合工大材料力学课件第六章

第六章

梁的复杂问题§6-1

其它平面弯曲构件的内力与变形§6-2

平面曲杆中的应力§6-3

非对称弯曲与斜弯曲§6-4

开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心§6-5

连续梁*§6-6

组合梁小结1．多跨静定梁：§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形一、多跨静定梁含有中间铰的组合静定梁1)从中间铰处拆成主梁和次梁；2．内力图作法：2)注意到中间铰处的反力矩为零，将次梁端的中间铰假设为固定铰，则次梁成为简支梁或外伸梁，可以利用平衡条件求解中间铰处的支反力；3)将该支反力反方向作用于主梁，求解出所有支反力；4)分别作主、次梁的内力图再合成；也可以由求出支反力的原图直接作图，不必理会中间铰；5)若中间铰处无集中荷载，则剪力连续，弯矩为零光滑过渡；若中间铰处有集中荷载，在拆分时可将其假设到主梁或次梁任意一侧进行求解。2．求解变形：宜采用叠加法，次梁的变形包括两部分：简化成简支梁或外伸梁的次梁变形；主梁变形引起次梁的刚性转动。注意：中间铰处挠度连续。而转角不连续。§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形FQBFQBM__+ql

2FQql

2/2ql

2/2BqAql2BC例6-1作图示多跨静定梁的内力图，并求qA(已知EI)。qql2BCAlllql/23ql/2_FAy解：1)求约束反力：从B点将梁拆开成次梁AB和主梁BC两部分。B截面只有剪力FQB考虑次梁AB的平衡：2)作剪力、弯矩图：§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形解：3)求qA：BC梁在FQB和q作用下变形为：AB梁一方面随B点的铅垂位移而刚性转动：另一方面在集中力偶ql2作用下变形：

