广西贵港市港南中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

广西贵港市港南中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下面是利用数学归纳法证明不等式（，且的部分过程：“……，假设当时，＋＋…＋，故当时，有，因为，故＋＋…＋，……”，则横线处应该填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，2．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的体积为（）A． B． C． D．3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．4．已知点为抛物线：的焦点.若过点的直线交抛物线于，两点，交该抛物线的准线于点，且，，则（）A． B．0 C．1 D．25．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．6．已定义在上的函数无极值点，且对任意都有，若函数在上与具有相同的单调性，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．8．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A． B． C． D．9．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则在下列区间上为单调递减的区间是（）A． B． C． D．10．设集合，．若，则()A． B． C． D．11．的展开式中的系数是（）A． B． C． D．12．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种B．315种C．153种D．143种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题p：不等式|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．14．某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么___________千米.15．已知为抛物线的焦点，为其标准线与轴的交点，过的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，且，则__________．16．已知点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“型直线”.给出下列直线：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直线”的序号为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知且，（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并判断当时的单调性；（3）若是上的增函数且，求m的取值范围.18．（12分）已知函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥t2-3t在[19．（12分）已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．20．（12分）已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.21．（12分）已知，p：；q：不等式对任意实数x恒成立.（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数m的取值范围.22．（10分）已知集合，.（1）求集合的补集；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由归纳假设，推得的结论，结合放缩法，便可以得出结论．【题目详解】假设当时，＋＋…＋，故当时，＋＋…＋+＜，因为，＋＋…＋，故选A．【题目点拨】本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力．2、B【解题分析】

根据所给关系可证明，即可将三棱锥可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥的外接球半径，即可得球的体积.【题目详解】因为平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，则．由此可得三棱锥可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为，则，所以球的体积为，故选:B.【题目点拨】本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.3、D【解题分析】

函数中的取值范围与函数中的范围一样.【题目详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为.选D.【题目点拨】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.4、B【解题分析】

将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【题目详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为：如图利用和相似得到：，【题目点拨】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.5、C【解题分析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=,故选C.考点：独立事件，事件的关系与概率.6、A【解题分析】分析：易得函数是单调函数，令，则，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数，

令，则，在]恒成立，故在递增，

结合题意在上递增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故选A．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题7、A【解题分析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.8、A【解题分析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．9、A【解题分析】

先利用辅助角公式将函数化为的形式，再写出变换后的函数,最后写出其单调递减区间即可．【题目详解】的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后，在区间上单调递减故选A【题目点拨】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题．10、C【解题分析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C11、D【解题分析】试题分析：的系数为．故选D．考点：二项式定理的应用．12、D【解题分析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[0,2)【解题分析】命题p：m<0，命题q：m<2.∵p与q一真一假，∴或解得0≤m<2.答案：[0,2).14、6【解题分析】

根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【题目详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6【题目点拨】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15、8.【解题分析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，

E（-1，0）为其准线与x轴的交点，

设过F的直线为y=k（x-1），

代入抛物线方程y2=4x，可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8，故答案为8.点睛：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16、(1)(3)(4)【解题分析】

由题可得若则是在以,为焦点,的椭圆上.故“型直线”必与椭圆相交,再判断直线与椭圆是否相交即可.【题目详解】由题可得若则是在以,为焦点,的椭圆上.故“型直线”需与椭圆相交即可.易得.左右顶点为,上下顶点为对(1),过,满足条件对(2),设椭圆上的点,则到直线的距离,.若,则无解.故椭圆与直线不相交.故直线不满足.对(3),与椭圆显然相交,故满足.对(4),因为过,故与椭圆相交.故满足.故答案为：(1)(3)(4)【题目点拨】本题主要考查了椭圆的定义与新定义的问题,判断直线与椭圆的位置关系可设椭圆上的点求点与直线的距离,分析是否可以等于0即可.属于中等题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）【解题分析】

（1）利用对数函数的性质，结合换元法，令则，求出的表达式即可；（2）结合（1）中的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数的定义域和与的关系；利用指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断法则即可求解；（3）利用函数在上的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解不等式即可.【题目详解】（1）令，则，所以，即.（2）由（1）知，，其定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，当时，因为是上的减函数，是上的增函数，所以函数为上的减函数，为上的减函数，又因为，∴为上的增函数.（3）∵，∴，又为上的奇函数，∴，因为函数在上是增函数，∴，解之得：，所以实数m的取值范围为.【题目点拨】本题考查换元法求函数解析式、函数奇偶性的判断、指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断、利用函数在给定区间上的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于综合性试题、中档题.18、（1）(-∞,-43]∪[6,+∞)【解题分析】试题分析：（1）将f(x)的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）f(x)≥t2-3t在[0,1]上无解相当于f(x)试题解析：（1）由题意得f(x)={x-3,x≥则原不等式转化为{x≥12x-3≥3或∴原不等式的解集为(-∞,-4（2）由题得f(x)由（1）知，f(x)在[0,1]上的最大值为-1，即解得t>3+52或t<3-519、(1)，;(2).【解题分析】分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。详解：（1）时满足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立对于一切的恒成立，即，令，则当且仅当时等号成立，故所以为所求.点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。20、（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为又，所以试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增，由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.（2）,则,所以的两根即为方程的两根.因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,所以令,由得因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数