2024届浙江省浙南名校联盟高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届浙江省浙南名校联盟高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值2．若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12283．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A． B．C． D．4．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．5．已知函数是可导函数，且，则()A． B． C． D．6．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，则实数A．10 B．8 C．6 D．47．下列命题中,正确的命题是（）A．若，则B．若，则不成立C．，则或D．，则且8．若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420 B．210 C．70 D．3510．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝12A．66 B．33 C．612．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与曲线相切，则实数的值是_______.14．已知数列的前项和为，，，则________.15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.16．若函数是偶函数,且在上是增函数,若,则满足的实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值函数”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求的取值范围.20．（12分）的内角所对的边分别是，已知.(1)求；(2)若的面积为，，，求，.21．（12分）为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了31人，从女生中随机抽取了51人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生412131女生213151总计3151111（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为23，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X附:K2＝1．5111．4111．1111．1111．1111．4551．7182．7133．33511．82822．（10分）（1）已知，都是正数，并且，求证：；（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据极值点的判断方法进行判断.【题目详解】若，则，，但是上的增函数，故不是函数的极值点.因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，故是极大值.故选B.【题目点拨】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；2、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性，以及，可得结果.【题目详解】，故选：C【题目点拨】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.3、D【解题分析】

对A，B，C，D四个选项逐个进行二次求导，判断其在上的符号即可得选项.【题目详解】若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则.在上，恒有，故选D.【题目点拨】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．4、A【解题分析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【题目详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【题目点拨】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.5、C【解题分析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：,即：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、D【解题分析】

根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于x=1对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于x=1对称，从而得到结果．【题目详解】∵随机变量X～∴正态曲线关于x=1对称，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0与a-2关于x=1对称，∴1解得a=4，故选D．【题目点拨】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，μ越小图象越靠近左边；（2）边σ越小图象越“痩长”，边σ越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于μ对称，Px>μ7、C【解题分析】

A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.【题目详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误；B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；D．当时，，此时且，故错误.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.8、B【解题分析】

先对函数求导，令导函数等于0，在上有小于的极值点等价于导函数有小于0的根．【题目详解】由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B【题目点拨】本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题．属于基础题．9、A【解题分析】

将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【题目详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为当不同时：染色方案为不同的染色方案为：种故答案为A【题目点拨】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.10、A【解题分析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【题目详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【题目点拨】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.11、C【解题分析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，BG＝(a，－a，0)，BC＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由AG⋅n1=0AC⋅nsinθ＝BG⋅n1|BG12、C【解题分析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：设切点，根据导数求导切线斜率，令其等于2，得切点，代入直线即可得解.详解：求导得：，设切点是（x0，lnx0），则，故，lnx0=﹣ln2，切点是（，﹣ln2）代入直线得：解得：，故答案为：．点睛：本题只要考查了导数的几何意义，属于基础题.14、【解题分析】

利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.【题目详解】解：由数列的前项和为，，，可得，，，，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.15、【解题分析】

根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围.【题目详解】由已知得，解得；又因为，所以，解得；所以实数的取值范围是故得解.【题目点拨】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.16、【解题分析】

根据偶函数性质得出在上是减函数，由此可得不等式．【题目详解】∵是偶函数，且在上是增函数，，∴在上是减函数，．又，∴，解得且．故答案为．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，由奇偶性和单调性结合起来解函数不等式，这种问题一类针对偶函数，一类针对奇函数，它们有固定的解题格式．如偶函数在上是增函数，可转化为，奇函数在上是增函数，首先把不等式转化为再转化为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解；（2）或；（3）【解题分析】

（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【题目详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，因此，，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.由解得或.（3），，即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.18、（1）或；（2）.【解题分析】

（1）当时，对分成三段，讨论绝对值内数的正负；（2）不等式恒成立问题，转化成解不等式问题.【题目详解】（1）当时，即．①当时，得：，解得：；②当时，得：，不成立，此时；③当时，得：成立，此时．综上所述，不等式的解集为或．（2）∵，由题意，即：或，解得：或，即：的取值范围是．【题目点拨】考查用零点分段法解绝对值不等式、三角不等式求绝对值函数的最小值.19、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，问题得一解决，（2）利用点差法和中点坐标公式和点斜式方程即可求出，（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根据根系数的关系和两角和的正切公式，化简整理即可求出．【题目详解】解：（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，∴Γ的方程为y2＝x，（2）抛物线Γ：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l为y﹣y0（x﹣x0），又l过点F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝2（x﹣1）（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，则y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，则tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），，，