2024届江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为()A． B． C． D．2．已知曲线，给出下列命题：①曲线关于轴对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于原点对称；④曲线关于直线对称；⑤曲线关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知集合，，则（）A． B． C． D．4．在的展开式中的系数是（）A．40 B．80 C．20 D．105．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知向量，，若，则（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－17．函数的定义域是R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为()A． B． C． D．8．使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A． B． C． D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π10．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A．5 B．6 C．7 D．811．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是()A． B． C． D．12．给出下列四个命题，其中真命题的个数是（）①回归直线y=bx+a②“x=6”是“x2③“∃x0∈R，使得x02④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”也是真命题.A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；③的面积不可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.14．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则_____________．15．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为________.16．某单位为了了解用电量(单位:千瓦时)与气温(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温/℃181310-1用电量/千瓦时24343864由表中数据得回归直线方程中,预测当气温为℃时,用电量的千瓦时数约为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；（3）若，使成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.19．（12分）参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.定价x(元/千克)102030405060年销量y(千克)115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9参考数据:，.(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（12分）已知数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.21．（12分）如图，三棱柱中，，，（1）证明：；（2）若平面

平面，，求点到平面的距离．22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，是的中点，是的中点.(1)求此四棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．2、C【解题分析】

根据定义或取特殊值对曲线的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【题目详解】在曲线上任取一点，该点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题①正确；点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题②正确；点关于原点的对称点的坐标为，且，则曲线关于原点对称，命题③正确；在曲线上取点，该点关于直线的对称点坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题④错误；在曲线上取点，该点关于直线的对称点的坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题⑤错误.综上所述，正确命题的个数为.故选：C.【题目点拨】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.3、C【解题分析】

先求解绝对值不等式得到集合A，然后直接利用交集运算可得答案。【题目详解】解：因为，所以，得，所以集合，又因为，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了绝对值不等式及交集运算，较基础.4、A【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【题目详解】解：由的展开式中，，令，可得，可得的展开式中的系数是：，故选：A.【题目点拨】本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.5、C【解题分析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C6、C【解题分析】

根据题意得到的坐标，由可得的值.【题目详解】由题，，，或，故选C【题目点拨】本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数7、A【解题分析】

结合已知条件分析,需要构造函数,通过条件可得到,在R上为增函数,利用单调性比较,即可得出答案．【题目详解】∵任意的,都有,即,又要解,∴设则∴在R上为增函数,而,即,.故选：A.【题目点拨】本题考查函数单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,难度一般.8、B【解题分析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．9、C【解题分析】分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故选：C.点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.10、B【解题分析】试题分析：由题意可知,,,即,,解得．故B正确．考点：1二项式系数；2组合数的运算．11、D【解题分析】

取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.【题目详解】取中点，连接，如下图所示：为边上的高，即为二面角的平面角，即且平面为正三角形为正三角形又为中点平面，平面又平面即为点到的距离又，本题正确选项：【题目点拨】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.12、B【解题分析】归直线y=bx+a②“x=6”是“x2③∃x0∈R，使得x02④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”当p,q都真时是假命题.不正确二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解题分析】

逐项分析.【题目详解】①如图当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；②如图取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；③如图作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；④如图设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.故填：①②④.【题目点拨】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为，然后统一未知数去分析问题.14、【解题分析】

设正方形边长为，可得出每个直角三角形的面积为，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为，可求出，由得出并得出的值，再利用降幂公式可求出的值.【题目详解】设正方形边长为，则直角三角形的两条直角边分别为和，则每个直角三角形的面积为，由题意知，阴影部分正方形的面积为，所以，四个直角三角形的面积和为，即，由于是较小的锐角，则，，所以，，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出和的值，并通过二倍角升幂公式求出的值，考查计算能力，属于中等题．15、【解题分析】

根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论．【题目详解】由于当x＞0时，f（x）=x++t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x≤0时，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此时最小值为f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此时0≤t≤2，若t＜0，则f（t）＜f（0），条件不成立．故答案为：[0，2]．【题目点拨】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．16、68.【解题分析】分析：先求出样本中心，根据回归直线方程过样本中心求得，然后再进行估计．详解：由题意得，∴样本中心为．∵回归直线方程过样本中心，∴，∴．∴回归直线方程为．当时，，即预测当气温为℃时,用电量的千瓦时数约为．点睛：在回归分析中，线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本点中的参数．另外，利用回归方程可进行估计、作出预测．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数的单调减区间是，增区间是；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g′（x），再求出临界点，求出g′（x）<0和g′（x）>0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；（2）先求出f（x）的定义域和f′（x），把条件转化为f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再对f′（x）进行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把条件等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入进行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，结合（2）求出的a的范围对a进行讨论：和，分别求出f′（x）在[e，e2]上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较．【题目详解】由已知函数的定义域均为，且（1）函数，则，当且时，；当时，.所以函数的单调减区间是，增区间是；（2）因在上为减函数，故在上恒成立，所以当时，，又，故当，即时，,所以于是，故的最小值为；（3）命题“若使成立”等价于：“当时，有”，由（2），当时，，∴，问题等价于：“当时，有”，①当时，由（2），在上为减函数，则，故.②当时，由于在上为增函数，故的值域为，即.由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，，.所以，，与矛盾，不合题意.综上，得.【题目点拨】本题是利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”.确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”.不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决.本题的难点在于利用转化思想的灵活应用.18、(1)；(2)或.【解题分析】

(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【题目详解】(1)令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2)二项式的通项公式为：.因为是中的最大项,所以有：,因此或.【题目点拨】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.19、(1)z与x具有较强的线性相关性(2)（3）估计年销量为=1千克【解题分析】

由散点图可知z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程代入回归方程求出年销量【题目详解】(1)由散点图知,z与x具有较强的线性相关性.(2)∵≈-0.10,∴≈15,∴x+=15-0.10x.又∵z=2lny,∴y关于x的回归方程为.(3)当定价为150元/千克时,估计年销量为=1千克.【题目点拨】本题考查了线性回归方程及其应用，只需理清题目中的数据，代入公式即可求出线性回归方程，然后求出年销量，较为基础20、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【题目详解】证明：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，，∴，∴.【题目点拨】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，