2024届上海市十二校高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届上海市十二校高二数学第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线的对称点落在直线上，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．的展开式中的系数是（）A．16 B．70 C．560 D．11203．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000)，利用2×2列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得，经查阅临界值表知，下列结论正确的是()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有的可能性患肺病C．有的把握认为“患肺病与吸烟有关” D．只有的把握认为“患肺病与吸烟有关”4．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．5．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在时，取极大值6．已知函数，则()A． B．e C． D．17．复数（为虚数单位）的虚部是（）．A． B． C． D．8．已知实数，满足条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．3610．若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B． C． D．12．已知函数是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)服从正态分布,记为事件为事件,则__________.(结果用分数示)附：；；.14．设数列的前项和为，已知，，，则______.15．二项式的展开式中常数项为______用数字表示．16．定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，面，，，，，（Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面.19．（12分）如图是一个二次函数y=f（x）的图象（1）写出这个二次函数的零点（2）求这个二次函数的解析式（3）当实数k在何范围内变化时，函数g（x）=f（x）-kx在区间[-2，2]上是单调函数？20．（12分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.21．（12分）如图，在三棱锥中，，在底面上的射影在上，于.（1）求证：平行平面，平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的值；（3）设有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

可先求关于的对称直线，联立对称直线和可得关于x的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可【题目详解】设直线关于的对称函数为，则，因为与有三个不同交点，联立，可得，当时显然为一解，当时，有，画出的图像，可知满足与有两交点需满足综上所述，实数的取值范围是答案选D【题目点拨】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点2、D【解题分析】

设含的为第，所以，故系数为：，选D．3、C【解题分析】

将计算出的与临界值比较即可得答案。【题目详解】由题得，且由临界值表知，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”，故选C.【题目点拨】本题考查独立性检验，解题的关键是将估计值与临界值比较，属于简单题。4、B【解题分析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.详解：因为，所以所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是,选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．5、C【解题分析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在上先减后增，错；在上先增后减，错；在上是增函数，对；在时，取极小值，错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.6、C【解题分析】

先求导，再计算出，再求.【题目详解】由题得，所以.故选：C.【题目点拨】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.7、A【解题分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部．【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选A．【题目点拨】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题．8、A【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的取值范围.【题目详解】解：由得，作出实数，满足条件对应的平面区域，如下图所示：平移直线，由图象可知当直线经过点时，值最小.由，解得，，由，解得，..故选：A.【题目点拨】本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合的方法，属于基础题.9、C【解题分析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C4把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有A3∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是C4210、C【解题分析】

先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系．【题目详解】，所以共轭复数，因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限所以，解得所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”充要条件，故选C【题目点拨】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题．11、C【解题分析】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.12、D【解题分析】

先由题得出函数的周期，再将变量调节到范围内进行求解．【题目详解】因为，所令，则，所以可得，即，所以函数的周期为，则，又因为函数是定义在上的偶函数，且当时，所以故选D【题目点拨】本题考查函数的基本性质，包括周期性，奇偶性，解题的关键是先求出函数的周期，属于一般题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论.详解：由题意，，.故答案为：.点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.14、【解题分析】

先计算，归纳猜想【题目详解】由，，，可得，，归纳猜想：故答案为【题目点拨】本题考查了数列通项公式的归纳猜想，意在考查学生的归纳猜想能力.15、-160【解题分析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：16、【解题分析】

画出奇函数的图像，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和【题目详解】由，得，则的零点就是的图象与直线的交点的横坐标.由已知，可画出的图象与直线（如下图），根据的对称性可知：，同理可得，则从而，即与的交点的横坐标.由，解得，即的所有零点之和为.【题目点拨】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数的交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）①详见解析②E(X)=2110【解题分析】

(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可【题目详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评14040180对商品不满意101020合计15050200则K2由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为710且X的取值可以是0，1，2，3，则P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列为X0123P27189441343（ⅱ）由于X～B（3，710），则E(X)=3×710【题目点拨】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）取中点，连接，则平面即为所求平面；根据长度关系和平行关系可知四边形是平行四边形，得；又，利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行性质可证得结论；（Ⅱ）易知是边长为的正三角形，从而根据角度关系可求得，结合，可利用线面垂直判定定理证得结论.【题目详解】（Ⅰ）如图，取中点，连接，则平面即为所求平面理由如下：，且四边形是平行四边形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形是平行四边形，则，是边长为的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面【题目点拨】本题考查线面平行和面面平行判定定理与性质定理的应用、线面垂直关系的证明问题，考查学生对于基础定理的掌握情况，属于常考题型.19、（1）零点是-3，1（2）y=-x2-2x+3（3）k≤-6或k≥2时，g（x）在[-2，2]上是单调函数【解题分析】

(1)根据图象，找函数图象与横轴交点的横坐标即可求得函数的零点；(2)由顶点是-1,4可设函数为y=ax+12+4，再代入-3,0即可求得函数的解析式；(3)先化简函数gx=-x2-2x+3-kx=-【题目详解】（1）由图可知，此二次函数的零点是-3，1（2）∵顶点是（-1，4）∴设函数为：y=a（x+1）2+4，∵（-3，0）在图象上∴a=-1∴函数为y=-x2-2x+3（3）∵g（x）=-x2-2x+3-kx=-x2-（k+2）x+3∴图象开口向下，对称轴为x当-k+22≤-2，即k≥2时，当-k+22≥2，即k≤-6时，综上所述k≤-6或k≥2时，g（x）在[-2，2]上是单调函数【题目点拨】本题主要考查二次函数的零点、二次函数的解析式、二次函数的单调性，属于中档题.二次函数的单调性问题，主要依据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置进行分析讨论求解．20、（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析【解题分析】

（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．

（2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值．

（3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可．【题目详解】解：（1）设，则，

所以，

的取值范围为；

（2）解：设在，三边上的投影分别是，，，

则由于，．

，

，即，它的余弦值为

（3）解：设与的交点为．连接，则由以及，知平面，

于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面，

在平面内，由，

知，又，∴．

这说明点M为的中点．【题目点拨】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）证明EF∥BC，从而BC∥平面DEF，结合AB⊥DF，AB⊥DE，推