2024届山西省浑源县高二数学第二学期期末监测试题含解析

2024届山西省浑源县高二数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（）A．36π B．64π C．100π D．104π2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A． B．4 C．－1 D．14．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．若函数，则（）A．1 B． C．27 D．6．用数学归纳法证明不等式：，则从到时，左边应添加的项为（）A． B．C． D．7．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． B． C．3 D．58．函数在点处的导数是（）．A．0 B．1 C．2 D．39．将本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（）A． B． C． D．10．的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．11．已知有下列各式：，，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A． B． C． D．12．分配名工人去个不同的居民家里检查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量与，共线，且，，则________．14．已知纯虚数满足(其中是虚数单位)，则__________.15．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______16．参数方程（为参数，且）化为普通方程是_________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b．若a，，求直线的斜率为的概率；若a，，求直线的斜率为的概率．18．（12分）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；.参考数据：记，，，，，，，，，.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．20．（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.21．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin22．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知，且，证明；（2）已知，且，证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：，，∴三角形的外接圆直径，，平面，，∴该三棱柱的外接球的半径，∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.2、A【解题分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．【题目详解】解：复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3、A【解题分析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．4、B【解题分析】

设球心到平面的距离为，求出外接球的半径R=,再根据求出，再根据求三棱锥的体积.【题目详解】设球心到平面的距离为，三棱锥外接圆的表面积为，则球的半径为，所以，故，由是的中点得：.故选B【题目点拨】本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解题分析】

求导后代入可构造方程求得，从而得到，代入可求得结果.【题目详解】，，解得：，，.故选：.【题目点拨】本题考查导数值的求解问题，关键是能够明确为实数，其导数为零.6、D【解题分析】

将和式子表示出来，相减得到答案.【题目详解】时：时：观察知：应添加的项为答案选D【题目点拨】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.7、A【解题分析】

因为抛物线的焦点是，所以双曲线的半焦距，，，所以一条渐近线方程为，即，，故选A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想8、C【解题分析】

求导后代入即可.【题目详解】易得,故函数在点处的导数是.故选：C【题目点拨】本题主要考查了导数的运算,属于基础题.9、C【解题分析】分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，有种分法，一人得本，另两个人各得本，有种分法，共有种分法，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10、C【解题分析】

化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.11、C【解题分析】

观察上面各式,,,,类比推理即可得到结果.【题目详解】由题,观察上面各式可得,,,则,所以,故选:C【题目点拨】本题考查类比推理,考查理解分析能力.12、C【解题分析】

根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【题目详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有种情况，

由分步计数原理，可得共种不同分配方案，

故选：C.【题目点拨】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-3【解题分析】

根据向量共线的坐标表示即可求解.【题目详解】，,且，共线，即．故答案为：【题目点拨】本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于容易题.14、【解题分析】设，，整理得，15、.【解题分析】

设切点为，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点可得切线方程，进而由定积分求面积即可.【题目详解】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.16、【解题分析】

利用消去参数可得普通方程。【题目详解】由题意，即，又，∴所求普通方程为。故答案为：。【题目点拨】本题考查参数方程化为普通方程，应用消元法可得，但要注意变量的取值范围，否则会出错。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件总数，再列出满足条件的基本事件有6个，由古典概型概率计算公式求解；有序实数对满足，而满足直线的斜率为，即，画出图形，由测度比是面积比得答案．【题目详解】解：在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件总数，直线的斜率为，即，也就是，满足条件的基本事件有6个，分别是：，，，，，，直线的斜率为的概率；在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b，a，，有序实数对满足，而满足直线的斜率为，即，如图：，．直线的斜率为的概率．【题目点拨】本题考查概率的求法，注意列举法和几何概型的合理运用，是中档题．18、（1）（2）①更适合，②181元【解题分析】

（1）三天中至少有2天闲置的即为3天中有两天闲置或者3天都闲置，又每天的出租率为0.2，根据二项分布的相关知识即可求出概率；（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故的拟合效果更好，代入公式求出回归方程即可；②将收益表示为租金的函数，用函数单调性处理即可．【题目详解】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中最多有一天能够租出，又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率：.（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故的拟合效果更好，依题意，，，所以，所以，所以回归方程为.②设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率，所以该民宿在这280天的收益：，所以，令得，，所以，且当时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，存在最大值，所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大.【题目点拨】本题考查线性回归方程，二项分布及其概率计算公式，考查分析求解及转化能力，属于中等题.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）根据正三角形性质得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根据PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.【题目详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以三角形ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，则又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定和性质及利用空间向量求线面角，属中等难度题．20、16【解题分析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：∵∴为与所成角且∵，∴点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.21、sinα2=417【解题分析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出cosα的值，并计算出α2的取值范围，然后利用半角公式计算出s