2024届贵州省黎平县第三中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2024届贵州省黎平县第三中学数学高二下期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知…，依此规律，若，则的值分别是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，82．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（）A． B．C． D．3．某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有（）A．18种 B．12种 C．432种 D．288种4．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是A．4 B．3 C．2 D．15．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件6．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，现将ΔABC绕BC所在直线旋转至ΔPBC，设二面角P-BC-A的大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0<θ<π，则（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π47．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（）A． B． C． D．8．已知复数，若为纯虚数，则（）A．1 B． C．2 D．49．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已如集合，，则（）A． B． C． D．11．在极坐标系中，由三条直线，，围成的图形的面积为（）A． B． C． D．12．已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若幂函数的图像经过点，则__________．14．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.15．，，则__________.16．极坐标方程化成直角坐标方程是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等差数列的公差为d、前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前n项和．18．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知矩阵A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．20．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.21．（12分）已知在的展开式中，第6项为常数项．求n的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项．22．（10分）已知在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大．（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.【题目详解】由,

,

,

归纳可得,故当时,,

故选C.【题目点拨】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.2、C【解题分析】

作，垂足为点D．利用点在抛物线上、，结合抛物线的定义列方程求解即可.【题目详解】作，垂足为点D．由题意得点在抛物线上，则得．①由抛物线的性质，可知，，因为，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故抛物线C的方程是．故选C．【题目点拨】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.3、D【解题分析】

根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：①先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，②将选出的4人全排列，安排4人的顺序，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：①先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，若甲、乙、丙三人都参加，在a、b、c三人中任选1人，有3种情况，若甲、乙、丙三人有2人参加，在a、b、c三人中任选1人，有=9种情况，则有3+9=12种选法；②将选出的4人全排列，安排4人的顺序，有A44=24种顺序，则不同的发言顺序有12×24=288种；故答案为：D．【题目点拨】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.4、B【解题分析】

根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率，即可得出结论．【题目详解】本题中向正方形内随机投掷600个点，相当于600个点均匀分布在正方形内，而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积．故选：B．【题目点拨】本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．5、C【解题分析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.6、C【解题分析】

由题意画出图形，由线面角的概念可得α的范围，得到C正确，取特殊情况说明A，B，D错误．【题目详解】如图，ΔABC为等腰直角三角形，AC=BC，将ΔABC绕BC所在直线旋转至ΔPBC，则PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一条斜线，则PC与平面ABC垂直时，PB与平面ABC所成角最大，则α的范围为(0，π4]，故此时α<θ，故A错误；当PC与平面ABC垂直时，三棱锥C-PAB满足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，则PA=PB=AB，设AC=BC=1，则PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影为ΔPAB求得OP=63，即PC与平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63当θ无限接近0时，β无限接近π4，β>θ，故B综上，正确的选项是C．故选：C．【题目点拨】本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题．7、C【解题分析】分析：从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解．详解：由题意，从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得，故选C．点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．8、B【解题分析】

计算，根据纯虚数的概念，可得，然后根据复数的模的计算，可得结果.【题目详解】为纯虚数，，，故选：B【题目点拨】本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.9、B【解题分析】

先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【题目详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．10、A【解题分析】

求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【题目详解】由题意，集合，∴集合．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、B【解题分析】

求出直线与直线交点的极坐标，直线与直线交点的极坐标，然后利用三角形的面积公式可得出结果.【题目详解】设直线与直线交点的极坐标，则，得.设直线与直线交点的极坐标，则，即，得.因此，三条直线所围成的三角形的面积为，故选：B.【题目点拨】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.12、B【解题分析】

由平移变换得到，由偶函数的性质得到，从而求.【题目详解】由题意得：，因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，所以当时，函数取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因为，所以当时，，故选B.【题目点拨】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的，所以函数向右平移个单位长度后得到函数，不能错误地得到.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.【题目详解】设：，图像经过点，即故答案为【题目点拨】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.14、【解题分析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【题目详解】根据题意，，所以，故.【题目点拨】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.15、2【解题分析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.16、【解题分析】分析：由极坐标方程可得或，化为直角坐标方程即可.详解：由极坐标方程可得或，，即或即答案为或.点睛：本题考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解题分析】

（1）由得，结合，求出公差，从而写出通项公式；（2）由（1）得，采用错位相减法求的前n项和.【题目详解】（1）在等差数列中，由，得：，又，公差，，数列的通项公式，（2），令数列的前n项和为，…①…②；．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的前项和，以及采用错位相减法求数列的前项和，考查了学生的运算能力.18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【题目详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、(1)，，,.(2).【解题分析】分析：（1）先根据特征多项式求特征值，再根据特征值求对应特征向量，（2）先将表示为，再根据特征向量定义化简A5，计算即得结果.详解：(1)矩阵的特征多项式为，令，解得，，当时，解得；当时，解得.(2)令，得，求得.所以点睛：利用特征多项式求特征值，利用或求特征向量.20、（1），；（2）见解析【解题分析】

（1）由等差数列的通项公式及求和公式列的方程组求解则可求，进而得（2）利用分组求和即可证明【题目详解】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.综上，，.（2）由（1）得，所以，即.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题21、（I）；（II）；（III）有理项分别为，；.【解题分析】

在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和；二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项．【题目详解】在的展开式中，第6项为

为常数项，，．在的展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和为．二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可得，5，8，故有理项分别为，；．【题目点拨】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一