分块矩阵行列式计算的若干方法

分块矩阵1.1分块矩阵的概念定义1[2]将一个矩阵用多条横线、竖线划分成许多小矩阵，由此形成多个子块矩阵，而基于子块形式的矩阵也就是分块矩阵.运用横线、竖线来将矩阵A划分成多个小矩阵：其中每个小矩阵(i=1，2，…，m;j=1,2,…，n)叫做矩阵的一个子矩阵.分块矩阵的划分也是有要求的，要遵循的原则是只要的列分块和的行分块时一致的，小矩阵可以被视为元素，并根据乘法规则执行，但如果不乘以矩阵，划分矩阵就不会变得更容易，但是有的矩阵很有特点，比如其中会有单位矩阵、零矩阵等小矩阵含在其中.把小矩阵归为单位矩阵或零矩阵以及其他的简单的矩阵分块是比较好的方法.1.2分块矩阵的性质1.2.1分块矩阵的加法性质设矩阵，的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，即，，其中与的行数相同、列数相同，则：.1.2.2分块矩阵的乘法性质：设为,为矩阵，将，分块为：,,其中,,…，的列数分别等于，，…，的行数，则，(i=1,…,s；j=1,…,r).以块矩阵运算的形式，这类似于数值矩阵运算.在计算块矩阵时，块矩阵的运算规则和普通矩阵基本相似.1.2.3分块矩阵的数乘性质：设，λ为数，则：.在矩阵运算中，对矩阵分块时，只须保证分块后的各个小矩阵间的运算“可行”即可.例如在分块矩阵的乘法中，要求的列数与的行数相等，无非就是为了保证是有意义的.1.2.4分块矩阵的转置接管分布式矩阵等于改变分布式矩的源矩阵的行和列，然后接管每个子块.通过适当地分离矩阵可以将上级矩阵的运算改变为下级矩阵的运算，同时，原始矩阵的结构看起来简单明了，由此实现了计算步骤的简化，方便了理论推导.需要关注分块矩阵的转置是先把的行变为列，列变成行后，再把每一小块矩阵转置，才会得到分块矩阵的转置矩阵.设，λ为数，则：.矩阵转置和矩阵逆是两个完全不同的概念：转置是将行转换为列，将列转换为行时没有显著变化；逆矩阵是一个矩阵，在它与这个矩阵相乘后成为单位矩阵.这是一个重大变化.除了一些明显的性质之外，还有一些非常特殊的性质，例如，无论原始矩阵是左乘还是右乘，这就是单位矩阵.1.2.5分块矩阵的初等变换初等行、列，变换统称为矩阵的初等变换.设是矩阵，对的下面三种变形统称为矩阵的初等行变换.对换矩阵的第行和第行的位置.记作；用非零常数乘矩阵的第行各元素.记作.把矩阵的第行各元素的倍加到第行对应元素上.记作.例1设,,,都是数域K上的阶矩阵，且，证明：.证明当时，对作初等变换，从而，两边取行列式可得，于是，当时，令，则时t的n多次项式，记作，显然有，因此次多项式在数域K中的根至多有个，所以存在，使得，t≠0.都有≠0，即，由于，因此,由上一段得证结果可知，当且时，有,令，在上式两边取极限得.例2设,都是阶方阵，用分块矩阵的初等变换证明.证明对构造，；对H做初等行变换；对H做初等列变换.1.3特殊分块矩阵及其性质1.3.1分块对角矩阵定义2设为阶方阵，若的分块矩阵在非主对角线上的子块都是零矩阵，同时主对角线上的子块均是方阵，即,其中表示零矩阵，(i=1,2,…n)都是方阵，那么则称为分块对角矩阵.性质1；性质2若(i=1,2,…s),则可逆，同时相同结构的准对角矩阵的和、差、积、数乘及逆还是准对角矩阵，并且运算过程实际上是对子块进行运算.1.3.2分块上下三角矩阵定义3对方阵做出分块后，如果主对角线上的子块矩阵均为方阵，同时其他部分子块矩阵均为零矩阵，即或称为分块上下三角形矩阵.性质3同结构的分块上(下)三角形矩阵的(和)差、积(若乘法运算能进行)还是同结构的分块矩阵.性质4数乘分块上(下)三角形矩阵也均为分块上(下)三角形矩阵.性质5分块上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是主对角线子块都可逆；若可逆，则它的逆矩阵也是分块上(下)三角形矩阵.1.3.3分块初等矩阵定义4将阶单位矩阵分块为；对它进行两行(或两列)互换得；或某一行(或某一列)乘可逆矩阵P得，；或某一行(某一列)加上另一行(列)的P(矩阵)倍数得，，这些即为分块初等矩阵.性质6分块初等矩阵全部为可逆矩阵；性质7用分块初等矩阵左(右)乘(要可乘，可加)，实际相当于对其进行分块初等行(列)变换.运用初等矩阵、分离矩阵等矩阵，可将矩阵实现一定变换，它对于解决与矩阵相关的理论和计算问题非常有用，并且在推导过程中有一定的技巧.1.4关于分块矩阵的引理和推理关于分块矩阵有一下定理和推论：定理1.4.1设，其中,分别是阶和阶方阵，是阶矩阵，是阶矩阵，则当可逆时，有.当可逆时，有.证明(1)由于为可逆矩阵，用分块矩阵的初等变换把消为零矩阵，得到.对两边的矩阵取行列式，并且由，得.(2)与(1)的证明大致相同.推论14.2设,,,都是阶方阵，其中，并且，则有.证明根据定理1.4.1，因为存在，并有，用乘矩阵的第一行加到第二行中去得到.推论1.4.3设,都是阶方阵，则有.证明作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得，又根据定理1.4.1，并应用于下列情况，则有.推论1.4.4设,都是方阵，则有.证明根据定理1.4.1，并应用于下列情况，有.

