2024届北京西城8中数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届北京西城8中数学高二下期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．现有甲、乙等5名同学排成一排照相，则甲、乙两名同学相邻，且甲不站两端的站法有（）A．24种 B．36种 C．40种 D．48种2．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（）A．-40 B．-20 C．20 D．404．设集合，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点，记“点满足条件”为事件C，则（）A． B． C． D．5．已知集合，，则（）A． B． C． D．6．不等式无实数解，则的取值范围是()A． B．C． D．7．在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（）A． B． C． D．8．在极坐标系中，设圆与直线交于两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（）A． B．C． D．9．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.80410．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④11．设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知O是的两条对角线的交点．若，其中，则（）A．-2 B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．14．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当，时，，则____．15．右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________.16．已知向量满足，，的夹角为，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？18．（12分）设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.19．（12分）已知锐角的三个内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．21．（12分）已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．22．（10分）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；用频率估计概率，利用的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；利用的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

对5个位置进行编号1，2，3，4，5，则甲只能排在第2，3，4位置，再考虑乙，再考虑其它同学.【题目详解】对5个位置进行编号1，2，3，4，5，∵甲不站两端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）当甲排在第2位置时，乙只能排第1或第3共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（2）当甲排在第3位置时，乙只能排第2或第4共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（3）当甲排在第4位置时，乙只能排第3或第5共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A∴排法种数N=12+12+12=36种.【题目点拨】分类与分步计数原理，在确定分类标准时，一般是从特殊元素出发，同时应注意元素的顺序问题.2、D【解题分析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.3、D【解题分析】

由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．【题目详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4、A【解题分析】

求出从集合A和B中随机各取一个数x，y的基本事件总数，和满足点P（x，y）满足条件x2+y2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【题目详解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），共有6×6＝36种不同情况，其中P（x，y）满足条件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴C的概率P（C），故选A．【题目点拨】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．5、B【解题分析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【题目详解】因为所以.故选：B【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6、C【解题分析】

利用绝对值不等式的性质，因此得出的范围，再根据无实数解得出的范围。【题目详解】解：由绝对值不等式的性质可得，，即.因为无实数解所以，故选C。【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。7、D【解题分析】

根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；【题目详解】二项式展开式为：设系数绝对值最大的项是第项，可得可得，解得在的展开式中，系数的绝对值最大的项为：故选：D.【题目点拨】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．8、A【解题分析】试题分析：以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程．由，解得或，所以，从而以为直径的圆的直角坐标方程为，即．将其化为极坐标方程为：，即故选A．考点：简单曲线的极坐标方程．9、C【解题分析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故选C．考点：二项分布的期望与方差．10、B【解题分析】

①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确；②对k分奇数、偶数讨论即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用导数研究其单调性即可；④利用三角函数的平移变换化简求解即可．【题目详解】①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②当k=2n（n为偶数）时，a=2nπ2=nπ，表示的是终边在x轴上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数h（x）在实数集R上单调递增，故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此③不正确；④把函数y=3sin（2x+π3）的图象向右平移π6得到y=3sin（2x﹣π3综上可知：只有①④正确．故选B．【题目点拨】本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．11、B【解题分析】由题设可得，即，解之得，即；结合图形可得，即，应选答案B。点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点代入椭圆方程得到，即，解之得，从而求得，然后再借助与椭圆的几何性质，建立了不等式，进而使得问题获解。12、A【解题分析】

由向量的线性运算，可得，即得解.【题目详解】由于，故所以故选：A【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，平移直线，由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14、【解题分析】

依题意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【题目详解】依题意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案为：．【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题．15、9.【解题分析】分析：计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积.详解：边长为4的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为S，则，解得.据此估计黑色部分的面积为9.故答案为：9.点睛：本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用计算问题，是基础题.16、【解题分析】

先计算，再由展开计算即可得解.【题目详解】由，，的夹角为，得.所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元【解题分析】

（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本；（2）可有对勾函数的的单调性求得最大值．【题目详解】（1），将代入（2）令，在单减，单增∴当时，利润最大值为17万元当时，最大利润万元【题目点拨】本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等．18、（1）；（2）2【解题分析】

（1）直接由求得的值；

（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．【题目详解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函数的定义域为，，∴当时，是增函数；当时，是减函数，∴函数在上的最大值是．【题目点拨】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）运用三角形的余弦定理，可得sinC，可得角C；

（2）运用正弦定理和两角差的正余弦公式，结合函数的单调性，即可得到所求范围．试题解析：（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以．（2）由正弦定理，，所以，因为是锐角三角形，所以得，所以，，即．20、（1）（2）【解题分析】试题分析:（1）由可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程代入圆C方程，再根据参数几何意义得，最后根据韦达定理求的值．试题解析：（1）；（2）直线的参数方程代入圆C方程得．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分