河北省石家庄二中雄安校区2024届高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

河北省石家庄二中雄安校区2024届高二数学第二学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于轴对称，则正数的最小正值是（）A． B． C． D．2．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．3．若曲线在处的切线，也是的切线，则（）A． B．1 C．2 D．4．为第三象限角，，则（）A． B． C． D．5．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样6．已知展开式中项的系数为，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（）A． B．或 C． D．或7．已知集合，，则A． B． C． D．8．A． B． C． D．9．条件，条件，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A．1 B．2 C．3 D．412．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。14．从、、、、中取个不同的数组成一个三位数，且这个数大于，共有_____不同的可能．15．在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是__________.16．曲线在点处的切线方程为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?18．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.19．（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望.（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）20．（12分）已知函数，，若且对任意实数均有成立．（1）求表达式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围．21．（12分）栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.(1)求植株高度频率分布直方图中的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.22．（10分）对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在的产品个数为X，X的分布列及数学期望；（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．参考公式：，（其中为样本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．【题目详解】解：将函数的图形向左平移个单位后，可得函数的图象，再根据得到的图象关于轴对称，可得，即，令，可得正数的最小值是，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．2、D【解题分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可。【题目详解】解：，即，即，故不等式的解集是，故选D。【题目点拨】本题是集合问题，解题的关键是正确求解绝对值不等式和规范答题。3、C【解题分析】

求出的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为（m，n），得的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【题目详解】函数的导数为y＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1，则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x；函数的导数为y＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故选A．【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．4、B【解题分析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．5、C【解题分析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．6、B【解题分析】

利用二项式定理展开通项，由项的系数为求出实数，然后代入可得出该二项式展开式各项系数之和.【题目详解】的展开式通项为，令，得，该二项式展开式中项的系数为，得.当时，二项式为，其展开式各项系数和为；当时，二项式为，其展开式各项系数和为.故选B.【题目点拨】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.7、C【解题分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．【题目详解】因为，，所以，故选C．【题目点拨】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.8、D【解题分析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.9、B【解题分析】因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，可以推导出，但是不能推导出，若，则等价于无法推导出；若，则等价于满足条件的为空集，无法推导出；若，则等价于，由题意可知，，，，的取值范围是，故选B.10、C【解题分析】分析：详解：复数，-1-i,对应的点为（-1，-1）是第四象限点.故答案为：C.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.11、B【解题分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋12、A【解题分析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【题目详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【题目点拨】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、20π【解题分析】

14、【解题分析】

由题意得知，三位数首位为、、中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【题目详解】由于三位数比大，则三位数首位为、、中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为，故答案为.【题目点拨】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、.【解题分析】试题分析：点的直角坐标为，将圆的方程化为直角坐标方程为，化为标准式得，圆心坐标为，半径长为，而点在圆上，圆心与点之间连线平行于轴，故所求的切线方程为，其极坐标方程为.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16、【解题分析】

利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【题目详解】∵y＝lnx，∴，∴函数y＝lnx在x＝1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【题目点拨】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1800；（2）540【解题分析】分析：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,即可得到答案；（2）将6本书分成三份有3种分法，第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3人即可.详解：(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,共有=1800种借法.(2)将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本,一人1本,一人1本;第二种是一人3本,一人2本,一人1本;第三种是每人各2本;然后再将分好的三份借给3人,有=540种借法.点睛：分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．18、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解题分析】

（1），①时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；②当时，令，解得，当时，；当，．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值．（2）由题意，，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数．要使对于恒成立，只要，所以，即实数k的取值范围为．（3）证法1因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．不妨设，则，要证，只要证，即证．因为在区间上单调递增，所以，又，即证，构造函数，即，．，因为，所以，即，所以函数在区间上单调递增，故，而，故，所以，即，所以成立．证法2要证成立，只要证：.因为，且，所以，即，，即，，同理，从而，要证，只要证，令不妨设，则，即证，即证，即证对恒成立，设，，所以在单调递增，，得证，所以.19、（1）180；（1）；（3）1人.【解题分析】

（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（1）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求．【题目详解】（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的11名历史选考生中确定选考政治的有4人所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人（1）由数据可知，选考方案确定的11名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.由已知得的所有取值为0，1，则所以的分布列为01所以数学期望.（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为1．【题目点拨】本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．20、（1）；（2）【解题分析】试题分析：（1）根据可以得到与的关系，将中代换成表示，再根据对任意实数均有成立，列出关于的不等式，求解得到的值，进而得到的值，即可求得的表达式；（2）为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于的不等关系，求解即可得到实数的取值范围.试题解析：