概率论与数理统计期末复习知识点

汇报人：AA2024-01-20概率论与数理统计期末复习知识点延时符Contents目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法方差分析与回归分析初步常见概率分布和数理统计应用举例延时符01概率论基本概念样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。空集，不包含任何样本点的事件。概率定义及性质概率定义事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。条件概率如果事件A和事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的。独立性如果事件A和事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。独立性的性质条件概率与独立性全概率公式与贝叶斯公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，其中i=1,2,...,n。贝叶斯公式用于在已知某些条件下，计算某个事件的发生概率。贝叶斯公式延时符02随机变量及其分布随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。定义随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则是充满一个区间。分类随机变量定义及分类离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布非负性、规范性（所有取值的概率之和为1）。分布律性质离散型随机变量分布律123连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个点的取值概率。概率密度函数定义正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布非负性、规范性（函数在全体实数上的积分为1）。概率密度函数性质连续型随机变量概率密度函数离散型随机变量函数的分布：通过分布律的变换求得。连续型随机变量函数的分布：通过概率密度函数的变换求得，需要注意变换后的概率密度函数可能需要进行归一化处理。随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，那么g(X)也是一个随机变量，其分布称为随机变量函数的分布。随机变量函数分布延时符03多维随机变量及其分布二维随机变量联合分布律/密度函数01联合分布律定义：描述两个随机变量同时取值的概率分布规律。02联合密度函数定义：当两个随机变量连续时，描述它们同时取值的概率密度函数。联合分布律/密度函数的性质：非负性、规范性、可加性。03边缘分布律定义二维随机变量中，一个随机变量取值的概率分布。边缘分布律/密度函数的求法对联合分布律/密度函数中的另一个变量进行积分或求和。边缘密度函数定义当二维随机变量连续时，一个随机变量取值的概率密度函数。边缘分布律/密度函数条件分布律定义在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率分布。条件密度函数定义当二维随机变量连续时，在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率密度函数。条件分布律/密度函数的求法利用联合分布律/密度函数和边缘分布律/密度函数进行计算。条件分布律/密度函数030201相互独立的定义两个随机变量的取值互不影响。判断方法联合分布律/密度函数等于边缘分布律/密度函数的乘积。性质若二维随机变量相互独立，则它们的任何函数也相互独立。相互独立二维随机变量延时符04数理统计基本概念和方法总体研究对象的全体个体组成的集合，具有共同的分布规律。统计量由样本数据计算得出的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体、样本和统计量03抽样分布的性质包括期望、方差、分布形态等，用于推断总体参数的置信区间和进行假设检验。01大数定律当样本容量足够大时，样本均值趋近于总体均值。02中心极限定理无论总体分布如何，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。抽样分布定理点估计用样本统计量的某个值直接作为总体参数的估计值，如样本均值作为总体均值的点估计。区间估计根据样本数据构造一个置信区间，以一定概率包含总体参数的真值。置信区间由置信水平和样本统计量决定。参数估计方法（点估计、区间估计）VS先对总体参数提出一个假设，然后根据样本数据构造一个检验统计量，通过比较检验统计量的值与临界值的大小关系，决定是否拒绝原假设。假设检验步骤提出原假设和备择假设、构造检验统计量、确定显著性水平、计算检验统计量的值、比较检验统计量的值与临界值的大小关系并作出决策。假设检验原理假设检验原理及步骤延时符05方差分析与回归分析初步通过比较不同组别间的方差来推断总体均值是否存在显著差异。方差分析的基本原理适用于多个总体均值间的比较，如医学、农业、工业等领域中的实验数据分析。方差分析的应用场景各总体应服从正态分布，且各组内的方差应相等。方差分析的前提条件方差分析原理及应用模型的检验利用F检验或t检验对回归系数进行显著性检验，判断自变量对因变量的影响是否显著。模型的预测根据建立的回归模型，可以对新的自变量数据进行预测，得到相应的因变量估计值。一元线性回归模型的建立通过最小二乘法确定回归系数，建立因变量与自变量之间的线性关系。一元线性回归模型建立与检验多元线性回归模型简介当自变量个数大于1时，建立的线性回归模型即为多元线性回归模型。多元线性回归模型的建立与一元线性回归模型类似，通过最小二乘法确定回归系数矩阵。模型的解释与应用多元线性回归模型可以描述多个自变量对因变量的共同影响，应用于经济、社会、医学等领域的复杂数据分析。多元线性回归模型的概念延时符06常见概率分布和数理统计应用举例离散型概率分布二项分布：描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验成功的概率为p。泊松分布：描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，常用于描述稀有事件的概率分布。连续型概率分布正态分布：描述影响某一数量指标的随机因素很多，而每一个因素所起的作用不太大，且各种因素作用相互独立，服从同一分布时，该数量指标服从正态分布。指数分布：描述连续型随机变量的概率分布，常用于描述寿命、等待时间等随机变量的概率分布。常见概率分布用样本统计量来估计总体参数的方法。根据样本统计量和抽样分布，构造一个包含总体参数的置信区间，并给出该区间包含总体参数的概率。点估计区间估计数理统计应用举例单样本假设检验对单个总体参数进行假设检验的方法。要点一要点二双样本假设检验对两个总体参数进行假设检验的方法，包括独立样本和配对样本两种情况。数理统计应用举