杭州市高级中学 2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

杭州市高级中学2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e2．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A． B．平面C． D．平面4．复数（）A． B． C．0 D．25．若,则下列结论正确的是()A． B． C． D．6．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（）A．77种 B．144种 C．35种 D．72种8．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．9．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．在极坐标系中，设圆与直线交于两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（）A． B．C． D．11．已知，则展开式中，项的系数为（）A． B． C． D．12．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____；14．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为______．15．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．16．已知随机变量，则___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,为侧面的对角线的交点,分别为棱的中点.(1)求证:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.18．（12分）设函数.（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．19．（12分）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）直线与抛物线交于两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.20．（12分）已知函数（1）讨论的极值；（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求．21．（12分）已知向量,满足，．(1)求关于k的解析式f(k)．(2)若，求实数k的值．(3)求向量与夹角的最大值．22．（10分）某市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：，，，，，，把年龄落在和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为.（1）求图中，的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附参考公式及参考数据：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【题目详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．2、D【解题分析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.3、C【解题分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【题目详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．

故选C．【题目点拨】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4、A【解题分析】

利用复数的除法法则求解即可.【题目详解】由题,,故选:A【题目点拨】本题考查复数的除法运算,属于基础题.5、C【解题分析】

先用作为分段点，找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.【题目详解】易得，而，故，所以本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.6、B【解题分析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项，故选B.7、A【解题分析】

根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1)只选一名老队员;(2)没有选老队员,分类计数再相加可得.【题目详解】按照老队员的人数分两类:(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.故选A.【题目点拨】本题考查了分类计数原理,属基础题.8、B【解题分析】

先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【题目详解】函数的最小正周期为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．9、B【解题分析】

先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得的最大值代入可得.【题目详解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,则问题转化为:,因为,当时,;当时,,所以函数在上递增,在上递减,所以,所以.故选B.【题目点拨】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.10、A【解题分析】试题分析：以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程．由，解得或，所以，从而以为直径的圆的直角坐标方程为，即．将其化为极坐标方程为：，即故选A．考点：简单曲线的极坐标方程．11、B【解题分析】

==﹣1，则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=﹣•，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣•=﹣，故选B【题目点拨】本题考查集合的混合运算.12、B【解题分析】

求出样本中心，代入回归直线的方程，求得，得出回归直线的方程，令，解得，进而求解相应点的残差，得到答案.【题目详解】由题意，根据表中的数据，可得，把样本中心代入回归方程，即，解得，即回归直线的方程为，令，解得，所以相应点的残差为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，得出不等式组，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，设，则满足，解得，经验证当适合题意，所以的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解题分析】

先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数，再减去两个坐标为时点的个数，即可得出结果.【题目详解】集合，，，从这三个集合中各选一个元素构成空间直角坐标系中的点的个数为，其中点的坐标中有两个的点为、、，共个，在选的时候重复一次，因此，确定不同点的坐标个数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查排列组合思想的应用，解题时要注意元素的重复，结合间接法求解，考查计算能力，属于中等题.15、【解题分析】

先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得．又，，由均值不等式可求得最值．【题目详解】由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立．【题目点拨】本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心．16、【解题分析】

利用正态密度曲线的对称性得出，可得出答案。【题目详解】由于随机变量，正态密度曲线的对称轴为直线，所以，，故答案为：。【题目点拨】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2).【解题分析】

（1）利用线线平行证明平面//平面，（2）以C为坐标原点建系求解即可．【题目详解】（1）证明分别为边的中点，可得,又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得故有，由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的一个法向量为，取，有同样可求出平面的一个法向量，，结合图形二面角的余弦值为.【题目点拨】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式求解二面角．18、（1）；（2）；（3）【解题分析】

求导带入求出切线斜率，再利用点斜式写出切线。求出的单调区间，极值，则在极小值与极大值之间。参变分离，求最值。【题目详解】(1)设切点为切线过(2)对函数求导，得函数令，即，解得，或，即，解得，的单调递增区间是及，单调递减区间是当,有极大值；当，有极小值当时，直线与的图象有3个不同交点，此时方程有3个不同实根。实数的取值范围为(3)时，恒成立，也就是恒成立，令，则，的最小值为，【题目点拨】本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。19、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）由抛物线的定义知得值即可求解（2）设的方程为：，代入，消去得的二次方程，向量坐标化结合韦达定理得，则定点可求【题目详解】（1）由抛物线的定义知，抛物线的方程为：（2）设的方程为：，代入有，设，则，,的方程为：，恒过点，【题目点拨】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；（2）由（1）可知在区间上的单调性，从而可求得极值和最值．【题目详解】（1）当时，，在上单增，无极值当时，，单减区间是，单增区间是，所以，无极大值．（2）由（1）知在单减，单增当时，当时，【题目点拨】本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．21、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）根据向量的数量积即可．（2）根据向量平行时的条件即可．（3）根据向量的夹角公式即可．【题目详解】(1)由已知，有，．又因为，得，所以，即．(2)因为，，所以，则与同向．因为，所以，即，整理得，所以，所以当时，．(3)设与的夹角为θ，则．当，即时，取最小值，此时．【题目点拨】本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．22、（1）；100人年龄的平均值为.（2）表格数据为：25，40，35，25，60；没有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动.【解题分析】

（1）由频率分布