的性质定积分的计算方法包括牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法等。定积分的计算方法定积分概念及计算广义积分的定义广义积分简介广义积分是对定积分的扩展，允许积分区间包含无穷大或函数在区间内有瑕点的情况。广义积分的分类广义积分分为无穷限广义积分和无界函数广义积分两类。广义积分的计算方法与定积分类似，但需要特别注意无穷大和无界点的情况。广义积分的计算方法06无穷级数无穷级数是由无穷多个常数项按照一定顺序排列而成的数学表达式，形如$sum_{n=1}^{infty}a_n$。级数的定义收敛与发散收敛级数的性质若级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$的部分和数列${S_n}$有极限$S$，则称该级数收敛，且和为$S$；否则称该级数发散。若级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$收敛，则其部分和数列${S_n}$有界；若$lim_{ntoinfty}a_nneq0$，则该级数发散。常数项级数及其收敛性幂级数及其收敛域幂级数在收敛域内具有连续性、可导性和可积性。幂级数的性质形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的级数称为幂级数，其中$a_n$为常数，$x$为自变量。幂级数的定义对于幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$，存在正数$R$，当$|x|<R$时，该级数收敛；当$|x|>R$时，该级数发散。称$R$为该幂级数的收敛半径，$(-R,R)$为该幂级数的收敛域。收敛域泰勒级数若函数$f(x)$在点$x_0$处具有各阶导数，则称$sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$为函数$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数。麦克劳林级数当$x_0=0$时，泰勒级数变为$sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$，称为函数$f(x)$的麦克劳林级数。函数展开成幂级数的步骤首先确定函数的定义域和收敛域；然后在收敛域内选择适当的点作为展开点；最后根据泰勒公式或麦克劳林公式将函数展开成幂级数。010203函数展开成幂级数方法07多元函数微积分学VS设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的性质多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如连续性、可微性、可积性等。这些性质在多元函数的微积分学中起着重要的作用。多元函数定义多元函数概念及性质全微分定义全微分于某点存在的充分条件是该点的各偏导数存在且连续。全微分于某点存在的必要条件是该点各偏导数存在。偏导数与全微分的关系偏导数存在且连续是全微分存在的充分条件，全微分存在是偏导数连续的充分条件。偏导数定义偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，其他多元函数去求某一个的自变量变化率就是这个自变量的偏导数。偏导数与全微分多元函数的极值问题是指寻找多元函数在某一区域内的最大值或最小值的问题。极值点可以是函数的最大值点、最小值点或鞍点。求多元函数的极值，首先需要求出函数的驻点，即偏导数等于零的点。然后利用二阶偏导数判断驻点的性质，确定是否为极值点。如果是极值点，还需要进一步判断是最大值点还是最小值点。多元函数极值定义多元函数极值的求法多元函数极值问题08课程总结与复习指导ABCD课程重点回顾与总结微分学基本概念包括导数、微分、高阶导数等，理解其物理意义和几何意义。积分学基本概念包括定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法等，理解其物理意义和几何意义。微分中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理等，理解其在证明和解题中的应用。微分方程掌握一阶、二阶常微分方程及其解法，理解微分方程在实际问题中的应用。解微分方程根据微分方程的类型选择合适的解法，如分离变量法、常数变易法等。求积分掌握基本初等函数的积分公式，运用换元积分法、分部积分法等求解。求微分运用微分的基本公式和运算法则求解。求