湖北省武汉市常青第一中学2024届数学高二下期末监测试题含解析

湖北省武汉市常青第一中学2024届数学高二下期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示程序框图，输出的的值为（）A． B． C．3 D．42．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．以上都是3．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A． B． C． D．4．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．5．设为等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．6．展开式中x2的系数为（）A．15 B．60 C．120 D．2407．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为()A． B． C． D．8．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A． B． C． D．9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．10．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．函数(,则()A． B． C． D．大小关系不能确定12．将偶函数的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.14．若展开式的二项式系数之和为，则________15．若甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选修的课程都不相同的选法种数为___．16．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若关于的不等式在实数范围内有解.（1）求实数的取值范围；（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.18．（12分）已知函数在处有极值．（1）求a,b的值；（2）求的单调区间．19．（12分）已知椭圆E：的离心率为分别是它的左、右焦点，.（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.20．（12分）已知函数，是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点作曲线的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的最小值.21．（12分）已知复数（a，），（c，）.（1）当，，，时，求，，；（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性22．（10分）如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．详解：由题可知：此时输出S=故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.2、C【解题分析】

对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【题目详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【题目点拨】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.3、C【解题分析】分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.详解：由题得所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望4、C【解题分析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5、B【解题分析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.6、B【解题分析】

∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B7、A【解题分析】

先利用排列组合思想求出甲干部住个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到个村蹲点的排法种数，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【题目详解】三名干部全部选派下乡到个村蹲点，三名干部所住的村的数目可以分别是、、或、、，排法种数为，甲住个村，则乙、丙各住一个村，排法种数为，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：A。【题目点拨】本题考查排列组合应用问题以及古典概型概率的计算，解决本题的关键在于将所有的基本事件数利用排列组合思想求出来，合理利用分类计数和分步计算原理，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题。8、C【解题分析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为.故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.9、A【解题分析】

由正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，再利用棱锥的体积公式求解即可.【题目详解】由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，所以该三棱锥的体积.故选：A【题目点拨】本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题.10、A【解题分析】分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.详解：的几何意义为：表示点与点连线的斜率，实数，在区间，故和在区间内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，由函数的定义域知，在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数在上是单调增函数，故时，在上取最大值为15，.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.11、C【解题分析】

对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.【题目详解】函数(,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到.故答案为C.【题目点拨】这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性．12、D【解题分析】

根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.【题目详解】∵为偶函数，∴，∴．令，得．故选：D【题目点拨】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意得到圆柱底面圆半径为，高为，根据圆柱的体积公式，即可得出结果.【题目详解】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则圆柱底面圆半径为，高为，所以该圆柱的体积是.故答案为：【题目点拨】本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.14、【解题分析】

根据二项展开式二项式系数和为可构造方程求得结果.【题目详解】展开式的二项式系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.15、30【解题分析】

根据题意知，采用分步计数方法，第一步，甲从５门课程中选２门，有种选法；第二步乙从剩下的３门中选２门，有种选法，两者相乘结果即为所求的选法种数．【题目详解】．故答案为３０．【题目点拨】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，分步要做到“步骤完整”，各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．16、【解题分析】

先根据与共线求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【题目详解】∵∴.又∵与共线，∴，∴，∴，∴在方向上的投影为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查向量共线的坐标表示和向量的投影的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【解题分析】

（Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即是成立，求出最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明.【题目详解】解：（Ⅰ）因为所以又因为所以（Ⅱ）由（1）可知，,则方法一：方法二：利用柯西不等式【题目点拨】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.18、(1),．(2)单调减区间是,单调增区间是．【解题分析】

（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【题目详解】解：（1）又在处有极值,即解得,．（2）由（1）可知,其定义域是,．由,得；由,得．函数的单调减区间是,单调增区间是．【题目点拨】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意，，结合的关系即可求解．（2）设直线,，，联立方程可得，又，结合韦达定理可得，化简计算即可求解．【题目详解】（1）因为，所以，又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直线定点【题目点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题．20、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解题分析】

（Ⅰ）对函数进行求导，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，写出点斜式方程，把原点的坐标代入切线方程，可求出切点坐标，进而求出切线方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以转化为恒成立，构造新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，得到，再构造一个新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，由的单调性，可以求出的最小值.【题目详解】（I）设切点为，因为，所以，所以，得，因为，所以，故l的方程为即.（II）不等式恒成立，即恒成立，记，则，当时，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，则，记，则，令，得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，得的最小值为，所以的最小值为1，因为是增函数，所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.21、（1），，（2）猜想，见解析【解题分析】

（1）由复数模的定义计算模，对，可先求出，再计算模；（2）由（1）猜测，用复数的一般形式进行证明即可．【题目详解】（1）由题知，，所以所以（2）猜想证明：因为，，所以因为，所以，所以猜想成立.【题目点拨】本题考查复数的简单运算和合情推理，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.22、（1）（2）开发区域的面积为【解题分析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式;(2)令，化简，再根据三角函数有界性确定t