2024届广东省湛江市大成中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届广东省湛江市大成中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在三棱锥中，面，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值2．6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（）A．5 B．6 C．9 D．123．某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（）A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元4．已知，，则等于()A． B． C． D．5．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A． B． C． D．6．已知实数，满足，则与的关系是（）A． B． C． D．7．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．8．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A． B． C． D．9．已知曲线：经过点，则的最小值为（）A．10 B．9 C．6 D．410．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为4，则（）A． B． C． D．11．某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742512．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为．14．函数的最大值为_______.15．已知实数，满足条件，复数（为虚数单位），则的最小值是_______．16．若复数满足，则的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．若，求的值；若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．18．（12分）等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列中，，且,．（1）求数列与的通项公式；（2）求．19．（12分）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在一局比赛中，甲先发球．（1）求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率；（2）表示3个回合后乙的得分，求的分布列与数学期望．20．（12分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．21．（12分）已知的展开式中有连续三项的系数之比为1︰2︰3，（1）这三项是第几项？（2）若展开式的倒数第二项为112，求x的值．22．（10分）已知函数在处的切线方程为.（Ⅰ）求的单调区间：（Ⅱ）关于的方程在范围内有两个解，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

将三棱锥放入长方体中，设，，，计算，，则，得到答案.【题目详解】将三棱锥放入长方体中，设，，，如图所示：过作平面与，与，连接，则为二面角的平面角，设为，则，，故.同理可得：设二面角的平面角为，.，当，即时等号成立.故选：.【题目点拨】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.2、C【解题分析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为种；第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为种；故不同的安排种数是种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.3、C【解题分析】

求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【题目详解】由题意，函数，所以，当时，，函数为单调递增函数；当时，，函数为单调递减函数，所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，可知，则，又由半角公式可得，故选B．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5、B【解题分析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.6、C【解题分析】

设，，则，对进行平方展开化简得，代入得，两式相加即可.【题目详解】设，，则且，等式两边同时平方展开得：，即令等式中，化简后可得：两式相加可得故选：C【题目点拨】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题7、C【解题分析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8、C【解题分析】

由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．【题目详解】记通路为事件，则，所以灯泡亮的概率为．故选：C.【题目点拨】本题考查相互独立事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．9、B【解题分析】

曲线过点得，所以展开利用均值不等式可求最小值.【题目详解】由曲线：经过点得.所以当且仅当，即时取等号.故选：B【题目点拨】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.10、D【解题分析】

过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为正切值为4在中，根据勾股定理：故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11、A【解题分析】

根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有种，而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有种；由分步计数原理可得，共种不同的方案；故选：A.【题目点拨】本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12、D【解题分析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【题目详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D【题目点拨】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用零点分段法解不等式，得出解集与区间取交集，再利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率．【题目详解】当时，，解得，此时；当时，成立，此时；当时，，解得，此时.所以，不等式的解集为，因此，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故答案为.s【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型概率公式的计算，解题的关键就是解出绝对值不等式，解绝对值不等式一般有零点分段法（分类讨论法）以及几何法两种方法求解，考查计算能力，属于中等题．14、1【解题分析】

先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果.【题目详解】因为；易得：当且仅当时，取最大值1.故答案为1【题目点拨】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型.15、【解题分析】

先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将的最小值转化成定点与区域中的点的距离最小的问题利用图形求解．【题目详解】如图，作出对应的区域，由于为虚数单位），所以表示点与两点之间的距离，由图象可知的最小值为到直线的距离，即，故答案为．【题目点拨】本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，考查复数的几何意义，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．16、【解题分析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解题分析】

（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；（2）由正弦函数的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范围，再由数列的单调性，讨论的范围，即可得到的取值范围．【题目详解】依题意，可得，由，得，又，所以．由得因为，所以，所以，当时，，（当且仅当时，等号成立）又因为对任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因为数列为递增数列，且，所以，从而，又，所以，从而，又，①当时，，从而，此时与同号，又，即，②当时，由于趋向于正无穷大时，与趋向于相等，从而与趋向于相等，即存在正整数，使，从而，此时与异号，与数列为递增数列矛盾，综上，实数的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法和数列的单调性的判断和运用，试题综合性强，属于难题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力．18、（1），；（2）【解题分析】

（1）由题意,要求数列与的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入,,求出d，q即可写出数列与的通项公式．（2）由（1）可得,即,而要求,故结合的特征可变形为,代入化简即可．【题目详解】（1）设等差数列的公差为d，d＞1，的等比为q则,,依题意有，解得或（舍去）故,（2）由（1）可得∴∴=．【题目点拨】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d＞1．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征,将等价变形为,然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！19、（1）0.1（2）见解析【解题分析】

（1）记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，2，且事件相互独立，设“2个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求出比赛进行2个回合后，甲与乙的比分为2比1的概率；（2）的可能取值为0，1，2，2，分别求出相应的概率，由此求出的分布列和数学期望.【题目详解】解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，2，且事件相互独立．（1）记“2个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.1．（2）因表示2个回合后乙的得分，则0，1，2，2．，，．．所以，随机变量的概率分布列为01220.2160.10.2040.144故随机变量的数学期望为=．答：的数学期望为1.276．【题目点拨】本题考查概率的求法、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20、（1）详见解析（2）（3）不存在【解题分析】

（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.【题目详解】解：（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以平面．（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面平面，，，所以，所以如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．所以，．设平面的法向量为则即令，则，，所以平面的一个法向量为则．所以二面角的余弦值．（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：解法一：设平面的法向量为，则即令，则，，所以．因为，所以平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面．解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：