黑龙江省大兴安岭2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

黑龙江省大兴安岭2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．2．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.7830秒跳绳（单位：次）63756062727063在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断正确的为（）A．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D．10号学生一定进入30秒眺绳决赛3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．4．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．设，则“”是“”成立的（）A．充要不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充要也不必要条件6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（）A．1 B．2 C． D．8．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A． B． C． D．9．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e10．设，则的虚部是（）A． B． C． D．11．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．45° D．120°12．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立。若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于自然数方幂和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，类比以上过程可以求得，A，B，C，D，E，FR且与n无关，则A＋F的值为_______．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围为________．16．已知函数有四个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若正数，满足，求的最小值.18．（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.19．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的列联表.请求出和，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生25总计（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【题目详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D【题目点拨】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。2、D【解题分析】

先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【题目详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【题目点拨】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.3、C【解题分析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【题目详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.4、B【解题分析】

因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【题目详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，，，即函数在上有一个零点答案选B【题目点拨】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数5、C【解题分析】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．考点：充分必要条件．6、C【解题分析】

由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD，利用三角形相似关系可知丨AF丨＝丨AD丨，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【题目详解】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，则丨AF丨＝丨AD丨，设直线AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，则x1+x2，由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故选：C．【题目点拨】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．7、C【解题分析】

由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0可得答案.【题目详解】解：，复数为实数，可得，，故选：C.【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，属于基础题，注意运算准确.8、C【解题分析】

根据已知可得，结合正态分布的对称性，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.9、B【解题分析】

设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【题目详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．10、B【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.【题目详解】∵，∴，∴的虚部是，故选B．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．11、C【解题分析】

求导得：在点处的切线斜率即为导数值1.所以倾斜角为45°.故选C.12、A【解题分析】每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为,故选.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：先根据推导过程确定A,F取法，即得A＋F的值.详解：因为,，所以,所以,,所以.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.14、1【解题分析】

根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52），计算可得答案．【题目详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）=1．可求得100的所有正约数之和为1；故答案为：1.【题目点拨】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15、【解题分析】

令，求导数，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【题目详解】由题意得，，

，令，则令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

，

，且当时，，当时，

所以函数与的图象有且只有三个交点，

则只需和图象有且只有三个交点，

故

故答案为：【题目点拨】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于难题．16、【解题分析】

由题意可知是偶函数，根据对称性问题转化为直线与曲线有两个交点.【题目详解】因为是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，，当时，，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，故故答案为：【题目点拨】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集；（2）由题意得，再根据基本不等式即可求出.【题目详解】（1）因为所以①当时，由，解得②当时，由，解得又，所以③当时，不满足，此时不等式无解综上，不等式的解集为（2）由题意得所以=当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【题目点拨】本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式的简单证明，注意利用基本不等式证明时要强调等号成立的条件！18、（1）；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【题目详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，，所以，所以.，，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【题目点拨】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.19、（1），；（2）【解题分析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．20、(1).(2).【解题分析】分析：（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可.详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，，，综上所述.(2)当时，令由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，.点睛：本题考查函数