BC梁在FQB和q作用下，fB'为：引起A截面刚性转动qA'为AB梁在ql2作用下，qA"为A截面总转角qA为qql2BCAlllFQBFQBBqAql2BCFAy§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形解：1)求约束反力：2aaaaF=qaCDqAMe=qa2EB例6-2作图示多跨静定梁的剪力、弯矩图。qa2/2M_+FQFAyFByFDyqa/23qa/2qaqa__+qa2/2qa22qa2考虑次梁CD的平衡：考虑整体平衡：2)作剪力、弯矩图：§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形1．相关概念：二、平面刚架1)刚节点：结构组成部分不能相对转动的联接点；2)刚架：各部分由刚节点联接成的框架结构；3)平面刚架：组成刚架的杆件的轴线在同一平面内就称为平面刚架。2．刚架的内力及内力图作法：1)刚架横截面上的内力：一般有弯矩M、剪力FQ和轴力FN；§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形3．刚架的变形：3)刚架的内力图就画在刚架上，轴力、剪力图画在任一侧，需标明正负，弯矩图画在受压侧，不标正负；2)轴力FN：拉为正，压为负；剪力FQ：对所考察段梁内任点取矩，若力矩为顺时针方向，则为正，反之为负；宜用叠加法求解，对于以弯曲为主的刚架，轴力和剪力所产生的变形一般较小可忽略。§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形解：1)作内力图：AB段：F产生剪力和弯矩；FF例6-3作图示刚架的内力图并求A点的转角qA、水平位移xA和铅垂位移yA，已知刚架的抗弯刚度为EI，忽略轴力、剪力影响。ABFCabFQ+MFN+FaFaBC段：F产生轴力和弯矩；§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形2)求A点的转角qA、水平位移xA、铅垂位移yA：先将BC刚化，AB成为悬臂梁，A点的qA'、yA'为再将AB刚化，BC解除刚化，F由A点简化到B点在B点产生qB"、xB"为FAFBFaABC引起A点刚性转动产生的qA"、xA"、yA"为A点的qA、xA、yA为ABFCabxy§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形1．平面曲杆：三、平面曲杆2)轴力、剪力的正负与平面刚架相同；弯矩以使曲杆的曲率减小为正；3)内力图画在曲杆上，轴力剪力图画在任一侧，需标明正负，弯矩图画在受压侧，不标正负；具有纵向对称面，轴线是平面曲线的构件，称为平面曲杆或平面曲梁。2．平面曲杆中的内力及内力图的作法：1)横截面上的内力：一般有弯矩M、剪力FQ和轴力FN；§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形解：1)求j截面内力：例6-4如图所示，一端固定的1/4圆杆在其轴线平面内受集中力作用，试求曲杆横截面上的内力，并作内力图。AORFBCjFNFQMnt+BAFQFjCOBABMFNBA-FFFR2)作内力图：§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形四、附加题AaBaqa2aqqaaCD1．作剪力图和弯矩图AaBaqa2qqa2aCD2．作剪力图和弯矩图§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形AqaBCaaq3．作弯矩图4．1.5m1.5m3m5kN/m20kN作弯矩图§6-1其它平面弯曲构件的内力与变形1．轴力产生均匀分布的正应力，按轴向拉压计算；一、平面曲杆横截面上的应力假定变形前与轴线垂直的横截面，在变形后仍为平面且保持与轴线垂直。1)平截面假设：2．剪力产生的切应力，按直梁计算；3．弯矩产生不均匀的正应力，曲率较小时，按直梁计算；二、纯弯曲下平面大曲率梁横截面上的正应力1．假设：纵向纤维之间无正应力作用。2)单向受力假设：§6-2平面曲杆中的应力1)几何条件：2．公式推导：MMrrr1r12121yz轴线z1中性层a'adAy1y1yyeejDjstmaxscmaxsx2)物理条件：3)力学条件：§6-2平面曲杆中的应力3．正应力公式：k：曲梁的截面模量；1)任意点的应力：e：中性轴与轴线的偏心；r：轴线曲率半径；A：横截面面积；y：点到轴线距离；rr1yz(形心轴)z1(中性轴)y1yeh1h22)下(上)边缘处的最大拉(压)应力：§6-2平面曲杆中的应力4．曲梁截面模量k的数值计算：1)幂级数展开式：2)矩形(高h，宽b为中性轴)截面：3)圆形(半径a)和椭圆截面(长轴2a、短轴2b为中性轴)：§6-2平面曲杆中的应力ABF三、例题例6-5图示由直径d=80mm圆杆制成圆环，内径D=120mm，F=20kN，求A、B点的正应力。FAdDB轴线rMFN2)求截面模量k及中性轴与轴线的偏心e：解：1)求横截面AB上的内力：3)求A、B点的正应力：弯矩M引起：轴力FN引起：A、B点的正应力：§6-2平面曲杆中的应力1．对称与非对称弯曲：§6-3非对称弯曲与斜弯曲一、非对称弯曲梁有纵向对称面，载荷作用在该面内；1)对称弯曲：梁有纵向对称面，载荷不作用在该面内，或梁无纵向对称面；2)非对称弯曲：1)纯弯曲情况下，弯矩在截面的形心主惯性平面内作用时，任意截面梁的变形都是平面弯曲；2．非对称弯曲的处理方法：2)当弯矩不在形心主惯性平面内作用时，沿两个形心主轴将其分解，可以转化为两个平面弯曲的叠加；3)横力弯曲情况下，对于实体或闭口杆件，当横向力作用于形心，不在形心主惯性平面内作用时，也近似可以沿两个形心主轴分解为两个平面弯曲的叠加。zy1．斜弯曲：二、斜弯曲的应力与变形两个垂直平面弯曲的组合变形。2．斜弯曲横截面任意点的正应力：MyMMzzyMs"s'yzMxMaay'§6-3非对称弯曲与斜弯曲3．中性轴位置：zyay'MyMMzzynnb令s=0，得：1)对于Iy≠Iz的截面，b≠a，表明变形后梁的挠曲线与载荷作用面不在一个平面内，这就称为“斜弯曲”；2)对于Iy=Iz的截面，如圆形和方形，有b=a，表明梁的挠曲线与载荷作用面在同一平面内，仍然是平面弯曲，此时弯矩不需要分解，直接按平面弯曲求解；3)最大应力点最大应力点可能发生在截面外凸的棱角；如果截面无外凸的棱角，则为中性轴平行线与截面的切点；—离中性轴最远的点：§6-3非对称弯曲与斜弯曲5．挠度：求得My、Mz两平面弯曲分别产生的挠度dy、dz，再进行矢量合成：4．讨论：斜弯曲的正应力和中性轴位置计算不需要公式，应根据形心主轴方向的力分别计算任意点的应力，观察变形确定应力的符号，然后叠加，再直接用s=0求解中性轴位置。§6-3非对称弯曲与斜弯曲s's"10107010100Fz0例6-6Z字形截面悬臂梁，受竖直力F作用。已知：z、y为形心主惯性矩，Iz=6.28×10-6mm4，