2利用分块矩阵计算行列式2.1矩阵为上(下)三角行列式的计算分块法计算行列式，第一步需基于行列式性质来变成成为块的对角矩阵，然后运用公式进行计算.例3计算行列式.解法1分析：对于那些原行列式不是分块形式的，此时可利用多次变换来进行转换，需关注的是每次变换当中行列式均需进行变号操作.解解法2分析：利用按行、列展开的方法.解2.2用常规方法计算“分块”行列式线性代数经常需要一些复杂的行列式，通过直接作用很难快速得到结果，但使用除法矩阵的初等变换来计算行列式，此时可促进计算工作的显著简化.在行列式计算过程中，常用性质有下面这三条：性质8若行列式中某行有公因子，此时可将其直接提到行列式号外面；性质9将行列式中的某一行乘一个非零数，然后加到另一行，此时其值保持不变;性质10将行列式中的某两行进行互换，那么其值会发生变号.对于行列式分块计算，主要方法有：按任意一行或任意一列展开：(1)任意一行或任意一列中全部元素都乘以，剔除此元素所在行、列后的剩余行列式；(2)将它们全部进行相加；(3)在加当中，需注意是代数式相加，并不是算术式的相加，所以会出现正负号；(4)从左上角，到右下角，“+”、“-”交替出现.上面的展开，要一直重复进行，至少到出现.(5)将行列式变换成三角式，而最终结果均为三角式的对角线上全部元素的乘积.例4设矩阵,分别为、矩阵，其中，证明：证明由于上式两端取行列式可得：,而当时，还有上式两端取行列式可得：于是，由上两个式子可知，很明显，上式两端均为的多项式，它们在时相等，自然在时也相等.例5计算阶行列式.解为了计算方便，记，显然，且，注意到，上式两端取行列式可知.例6计算阶行列式.解为了方便计算，首先记，，可知，例7计算行列式.分析：数学学习当中，时常会要求计算四阶“数值型”行列式，通常可用常规计算方法来解决问题，也可根据行列式性质来将其转换成更加简单的块形式，后运用块矩阵的行列式性质来开展计算.解根据推论1.4.2计算.设，其中，，，.由计算知道，且，所以，.例8计算阶行列式.解令，,则.

结论高等代数具有划分矩阵内容的泛化，并且通常矩阵元素具有大小，但块矩阵是将大矩阵转换成多个小的矩形矩阵，其中的每个元素均为矩阵的一块.运用分块矩阵可将矩阵的行列式分解成一些较容易计算的部分.分块矩阵行列式是一种数学表示法，对于一些高阶矩阵，形式表达上比较抽象，它可以用来计算矩阵的行列式，从而解决复杂的线性代数问题.在实际的研究和应用中，分块矩阵行列式可以简化计算提高计算效率和准确性.分块矩阵的引入使矩阵工具在解决相关问题时更加方便和强大，使其应用更加广泛.矩阵作为一种数学工具，具有重要的实用价值；在生活当中，不少问题均可从矩阵中分离，由此高效的开展计算.对于矩阵运算，矩阵的概念、性质更加容易理解、应用，倘若矩阵中的行、列数量很大，此时计算、证明矩阵显然是十分复杂、繁琐的过程，此种情况下需一个新的矩阵工具，简化问题并找到更好的解决方案，产生了矩阵分块的想法.分块矩阵不仅会在求矩阵运算时用到，在求解向量问题、方程组问题以及求矩阵的秩的问题时，我们也经常会用到分块矩阵的知识.

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