2024届山东省济宁市嘉祥一中高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届山东省济宁市嘉祥一中高二数学第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为()A．14 B．13 C．12．已知的展开式中的系数为，则（）A．1 B． C． D．3．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．4．复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣15．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│6．如图，在直角梯形中，，是的中点，若在直角梯形中投掷一点，则以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（）A． B． C． D．7．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．21 B． C．7 D．8．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．39．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．10．已知等比数列中,，则等于（）A．9 B．5 C． D．无法确定11．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A．21 B．22 C．23 D．2412．若，则的单调递增区间为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若(x-ax2)614．将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC的两边AB，AC，且.则当AC最短时，第三边BC的长为________米.15．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．16．已知中角满足且,则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y＝a•bx拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据xi2xiyixivi43602.301401471071.40表中vi＝lgyi，lgyi②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β，α．18．（12分）在提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位的概率（结果用分数表示）；（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；方案三：不采取措施；试问哪种方案更好，请说明理由．19．（12分）已知，:,:．（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围20．（12分）知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）设函数．若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．22．（10分）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率．【题目详解】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题，第2次抽到理科题的概率为P=24=【题目点拨】本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．2、D【解题分析】

由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值．【题目详解】根据题意知，的展开式的通项公式为，∴展开式中含x2项的系数为a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故选D．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．3、D【解题分析】

先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．【题目详解】由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为，故选D．【题目点拨】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．4、D【解题分析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【题目详解】解：∵复数，∴复数的虚部是﹣1，故选：D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．5、A【解题分析】

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【题目详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．【题目点拨】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；6、C【解题分析】

根据，，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉即为符合条件的的运动区域，作出面积比即可【题目详解】由题，，，故设为最长边长，以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形，即以原点为圆心，半径为的圆，，故选【题目点拨】本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型7、A【解题分析】

令，则该式等于系数之和，可求出n，由二项展开式公式即可求得展开式中某项的系数.【题目详解】令，则，解得：，由二项展开式公式可得项为：，所以系数为21.故选A.【题目点拨】本题考查二项展开式系数之和与某项系数的求法，求系数之和时，一般令，注意区分二项式系数与系数，二项式系数之和为.8、D【解题分析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．9、D【解题分析】分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.详解：四个选项中的函数都是偶函数，在上三个函数在上都递减，不符合题意，在上递增的只有，而故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.10、A【解题分析】

根据等比中项定义，即可求得的值。【题目详解】等比数列，由等比数列中等比中项定义可知而所以所以选A【题目点拨】本题考查了等比中项的简单应用，属于基础题。11、A【解题分析】

这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．【题目详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22，∴x＝21故选A．【题目点拨】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．12、D【解题分析】分析：先求，再求函数的单调增区间.详解：由题得令因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】试题分析：(x-ax2考点：二项式定理.14、【解题分析】

设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.【题目详解】设，则，设，通过余弦定理可得：，即，化简整理得，要使AC最短，则使AB最长，故当时，AB最长，故答案为.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.15、【解题分析】

互为反函数的图象关于直线对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.【题目详解】如图所示，连接，易得，，.【题目点拨】考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求.16、【解题分析】分析：先化简得到，再化简得到.详解：因为，所以1-,所以，因为,所以,所以A+B=.，所以,因为sinA>0,所以.故答案为.点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）y＝100.2x+1.1；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【解题分析】

（1）先对y＝a•bx两边同取以10为底的对数，得到v＝xlgb+lga，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb和lga，从而得到，再写出y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.2x+1.1＞10000，解出的范围，得到答案.【题目详解】（1）由y＝a•bx，两边同时取以10为底的对数，得lgy＝lga+xlgb，即v＝xlgb+lga，由最小二乘法得：lgb．∵v＝xlgb+lga过点（4，2.10），∴lga＝2.10﹣0.2×4＝1.1．∴a＝101.1，b＝100.2．∴y关于x的线性回归方程为y＝101.1•100.2x＝100.2x+1.1；（2）由100.2x+1.1＞10000，得0.2x+1.1＞4，解得x＞10.3．又∵x∈N*，∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．【题目点拨】本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.18、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）先在频率分布直方图中找出河流最高水位在区间的频率，然后利用独立重复试验的概率公式计算出所求事件的概率；（2）计算出三种方案的损失费用期望，在三种方案中选择损失最小的方案．【题目详解】（1）由题设得，所以，在未来3年里，河流最高水位发生的年数为，则～，记事件“在未来3年里，至多有1年河流水位”为事件，则，∴未来3年里，至多有1年河流水位的概率为．（2）由题设得，，用分别表示方案一、方案二、方案三的损失，由题意得万元，的分布列为：20062000.990.01万元，的分布列为：0100060000.740.250.01∴万元，三种方案采取方案二的损失最小，采取方案二好．【题目点拨】本题考查独立重复试验概率的计算，考查离散型随机变量分布列及其数学期望，在求解时要弄清随机变量所服从的分布列类型，考查计算能力，属于中等题．19、（I）（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（1），是的充分条件，是的子集，所以；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真假、假真时的取值范围，最后去并集就可以．试题解析：（1），∵是的充分条件，∴是的子集，，∴的取值范围是．（2）由题意可知一真一假，当时，，真假时，由；假真时，由或．所以实数的取值范围是．考点：含有逻辑联结词命题真假性．20、（1）；（2）。【解题分析】

（1）利用当时，，再验证即可.（2）由（1）知.利用裂项相消法可求数列的前项和.【题目详解】（1）.当时，.又符合时的形式，所以的通项公式为.（2）由（1）知.数列的前项和为.【题目点拨】本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题．21、(1)极小值为，没有极大值．(2)【解题分析】

（1）根据题意，先对函数进行求导，解出的根，讨论方程的解的左右两侧的符号，确定极值点，从而求解出结果。（2）根据题意，将其转化为在上至少有两个不同的正根，再利用导数求出的取值范围。【题目详解】解：（1）