高中数学椭圆练习(含答案)

椭圆

一.选择题

22

3.FT、B是椭圆二+匕=1的两个焦点，过为的直线与椭圆交于M、N两点，那么的周

169

长为

A.8B.16C.25D.32

22

4.椭圆L+二口的左、右焦点分别为西、&，点P在椭圆上，假设P、Fi、&是一个直角三角

169

形的三个顶点，那么点尸到无轴的距离为

A9ccc9/「9

A.--D.J》----C一

574

5.椭圆x=4+5cos(p,

Y

y=3sin。(。为参数)的焦点坐标为

A.〔0,0),[0,—8]B.(0,0),(―8,0)

C.(0,0〕，[0,8)D.(0,0),[8,0)

二.填空题

2

6.椭圆上+丝=1的离心率是,准线方程是.

259

22

7.尸是椭圆A+5=l(a>6>0)上任意一点，尸与两焦点连线互相垂直，且尸到两准线距离

a2b2

分别为6、12,那么椭圆方程为.

8.如果方程<+。2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数上的取值范围是.

22

9.点P在椭圆上+二=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点尸的横坐标是

259

三.解答题

10.尸1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，尸为椭圆上的点，当尸尸1，尸凶，PO

//AB为椭圆中心)时，求椭圆的离心率.

X2

11.如下列图，设E：=1[a>b>Q]的焦点为E与尸2，且PCE,ZFPF=29.

7l2

求证：的面积S=%an

12.假设椭圆加+勿/=1与直线x+y=l交于A、2两点，M为A2的中点，直线。M9为原点)的

斜率为变，且。求椭圆的方程.

2

13.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的

最短距离是追，求这个椭圆方程.

14.椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+l与椭圆相交于点P和点。，且OPL

OQ,1尸。1=平，求椭圆方程.

15.设工、y£R,，、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，假设向量Q=xi+(y+2)j,

b=xi+(y—2)j,且|a|+|b|=8.

(1)求点M5,y〕的轨迹。的方程.

(2)过点(0,3)作直线/与曲线C交于A、B两点，设而=示+53,是否存在这样的直线/,

使得四边形0AP2是矩形？假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，试说明理由.

17.如下列图，△。尸。的面积为S,且而•FQ=l.

1---►---►

m假设一VSV2,求向量O尸与尸。的夹角。的取值范围；

2

—*3—*,

12)设[0尸|=cS=-c,假设以。为中心，产为一个焦点的椭圆经过点。，当|。。|取最小

值时，求椭圆的方程.

18.某椭圆的焦点是B(—4,0)、F2(4,0),过点尸2,并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为

2,且I均8I+IF2B\=10.椭圆上不同的两点A[为，％)、C[&,”)满足条件：IBAI、II、I

F2cI成等差数列.

(1)求该椭圆的方程；

[2)求弦AC中点的横坐标；

[3)设弦AC的垂直平分线的方程为了=依+根，求相的取值范围.

22

19.直线/过点Mil,1),与椭圆L+2L=I相交于A、8两点，假设AB的中点为试求直线/的

43

方程.

参考答案：

一.选择题

3.B4.D5.D

二.填空题

三.解答题

22

10.解：设椭圆方程为一^+f=l[一c,0),?=足一白,

「212,Fi

那么P（—c,b1—彳)，即尸(一的

'：AB//PO,:・kAB=kop，

又a=-\lb2+c2=V2b，

cbV2

a42b2

11.证明：设1PBi=n，\PF2\=r2,

那么S二一03in2又尸iB|=2c,

2

由余弦定理有

[2c）2二口2+也2-2门井2cos2（r1+/2〕2—2片厂2-2片厂2cos2[24）2—2厂1厂211+cos2。）,

于是2r1粒(l+cos20]=4〃2—4，=412.

2b2

所以片「2=

1+cos20

2b22sinecos8

这样即有s=--si*9+2cos2g-IDtan夕.

21+cos20

12.解:设A5i，y\],B[X2，>2)，M[X]为+为〕

2

(〃+/?)x1——2bx+b——1=0.

加+勿2=1,

,x+xb%+为——+12_a

x2------，-i—

一iTa+b22a+b

a]

：.M(—

a+ba+b

koM=——，b=V2a.①

2

VOAXOB,,・・五•①二一1.

mx2

.,.xiX2+y1y2=0.

b-1

XiX2=----，yiV2=(l-Xl)[1-X2),

a+b

•,«y1^2=1一〔Xl+%2〕+X1X2

2bb-1a-1

二1一----+-----=-----.

a+ba+ba+b

:.U+0=o

a+ba+b

a+b=2.

由①②得。二2〔后—1),b=2/2(V2-1).

・，.所求方程为2(V2—1)x+2V2(V2—1)y=l.

13.解：由题设条件可知a-2c,c,又a—c=y[3,解得才=12,庐9.，所求椭圆的方程是

14.解：设椭圆方程为町；2=i〔m〉0,心0),

设尸(xi,刀]，Q(血，以)，解方程组

y=x+l,

mx2+ny2=l.消去y,整理得{m+n]x2+2nx+n—1=0.

4=4层-4{m+n]>0,BPm+n—mn>G,OP_LOQ=>xiX2+yiy2=0»

BPX1X2+〔xi+1)(X2+1)=0，2XI%2+(即+冗2)+1=0,__D-2n+]=0.

m+nm-n

m+n=2.

由弦长公式得2•噜—平—7

1户r

解(5②得<2或J22

n=—n=—.I椭圆方程为L+—_/=1或—x?+二=1.

