2024届湖南平江二中数学高二下期末达标检测试题含解析

2024届湖南平江二中数学高二下期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为()．A． B．C． D．2．的值为（）A． B． C． D．3．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A． B． C． D．4．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为A． B． C． D．5．若,则()A． B． C． D．6．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．7．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直8．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项 B．337项 C．338项 D．1009项9．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．1510．下列有关统计知识的四个命题正确的是（）A．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切B．在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D．线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位11．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．12．已知平面，，直线，满足，，则下列是的充分条件是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足，则等于__________.14．的展开式中的有理项共有__________项．15．一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，则m的值为________.16．矩阵的逆矩阵为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：函数的定义域为R；命题q：双曲线的离心率，若“”是真命题，“”是假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？19．（12分）已知函数.[来源:]（1）当时，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.20．（12分）在二项式的展开式中，二项式系数之和为256，求展开式中所有有理项.21．（12分）某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和数学期望．22．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【题目详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，故选C．【题目点拨】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．2、C【解题分析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3、C【解题分析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.4、A【解题分析】

求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．【题目详解】在中，令，得，所以圆的圆心坐标为（2，0）.因为圆经过点，所以圆的半径，于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.故选A【题目点拨】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．5、B【解题分析】

对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算【题目详解】答案为B【题目点拨】本题考查了导数的计算,属于简单题.6、D【解题分析】

设，求得函数的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值．【题目详解】的导数为，设，可得过的切线的斜率为，当垂直于切线时，取得最小值，可得，且，可得，解得或（舍去），即有，解得，∴，故选：D．【题目点拨】本题考查导数几何意义的应用、距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7、D【解题分析】

可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【题目详解】

如图，平面平面，平面，但平面内无直线与平行，故A错．又设平面平面，则，因，故，故B、C错，综上，选D．【题目点拨】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．8、A【解题分析】

根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【题目详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选A．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．9、C【解题分析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【题目详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C【题目点拨】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．10、A【解题分析】分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．详解：A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；B.在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”可信程度越大;故B错误；C.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；D.线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.故选A.点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.11、C【解题分析】

根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.【题目详解】由，，，则.故选C.【题目点拨】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.12、D【解题分析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.【题目详解】当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，不能得到，错误；当，时，则，充分性；当时，，故，与关系不确定，故不必要，正确；故选：.【题目点拨】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15.【解题分析】

先由，，结合，求出，然后再求出．【题目详解】，，，，．．故答案为：15.【题目点拨】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．14、3【解题分析】，，因为有理项，所以，共三项。填3.15、14【解题分析】

利用计算即可.【题目详解】由题意，知，则，解得.故答案为：14【题目点拨】本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题.16、【解题分析】

通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【题目详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：，即解得，因此.【题目点拨】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解题分析】

分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到a的范围取并集即可．【题目详解】解：若命题p真，则在上恒成立．则有，解得；若命题q真，则，解得．由“”是真命题，“”是假命题，知p与q必为一真一假，若p真q假，则，得；若p假q真，则，得．综合得a的范围为或．【题目点拨】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、双曲线的性质，属于基础题．18、（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解题分析】

（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【题目详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【题目点拨】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.19、【解题分析】试题分析：（1）当时，，根据绝对值的几何意义按，，分类讨论得到：，然后分区间解不等式或或，得到的范围分别为或或，所以；（2）根据绝对值不等式的性质：，，则由，转化为，所以或，则或。试题解析：（1）当时，，当时，，所以。故；当时，恒成立；当时，，所以。故。综上可知。（2）∵，由题意有，∴，即。考点：1.不等式的解法；2.不等式的性质。20、答案见解析【解题分析】

由题意首先求得n的值，然后结合展开式的通项公式即可确定展开式中所有有理项.【题目详解】由题意可得：，解得：，则展开式的通项公式为：，由于且，故当时展开式为有理项，分别为：，，.【题目点拨】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．21、（1）2，3，1（2）分布列见解析，【解题分析】

（1）的所有可能取的值是．（２）设表示事件“参加科目的第次考试的成绩为合格”，表示事件“参加科目的第次考试的成绩为合格”，且相互独立，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望即可得出结果．【题目详解】解：（1）X的所有可能取的值是2，3，1．（2）设表示事件“参加科目A的第（，）次考试的成绩为合格”，表示事件“参加科目B的第（，）次考试的成绩为合格”，且，相互独立（，），那么，．，，．∴X的分布列为：X231p∴．故X