2024届江西省宜春市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届江西省宜春市数学高二第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶32．已知且,则的最大值为()A． B． C． D．3．二项式的展开式中的系数是（）A． B． C． D．4．x-2xn的展开式中的第7A．16 B．18 C．20 D．225．已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．若，则A．10 B．15 C．30 D．608．从位男生，位女生中选派位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有位女生的选法共有()A．种 B．种C．种 D．种9．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有()种.A．36 B．30 C．12 D．610．下列函数中，即是奇函数，又在上单调递增的是A． B． C． D．11．命题：“关于x的方程的一个根大于，另一个根小于”；命题：“函数的定义域内为减函数”.若为真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．函数y的图象大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在二项展开式中，常数项是_______.14．现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为________.15．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”；②若双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为；③抛物线的准线方程为；④长为6的线段的端点分别在、轴上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为．其中正确命题的序号为_________．16．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。18．（12分）已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.19．（12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.20．（12分）传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。21．（12分）如图所示的几何，底为菱形，，.平面底面，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C:，直线：，直线：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。【题目详解】设立方体为以2为边长的正方体，则，，所以【题目点拨】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。2、A【解题分析】

根据绝对值三角不等式可知；根据可得，根据的范围可得，根据二次函数的性质可求得结果.【题目详解】由题意得：当，即时，即：，即的最大值为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.3、B【解题分析】

利用二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，即可求出的系数.【题目详解】由题意，二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故选：B【题目点拨】本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

利用通项公式即可得出．【题目详解】x-2xn的展开式的第7项令n2-9=0＝0，解得n＝故选：B．【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、B【解题分析】

先构造函数，求导得到在R上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.【题目详解】构造函数，，.又任意都有.在R上恒成立.在R上单调递增.当时，有，即的解集为.【题目点拨】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.6、A【解题分析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.7、B【解题分析】

分析：由于，与已知对比可得的值1．详解：由于，与已知对比可得故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．8、B【解题分析】

由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生．当选到的是两个男生，两个女生时共有C52C42=60种结果，当选到的是三个男生，一个女生时共有C53C41=40种结果，根据分类计数原理知共有60+40=100种结果，故选B．9、A【解题分析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.本题选择A选项.10、B【解题分析】分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果详解：对于，，，，不是奇函数，故错误对于，，，当时，，函数在上不单调，故错误对于，函数在上单调递减，故错误故选点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。11、B【解题分析】

通过分析命题为假命题只能真，于是可得到答案.【题目详解】命题真等价于即；由于的定义域为，故命题为假命题，而为真命题，说明真，故选B.【题目点拨】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.12、B【解题分析】

通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.【题目详解】因为，其定义域为所以，所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除A、C项，当时，，所以D项错误，故答案为B项.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解题分析】

首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的值，代入求常数项.【题目详解】展开式的通项公式是，当时，.故答案为：60【题目点拨】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.14、【解题分析】

利用古典概型的概率计算公式计算即可.【题目详解】从10件产品中任取3件共有种不同取法，其中恰有1件一等品共有种不同取法，由古典概型的概率计算公式知，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为.故答案为：【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的运算能力，是一道基础题.15、③④【解题分析】

对于①，求出“曲线为椭圆”的充要条件，判断与“”关系，即得①的正误；对于②，根据已知条件求出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，即得②的正误；对于③，把抛物线的方程化为标准式，求出准线方程，即得③的正误；对于④，设，根据，可得，代入，求出动点的轨迹方程，即得④的正误.【题目详解】对于①，“曲线为椭圆”的充要条件是“且”.所以“曲线为椭圆”的必要不充分条件是“”，故①错误；对于②，椭圆的焦点为，又双曲线的离心率，所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故②错误；对于③，抛物线的方程化为标准式，准线方程为，故③正确；对于④，设，，，即，即动点的轨迹方程为.故④正确.故答案为：③④.【题目点拨】本题考查充分必要条件、圆锥曲线的性质和求轨迹方程的方法，属于中档题.16、【解题分析】

由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案．【题目详解】如图，由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1．故答案为．【题目点拨】本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分；（2）5人，2人；（3）元.【解题分析】

（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；（2）先确定得分在区间与的频率之比，即可求解；（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【题目详解】（1）由题意知的频率为：，的频率为：所以分数在的频率为：，从而分数在的，假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。（2）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人．（3）的可能取值为2，3，4，则：，从而Y的分布列为Y260023002000(元)．【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.19、（1）（2）【解题分析】

（1）由余弦定理和诱导公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判断是等腰直角三角形，再利用三角形面积公式表示出，再利用辅助角公式化简，求出四边形面积的最大值.【题目详解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即为.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴当时，四边形面积有最大值，最大值为.【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形、诱导公式、三角形面积公式和利用三角函数求最值，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.20、(1)，定义域为；(2)4【解题分析】

（1）根据时间，写出“如意金箍棒”的底面半径和长度，由此计算出体积的解析式，并根据半径的范围求得的取值范围，也即定义域.利用导数求得的单调区间和极大值，根据此时“如意金箍棒”的底面半径列方程，解方程求得的值，进而求得解析式.（2）由（1）中求得的单调区间，求得的最小值，并求得此时“如意金箍棒”的底面半径.【题目详解】解：（1）“如意金箍棒”在变化到秒时，其底面半径为，长度为则有，得：时，（秒），由知，当时，取得极大值所以，解得（）所以，定义域为（2）由（1）得：所以当时，，当时，所以在区间上为增函数，在区间上为减函数则的最小值或；又所以当（秒）时，“如意金箍棒”体积最小，此时，“如意金箍棒”的底面半径为（）【题目点拨】本小题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查中国古代文化，考查运算求解能力，考查函数应用问题，属于中档题.21、（