、22、2222

15.⑴解法一：'/a=xi+〔y+2)j,b=xi+(y—2)j,且|a|+|臼=8,

...点M(尤，y)到两个定点B[0,—2),F2(0,2)的距离之和为8.

22

轨迹c为以尸1、巳为焦点的椭圆，方程为L+2L=L

1216

解法二：由题知，Jx2+(y+2)2+y/x2+(y-2)2=8,

移项,得Q+(y+2)-=8--\Jx~+(y—2)~,

两边平方，得

/+5+2)2=/+［y—2)2—16正+0-2)2+64,

整理，得2Jr2+(y_2)2=8—y,

两边平方，得4[r+(y—2)2]=(8—y)2,

22

展开，整理得L+t=l.

1216

⑵:/过y轴上的点[0,3),

假设直线/是y轴，那么A、8两点是椭圆的顶点.

,?OP=OA+OB=0,

与。重合，与四边形。1PB是矩形矛盾.

工直线I的斜率存在.设/方程为y=fcr+3,A〔沏,为)，B(如”)，

y=fc1+3,

12

由，y2消y得〔4+3严)/+18日—21=0.止匕时，A=(18后)~4〔4+3斤〕

[1216

(—21)>0恒成立，且为+%2=——18"0，X\X2=——.

4+3左24+3左2

・・・0P=0A+05,・••四边形O4P8是平行四边形.假设存在直线/,使得四边形。4P3是矩形，那么

OALOB,即OA•03=0.

*.*OA=(xi,yi〕，OB-［愈，)2〕,

OA,OB=xiX2+y1^2=0,

即［1+3)为X2+3左〔％1+%2)+9=0,

即［1+8•(—21］+3…—侬，)+9=0,BPe=—,得k=土好.

4+3/4+3左2164

,存在直线尸±今+3,使得四边形。叱是矩形.

16.解：按题意，有A[一2,0),B[2,0),C[2,4cz),D(-2,4a).

设空用〔04W1),

BCCDDA

由此有_E〔2,4〃左)，F]214左，4〃)，G(—2,4〃一4成).

直线QF的方程为2办+(2k~1)y=0.①

直线GE的方程为一a(2k~1)x+y—2Q=0.②由①②消

去参数k,

得点尸(x,y)满足方程2〃2/+,2—2〃y=0.

整理得《+(y_y=i.

a

2

当层=工时，点尸的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

2

当层力1■时，点？的轨迹为椭圆的一局部，点尸到该椭圆焦点的距离的和为定长.

2

当时，点尸到椭圆两个焦点一卜片,),

a,a｝的距离之和为定值行.

当》工时,

a?点户到椭圆两个焦点

2

17.解：⑴由，得

—*,—*■

C-\OF\\FQ\sin〔兀一。）=S,

[|OF||FQ|cos8=1.

/•/an9=2S.

jr

V-<S<2,Al<Zan^<4.那么一V0<arc^an4.

24

[2)以O为原点，而所在直线为％轴建立平面直角坐标系.

设椭圆方程为「+==1〔。>6>0）,Q（尤，y）.

ab

OF=（c,0],那么尸。=[x-c,y）.

1—>33

・；—|OF|•y=—c,.*.y=—.

242

—>—*1

XVOF,FQ-c[%—c）=1,.\x=c+—.

c

2

那么|CQ|=J—+俨+J_）+2〔c22）.

可以证明：当c22时，函数仁c+,为增函数，

当c=2时，

此时。〔士5，士3).将。的坐标代入椭圆方程,

22

^~+*二1，a』。,

得.24后解得

I“2—62=402=6.|

22

...椭圆方程为二+匕=1.

106

18.m解：由椭圆定义及条件知

2〃=IF\BI+IF2BI=10,得〃=5.又c=4,

所以b=J「2_(:2=3.

22

故椭圆方程为二十二=1.

259

9

(2)解：由点B〔4,如)在椭圆上，得I/28I=I班I=彳.

方法一：因为椭圆右准线方程为％=2三5，离-心率为？4.

45

425425

根据椭圆定义，有I"I=M(--xibIF2c\=-[―-X2).

5454

I2AI28I

由尸、I尸、IF2C\成等差数列，得

425-4,25、_八，9

—(r—~x\]+—〔——％2)=2X—.

54545

由此得出为+%2=8.

设弦AC的中点为P(%0，刈)，那么为0=土土卫=乌=4.

22

方法二：由II、\F2B\.IF2CI成等差数列，得八一―4『+y；+，(电―4尸+为：=2

2

Y2v9

由A[阳，yU在椭圆一+—=1.b,得y/=一(25—xi2),

25925

所以J(xi—4尸+y：=Qx：—8%1+16+(25—x：)=J(5-wX])2=—[25—4为).②

同理可得J；/一4/+式=[〔25—4检).③

111Q

将②③代入①式，得—(25—4%1)+—(25—4x2)=—.

555

所以为+、2=8.

设弦AC的中点为尸5o,死〕，

修+%28/

那w/么xo=-------=—=4.

22

［3)解法一：由A［即，yi),C［愈，＞2)在椭圆上，得

W+25yi2=9X25,®

22

9x2+25y2=9X25.⑤

由④一⑤得9(xi2—X22^+25(yi2—y22)=0,

即9+25〔21^)=01X4X2).

22x1-x2

将宁二e,二二”-乃=—_L口wo）代入上式，得

%!-x2