Iy=0.64×10-6mm4

，a=27o28’，F=2kN，l=1m，试求梁内的最大应力。lFACBAB由图，Fy在z轴上方引起拉应力，Fz在y轴右侧引起拉应力，所以固定端截面的A点有最大拉应力；同理，B点有相同数值的最大压应力。aayzFzFyFyFz解：外力沿形心主轴分解：§6-3非对称弯曲与斜弯曲1．杆有对称轴，则纵向对称面即为形心主惯性平面，载荷在该面内，产生平面弯曲；一、产生平面弯曲的条件2．杆无对称轴，横向力平行于主惯性轴，并通过弯曲中心时，仍可产生平面弯曲，此时平面假设仍适用，所以正应力仍可用前面推导公式计算；§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心1．横截面上切应力分布的假设及推论：二、开口薄壁杆件的弯曲切应力1)因壁厚t很薄，假设t沿壁厚均布；2)切应力应与截面周边相切(切应力互等定理)。互相垂直的平面弯曲所对应剪力作用线的交点，是图形的几何性质。当外力作用于弯曲中心，梁只产生弯曲变形。弯曲中心：过弯曲中心，与主惯性平面平行的平面。当外力作用于弯心平面内，梁只产生平面弯曲。弯心平面：2．横截面上的切应力公式：FAydxztcabdy、z为形心惯性主轴，载荷F平行于y轴，并通过弯曲中心A；yzxFN1FN2t'xdxt§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心yzt3．切应力公式说明：Ct横截面上沿y轴剪力；FQy

：横截面对z轴的惯性矩；Iz

：研究点一边截面对z轴的静矩；Sz*：壁厚；t：§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心yztFQyABazr1)假设FQy作用于弯曲中心A；3)截面上由FQy产生的切应力大小由前公式求解；4)r是微面积上切应力的合力到B点的垂直距离；2)任取参照点B；5)由上式求出az；三、开口薄壁杆件的弯曲中心1．确定弯曲中心的基本方法：横截面上弯曲切应力对某点的合力矩等于产生这些切应力的剪力对该点的力矩。6)作用FQz，重复上述步骤同理可以求出ay，利用az、ay

即可由B点定出弯曲中心A点的位置；§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心t1)若截面有两对称(反对称)轴，则截面形心就是弯曲中心；3)若截面中线仅为两直线组成，则其交点即为弯曲中心。2)若截面有一个对称轴，则弯曲中心一定在对称轴上；2．工程中常用的弯曲中心：3．若外力不过弯曲中心，则需将外力向弯曲中心等效

(弯扭组合变形，采用第八章的方法解决)。beAyzOth/2h/2eAyzOr0AyzOzAyOAyzOzAyO§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心三、几种开口薄壁杆件的切应力流1．角钢开口薄壁杆件切应力的方向。切应力流：2．立槽钢§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心3．U形槽钢4．半圆槽钢五、例题例6-7求图示槽形截面的弯曲中心。zbh/2yh/2tBazAFQyxt解：1)由于z轴是截面对称轴，其弯曲中心A

在该线上，在该点加FQy如图：2)则FQy在截面上只引起弯曲切应力，在上翼缘距边缘x处的切应力t为：3)取下翼缘中线与腹板中线交点B为矩心，则FQy对该点产生的力矩与截面切应力合力对该点力矩相等：因为下翼缘与腹板上切应力的合力通过B点，不产生力矩，则：§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心zyRtCD例6-8试确定求图示薄壁圆环截面的弯曲中心。解：1)弯曲中心A在对称轴z轴上，在该点加FQy如图：2)计算q角处的t

：FQyAdjjtdABqe取圆心C为矩心，据合力矩定律有：§6-4开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心1．连续梁：具有三个以上支座的超静定梁。2．三弯矩方程：lili+1lnl1l2Mi-1Miqi+1Mi+1qin-2021i-1ii+1n-1nqi+1MeFqiMn-2Mn-1M2Mi-1MiMi+1M1变形条件：左跨梁载荷(包括Mi-1、Mi)在i支座产生的转角：右跨梁载荷(包括Mi、Mi+1)在i支座产生的转角：§6-5连续梁*3．公式说明：1)式中Mi-1、Mi、Mi+1分别是i-1、i、i+1支座处的弯矩，

li、li+1分别是i段、i+1段长度，是i支座左跨(第i-1段)

梁上所有外载在i支座产生的转角；是i支座右跨(第i段)

梁上所有外载在i支座产生的转角；2)支座编号从0开始，固定端可看成长度为零的简支梁，对于n跨连续梁，有n-1个中间支座(总支座n+1个)，可列出n-1个三弯矩方程，求解出n-1个中间支座处的弯矩；§6-5连续梁*4．例题：MBMCMA解：1)将固定端A看成长度为零的简支梁，并从各铰支处将梁拆开：2)对A支座列三弯矩方程：例6-9图示连续梁A端固定，C端外伸，受载如图，已知EI，解此连续梁。Cq=25kN/mAF=10kNB2m1m1m1mDMe=20kN·mq=25kN/mABCF=10kNDMe=20kN·ml003)对B支座列三弯矩方程：4)联立求解：§6-5连续梁*§6-6组合梁二、组合梁的基本方程1．组合梁：一、组合梁由不同的材料组合成一体而形成的梁。2．本节讨论的组合梁，横截面左右对称(材料、几何)，载荷作用于纵向对称面内，因此，发生的是平面弯曲；3．组合梁平面弯