河南省中原名校2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

河南省中原名校2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．922．设，则（）A． B． C． D．3．若曲线在点处的切线方程为，则()A．-1 B． C． D．14．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（）A． B．C． D．5．在△ABC中，，，，则角B的大小为（）A． B． C． D．或6．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+17．若集合，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．8．为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．9．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列中，，可得，由此归纳出的通项公式10．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．11．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（）A． B． C． D．12．已知函数，则关于的不等式解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数z=2-i14．设函数，则使得成立的x的取值范围是_____.15．设全集，集合，则______.16．已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一个菱形，三角形PAD是一个等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，点E在线段PC上，且PE＝3EC．（1）求证：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．19．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了名学生，已知这名学生的历史成绩均不低于60分（满分为100分）．现将这名学生的历史成绩分为四组：，，，，得到的频率分布直方图如图所示，其中历史成绩在内的有28名学生，将历史成绩在内定义为“优秀”，在内定义为“良好”．（Ⅰ）求实数的值及样本容量；（Ⅱ）根据历史成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生的历史成绩均优秀的概率；（Ⅲ）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关？男生女生合计优秀良好20合计60参考公式及数据：（其中）.20．（12分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，，，，．（1）若线段上有一个点，使得平面，请确定点的位置，并说明理由；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．22．（10分）如图，四棱锥中，，，，，，.（1）求证：；（2）求钝二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．2、A【解题分析】

根据复数除法运算得到，根据复数模长定义可求得结果.【题目详解】，.故选：.【题目点拨】本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3、B【解题分析】分析：求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得，即可得到答案.详解：的导数为，曲线在点处的切线方程为，有，解得.故选：B.点睛：本题考查导数的运用，求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键.4、C【解题分析】

求得的值，再除以，由此求得表达式的值.【题目详解】因为，所以．故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.5、A【解题分析】

首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B【题目详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A【题目点拨】本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。6、C【解题分析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4+n22时，当n=k+【题目详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./7、C【解题分析】

由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．【题目详解】求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．本题选择C选项，故选C．【题目点拨】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．8、A【解题分析】

画出图形，判断渐近线的倾斜角然后求解双曲线的离心率即可.【题目详解】点为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于，两点，且，如图：可得渐近线的倾斜角为或，可得，，所以，可得，故选：A【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，解题的关键是画出图形得出渐近线的倾斜角，属于基础题.9、C【解题分析】

推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理（一般→特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.【题目详解】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选：C．【题目点拨】本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.10、C【解题分析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．11、B【解题分析】

由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论.【题目详解】从10个球中任取2个球共有种取法，其中“有1个红球1个白球”的情况有（种），所以所求概率.故选:B.【题目点拨】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.12、A【解题分析】

由题可得为偶函数，利用导数可得的单调区间，利用函数的奇偶性和单调性转化不等式求解即可。【题目详解】函数的定义域为，，所以在上为偶函数；当时，，则，由于当时，，，则在上恒大于零，即在单调递增；由在上为偶函数，则在单调递减；故不等式等价于，解得;;所以不等式解集为；故答案选A【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2-【解题分析】试题分析：：z=2-i3=考点：复数代数形式的乘除运算．14、【解题分析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得成立，则，解得.考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式成立，转化为，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.15、【解题分析】

根据集合的补集运算即可．【题目详解】2，，；

．

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了列举法的定义，以及补集的运算，属于容易题．16、【解题分析】分析：若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即可求出实数m的取值范围．详解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案为：﹣2≤m≤10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A∪B＝{x|－2<x<3}（2）（3）【解题分析】试题分析：（1）m＝－1，用轴表示两个集合，做并集运算，注意空心点，实心点．（2）由于A⊆B，首先要保证1-m>2m,即集合B非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取．（3）空集有两种情况，一种是集合B为空集，一种是集合B非空，此时用数灿表示，写出代数关系，注意等号是否可取．试题解析：（1）当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}（2）由A⊆B知，解得，即m的取值范围是（3）由A∩B＝∅得①若，即时，B＝∅符合题意②若，即时，需或得或∅，即综上知，即实数的取值范围为18、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）取中点,连接,根据等边三角形的性质证得平面，由此证得.（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【题目详解】（1）取中点,连接,由条件知均为等边三角形，因此,而由线面垂直定理可证,又即证（2）由（1）知，从而；以建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，，，,，设面的法向量为则可得；设面的法向量为则可得由图知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【题目点拨】本小题主要考查线线垂直、线面垂直的证明，考查利用空间向量计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）根据频率之和为1即可求出a的值，由历史成绩在内的有名学生即可求出的值；（Ⅱ）根据分层抽样具有按比例的性质得出良好的有2人，优秀有3人，通过列举法求解概率；（Ⅲ）补充列联表，算出，对比表格得出结论【题目详解】（Ⅰ）由题可得，解得，又历史成绩在内的有名学生，所以，解得．（Ⅱ）由题可得，这名学生中历史成绩良好的有名，所以抽取的名学生中历史成绩良好的有名，历史成绩优秀的有名，记历史成绩优秀的名学生为，，，历史成绩良好的名学生为，，从这名学生中随机抽取名，有，，，，，，，，，，共10种情况，其中这名学生的历史成绩均优秀的有，，，共种情况，所以这名学生的历史成绩均优秀的概率为．（Ⅲ）补充完整的列联表如下表所示：男生女生合计优秀204060良好202040合计4060100则的观测值，所以没有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关．【题目点拨】本题属于常规概率统计问题，属于每年必考题型，主要涉及知识点有：频率分布直方图：频率分布直方图中每个小矩形的面积为相应区间的频率，所以小正方形的面积之和为1；分层抽样：按比例；系统抽样：等距离；列联表：会列列联表，即判断两者是否有关联．20、（1）当P为AD的中点时，平面PBE（2）【解题分析】

要证线面平行，需证明线线平行，所以取中点，连接，即证明；（2）过B作于H，连结HE，证明两两垂直，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求解.【题目详解】解：（1）当P为AD的中点时，，又因为平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）过B作于H，连结HE，在等腰梯形ABCD中易知．在中，，，，可得．又因为，平面平面ADE，且平面平面，所以平面ADE，所以．如图，以H为原点，HE，HD，HB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，，，.所以，.．设平面ABE的一个法向量，则，即，取，得.设直线CD与平面ABE所成角为，所以.【题目点拨】本题重点考查了线面角的求法，坐标法的一个难点是需建立