2024届山东省临沂第十九中学数学高二第二学期期末经典试题含解析

2024届山东省临沂第十九中学数学高二第二学期期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A． B． C． D．2．下列命题正确的是（）A．进制转换：B．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C．“若，则方程”的逆命题为真命题D．若命题：，，则：，3．已知空间向量，，则（）A． B． C． D．4．当函数y=x⋅2x取极小值时，A．1ln2 B．-1ln5．6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．6．在复平面内，复数，则对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．命题“对任意的，，”的否定是（）A．不存在， B．不存在，C．存在， D．存在，8．的二项式系数之和为（）．A． B． C． D．9．设，若，则=（）A． B． C． D．10．已知实数，满足，则与的关系是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象如图，则与的关系是：（）A． B．C． D．不能确定12．若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是A．垂直 B．平行C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为的正方体中，是棱的中点，则到平面的距离等于_____.14．观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.15．在名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有__________种不同的选择方案.16．正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在四棱锥中，，，，为棱上一点（不包括端点），且满足.（1）求证：平面平面；（2）为的中点，求二面角的余弦值的大小.18．（12分）已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值是，求的最小值.19．（12分）设函数，.（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程在上有解，证明：.20．（12分）已知函数=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.21．（12分）设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+m2(1+i)-2i十2m-5为纯虚数，求实数m的值.22．（10分）《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求化学原始分在区间的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列.（附：若随机变量，则，，.）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长．详解：平面向量数量积，所以所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题．2、A【解题分析】

根据进制的转化可判断A，由中位数的概念可判断B，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【题目详解】A.,故正确.B.样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C.“若，则方程”的逆命题为:“方程,则”，为假命题，故不正确.D.若命题：，.则：，，故不正确.故选：A【题目点拨】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.3、D【解题分析】

先求，再求模．【题目详解】∵，，∴，∴．故选：D．【题目点拨】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．4、B【解题分析】分析：对函数求导，由y'=2x详解：y'=即1+xln2=0，x=-点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题5、A【解题分析】先分语文书有种，再分数学书有，故共有=，故选A.6、A【解题分析】

化简复数，计算，再计算对应点的象限.【题目详解】复数对应点为：故答案选A【题目点拨】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.7、C【解题分析】

已知命题为全称命题,则其否定应为特称命题，直接写出即可.【题目详解】命题“对任意的”是全称命题，它的否定是将量词的任意的实数变为存在，再将不等号变为即可.即得到：存在.故选:C.【题目点拨】本题主要考查全称命题的否定，注意量词和不等号的变化，属于简单题.8、B【解题分析】由题意得二项式系数和为．选．9、C【解题分析】

先计算，带入，求出即可。【题目详解】对求导得将带入有。【题目点拨】本题考查函数求导，属于简单题。10、C【解题分析】

设，，则，对进行平方展开化简得，代入得，两式相加即可.【题目详解】设，，则且，等式两边同时平方展开得：，即令等式中，化简后可得：两式相加可得故选：C【题目点拨】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题11、B【解题分析】

通过导数的几何意义结合图像即得答案.【题目详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，比较基础.12、D【解题分析】

判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【题目详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直．故选D．【题目点拨】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意画出正方体，求出的面积，利用等体积法求解到平面的距离.【题目详解】由题意，画出正方体如图所示，，点是中点，所以，在中，，，，所以，，所以，设到平面的距离为，由，得，解得，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题.14、【解题分析】

通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【题目详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.【题目点拨】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.15、【解题分析】

根据分步计数原理计算可得.【题目详解】从名女生中选出二人,有种选法,从5名男生中选出二人,有种选法,所以根据分步计数原理可得,从名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有种不同的选法.故答案为:30.【题目点拨】本题考查了分步计数原理,属于基础题.16、【解题分析】分析：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值．详解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．设AB=1，则D（1，1，1），A（1，1，1），B（1，1，1），C（1，1，1），D1（1，1，2），A1（1，1，2），B1（1，1，2），C1（1，1，2）．设AD1与面BB1D1D所成角的大小为θ，=（﹣1，1，2），设平面BB1D1D的法向量为=（x，y，z），=（1，1，1），=（1，1，2），则x+y=1，z=1．令x=1，则y=﹣1，所以=（1，﹣1，1），sinθ=|cos＜，＞|=，所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为．故答案为.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据传递性，由平面，得到平面平面（2）作于点，过点作，建立空间直角坐标系，求出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值【题目详解】（1）证明：因为，，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如图，作于点，过点作，则，，两两垂直，故以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.设，则，，，所以，又，所以，，，所以，，，，.因为为的中点，所以.，，令为平面的法向量，则有即不妨设，则.易知平面的一个法向量为，.因为二角为钝角，所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键18、（1）.（2）【解题分析】

（1）利用绝对值三角不等式即可求得结果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得结果.【题目详解】（1）由绝对值三角不等式得：（当且仅当时取等号）.为正实数，，即（当且仅当时取等号），的最大值为.（2）由（1）知：，即.，，（当且仅当，即，，时取等号）.的最小值为.【题目点拨】本题考查利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解最值的问题；利用柯西不等式的关键是能够根据已知等式的形式，配凑出符合柯西不等式形式的式子，属于常考题型.19、（I）单调增区间，单调递减区间（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（I），对分类讨论即可得出单调性．（Ⅱ）函数在有零点，可得方程f（x）=0有解，可得方程f（x）=0有解，可得有解，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出的取值范围．【题目详解】（I）,时，，函数在上单调递增，当时,，函数在上单调递减.（Ⅱ）函数在有零点，可得方程有解.,有解.令，设函数，所以函数在上单增，又，存在当时，；当时，所以函数存在唯一最小值，满足，有解，.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围．【题目详解】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）1；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．21、(1).(2)【解题分析】

分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实