云南省昭通市大关县民族中学2024届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

云南省昭通市大关县民族中学2024届高二数学第二学期期末达标测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．安排位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（）种A． B． C． D．2．已知函数的图象如图，则与的关系是：（）A． B．C． D．不能确定3．若复数满足，则复数为（）A． B． C． D．4．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．将两枚骰子各掷一次，设事件{两个点数都不相同}，{至少出现一个3点}，则（）A． B． C． D．6．已知定义域为R的函数满足：对任意实数有，且，若，则＝()A．2 B．4 C． D．7．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A． B． C． D．8．一个随机变量的分布列如图，其中为的一个内角，则的数学期望为（）A． B． C． D．9．若均为第二象限角，满足，，则（）A． B． C． D．10．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．11．已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则以上命题正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．012．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．14．若，则__________．15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.16．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设曲线与曲线的交点分别为，求的最大值及此时直线的倾斜角.19．（12分）已知函数（且，为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）若函数只有一个零点，求的值.20．（12分）2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数，.（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.22．（10分）已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种数，于此可得出答案．【题目详解】先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为种，再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为.因此，所求排法数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案．2、B【解题分析】

通过导数的几何意义结合图像即得答案.【题目详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，比较基础.3、D【解题分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】由，

得．

故选D．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4、A【解题分析】

分子分母同时乘以，化简整理，得出，再判断象限．【题目详解】，在复平面内对应的点为（），所以位于第一象限．故选A．【题目点拨】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题.5、A【解题分析】分析：利用条件概率求.详解：由题得所以故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)条件概率的公式:,=.6、B【解题分析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得.详解：，令，得，又，再令，得，，令，得，故选B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题.7、A【解题分析】

由题意结合数量积的运算法则可得，据此确定其夹角即可.【题目详解】∵，∴，∴，故选A.【题目点拨】本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解题分析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得，然后根据数学期望的计算公式可得结果.【题目详解】由，得，所以或(舍去)则，故选：D【题目点拨】本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.9、B【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【题目详解】解：∵sinα，cosβ，α、β均为第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ•（），故答案为B【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．10、A【解题分析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【题目详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11、C【解题分析】

直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【题目详解】①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；③若，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．12、D【解题分析】

根据乘法原理得到答案.【题目详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是答案为D【题目点拨】本题考查了乘法原理，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得f（x）＝log3（-x）+a，由此利用f（﹣3）+f（﹣）＝4，能求出a的值．【题目详解】函数y＝f（x）的图象与的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝，∴f（x）＝log3（-x）+a，∵f（﹣3）+f（﹣）＝4，∴1+a﹣1+a＝4，解得a＝1．故答案为1．【题目点拨】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．14、-32【解题分析】

通过对原式x赋值1，即可求得答案.【题目详解】令可得，故答案为-32.【题目点拨】本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大.15、【解题分析】

根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围.【题目详解】由已知得，解得；又因为，所以，解得；所以实数的取值范围是故得解.【题目点拨】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.16、【解题分析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【题目详解】（1）平面，平面，所以，由已知条件得：，，所以平面.（2）由（1）结合已知条件以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则：各点坐标为，，，，，所以，，，，，设是平面的一个法向量，则，即：，取，则得：，同理可求：平面的一个法向量.设：平面和平面成角为，则.【题目点拨】此题考查线面垂直的证明和求二面角的余弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，根据法向量的关系求解二面角的余弦值.18、（1）（2）最大值为8，此时直线的倾斜角为【解题分析】

（1）先将曲线的参数方程化为代数方程，再将此平面直角坐标系的代数方程化为极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的代数方程，得出当取最大值时直线的参数.【题目详解】（1）因为曲线的参数方程为，所以曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）设直线上的点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，即所以，.故，所以当，即时，取得最大值，最大值为8，此时直线的倾斜角为.【题目点拨】本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，考查考生的运算求解能力。19、(1).（2）时函数只有一个零点.【解题分析】试题分析：(1)由导函数的解析式可得．(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．试题解析：（Ⅰ）当时，，，令，解得，时，；时，，∴，而，，即．（Ⅱ），，令，得，则①当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时，，所以此方程无解．②当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*）设，则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解．综上，时函数只有一个零点．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20、(1);(2)见解析.【解题分析】

（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．【题目详解】（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：ξ22.533.54P∴．【题目点拨】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.21、（1）；（2）当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，递减区间是.【解题分析】

（1）求出，当时，求出，写出切线的点斜式方程，整理即可；（2）求出的定义域，（或）是否恒成立对分类讨论，若恒成立，得到单调区间，若不恒成立，求解，即可得到结论.【题目详