专题06已知正弦余弦或正切值求角（4种题型）（原卷版）

专题06已知正弦、余弦或正切值求角（4种题型）思维导图核心考点聚焦题型一、已知正弦、余弦或正切值求角题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展如果是锐角，且满足，那么.如果不限定是锐角，那么由诱导公式可知，也满足.再由诱导公式（）可知，或（）都满足.那么，是否还有其他的角满足呢？下面我们就来研究这个问题.为此目的，设是一个任意给定的角，我们希望确定所有满足的角.设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为，过点作轴的垂线，如图（1）所示.由正弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上.当（）时，此直线交单位圆于两点和.由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足的角的全体为或，，可简记为，.当（）时，过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于，此时满足角的全体为，，这个集合也可以用上面所示的形式来表示.事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在（）时，（），此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致.这样，我们就得到：若，则或，，即，.同理，如图（2），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由余弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上，从而满足的角的全体为，.这样，我们就得到：若，则，.如图（3），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由正切的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上，从而满足的角的全体为，.这样，我们就得到：若，则，.题型一、已知正弦、余弦或正切值求角【例1】如果已知，求：满足条件的角的集合；【变式1】根据下列条件，分别求角：（1）已知；（2）已知；（3）已知.【变式2】.已知角终边上一点，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.【变式3】.已知集合，.（1）当时，求x的值；（2）当时，求x和y的值.题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角【例2】（1）已知，求：满足条件的角的集合；（2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；（3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；【变式】.求下列方程的解集：（1），； （2），.题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围【例3】（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展【例4】已知，求：满足条件的角的集合；【变式1】.已知关于x的方程.（1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围.【变式2】.根据下列条件，求角x：（1）已知，；（2）已知，x是第三象限角.一、填空题1、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，则角x等于2、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，则角x等于3、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________4、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________5、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________6、函数的定义域为______．7、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，则角x等于8、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，则角x等于9、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________10、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________11、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________12、如果，且，那么角的取值范围是二、选择题13、方程的解为（）A．， B．，C．， D．，14、“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15、已知，则＝（）A．B．C．D．16、满足等式的的集合是（）A． B．C． D．三、解答题17、求：方程的解集18、求：方程的解集。19、分别求满足下列条件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)