新人教版高中数学五本书教材例题课后习题变式含答案4

第四章数列

4.2等差数列

4.2.1等差数列的概念

例1(1)已知等差数列｛4｝的通项公式为。“=5-2〃，求｛4｝的公差和首项；

(2)求等差数列8,5,2,…的第20项.

分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由q-

即可求出公差d；(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公

式求数列的第20项.

解：⑴当也.2时,由｛叫的通项公式4=5-2〃，可得

a,i=5-2(〃-1)=7-2〃.

于是d=%-a“_i=(5-2〃)一(7-2〃)=-2.

把〃=1代入通项公式％=5-2",得

q=5—2x1=3.

所以，｛叫的公差为-2,首项为3.

(2)由已知条件，得

d=5-8=-3.

把q=8,4=-3代入”“=4+(〃-1时，得

an=8-35-1)=11-3”.

把〃=20代入上式，得

a20=ll-3x20=-49.

所以，这个数列的第20项是-49.

例2Y01是不是等差数列-5,-9,-13,......的项？如果是，是第几项？

分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于〃的方程，再看T01是否能使这个

方程有正整数解.

解：由％=-5,d=—9-(-5)=T,得这个数列的通项公式为

an=-5—4(〃一1)=-An-1.

令Y”—1=TO1,

解这个关于〃的方程，得〃=100.

所以，T01是这个数列的项，是第1()()项.

练习

1.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差.

(1)95,82,69,56,43,30；

(2)1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111；

(3)1,—2,3,—4,5,16；

1153271

12643122

【答案】(1)是等差数列，公差为-13；(2)不是等差数列；(3)不是等差数列；(4)

是等差数列，公差为」.

【解析】

【分析】根据等差数列的定义对(1)、(2)、(3)、(4)逐个分析即可求解.

【详解】解：(I)由82—95=69—82=56—69=43—56=30—43=—13,即该数歹U

从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-13,所以由等差数列的定义知该

数列为等差数列，公差为-13；

(2)通过观察可知，1.1—1=0.1,1.11-1.1=0.01,L该数列从第二项起，每一

项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；

(3)通过观察可知，-2-1=-3,3-(-2)=5,L该数列从第二项起，每一项与

前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；

⑷由11一1二」="2一3

,即该数列从第二

12612463412321212

项起，每一项与前-项之差为同一个常数带,所以由等差数列的定义知该数列

为等差数列，公差为-二.

2.求下列各组数的等差中项:

(1)647和895；

13

(2)—12—和24—.

35

92

【答案】(1)771；(2)—.

【解析】

【分析】由等差中项的定义直接求解即可.

647+895

【详解】(1)设647和895的等差中项为。，则。=>=771,故647和895

2

的等差中项为771；

]3

13-1122-+24-13

(2)设一12：和24：的等差中项为分，则八3592,故一12：和24：

350=-----------=-35

的等差中项为9治2

3.已知在等差数列｛%｝中,%+。8=2。，％=12.求明.

【答案】4=6

【解析】

【分析】设等差数列的公差为乩由等差数列通项公式性质知%+%=2《，求得

4=1°，进而求得公差人即可得解.

【详解】设等差数列的公差为%则在等差数列｛%｝中,

%+4=2a6—20,4=10

:.d=%—%=12-10=2

，%%—3d=12—6=6

4.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.

【答案】10.5,14,17.5

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数.

【详解】解：・・・在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数歹U,

q=7

解得d=3.5,

a5=q+4d=21

=7+3.5=10.5,

%=7+2x3.5=14,

a4=7+3x3.5=17.5,

・•・插入的这3个数为10.5,14,17.5.

例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其

价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知

这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备

将报废.请确定d的取值范围.

分析：这台设备使用〃年后的价值构成一个数列｛。,,｝.由题意可知，10年之内（含

10年），这台设备的价值应不小于（220x5%=）11万元；而10年后，这台设备的价

值应小于11万元.可以利用｛4｝的通项公式列不等式求解.

解：设使用“年后，这台设备的价值为4万元，则可得数列｛〃,,｝.由已知条件，得

%=%.「"（〃••2）.

由于d是与〃无关的常数，所以数列｛。,,｝是一个公差为的等差数列.因为购进设

备的价值为220万元，所以q=220-4,于是

=4+（〃-1）（-4）=220-nd.

根据题意，得伊吧;;’

M<11,

1220-10d>11,

pn1（220-lid<11,

解这个不等式组，得19<d,,20.9.

所以，d的取值范围为19<4,20.9.

例4已知等差数列｛a,,｝的首项q=2,公差d=8,在｛a,,｝中每相邻两项之间都插

入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列也｝.

（1）求数列出｝的通项公式.

（2）49是不是数列｛q｝的项？若是，它是｛凡｝的第几项？若不是，说明理由.

分析：（1）｛4｝是一个确定的数列，只要把％,的表示为也｝中的项，就可以利

用等差数列的定义得出也｝的通项公式；（2）设｛风｝中的第〃项是也｝中的第C,

项，根据条件可以求出〃与c“的关系式，由此即可判断%是否为｛凡｝的项.

解：（1）设数列也｝的公差为心

由题意可知，々=4，/%,于是

々一b、=4—q=8.

因为々—々=4"',所以4d'=8,所以，=2.

所以2=2+5-1）x2=2〃.

所以，数列也｝的通项公式是2=2〃.

（2）数列｛%｝的各项依次是数列｛"｝的第1,5,9,13,…项，这些下标构成一

个首项为1,公差为4的等差数列£｝,则c,,=4〃-3.

令4〃—3=29,解得“=8.

所以，49是数列｛%｝的第8项.

例5已知数列｛%｝是等差数列，p,q,s,tGN*,且P+4=s+L求证

%,+4=4+&，•

分析：只要根据等差数列的定义写出4，%,a,,a,,再利用已知条件即可得证.

证明：设数列｛q｝的公差为d,则

ap=a｝+（p-Y）d,

%=q+(q_\)d,

as-q+(s-l)d,

at=q+(t—\)d.

所以《+4=2q+(p+4-2)d,as+ar=2a,+(s+t-2)d.

因为〃+4=s+f,所以a「+%=4+4.

练习

5.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一

排都比前一排多2个座位.你能用可表示第〃排的座位数吗？第10排有多少个座

位？

【答案】a”=2〃+13；al0=33

【解析】

【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.

【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项％=15,4=2,

则%=15+(〃—l)x2=2"+13,

4()=2x10+13=33.

综上可知，an=2n+13,第10排的座位数4。=33个.

[18,n=l

6.画出数列°,的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.

an_,-3,1<n<6

【答案】图象见解析，-3

【解析】

18,〃=1.、

【分析】由递推关系为=’,/人，求出1<〃<6值，然后再作出图象,

[的-3,1<〃W6

在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.

18,〃=1

【详解】根据递推关系％可知

an_,-3,l<f?<6

4=18,(22=15,%=12,%=9,%=6,%=3,

18,n=l

作出数列%=的图象，如下图所示:

8

5

2

9

6

3

0\123456"

通过图象上所有点的直线的斜率之二?=与曳=-3.

6—15

7.在等差数列｛为｝中，an=m,am=n,且〃。加，求an,,n.

【答案】2〃

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式，解出《、d,代入金即可.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d

=a1+(n-l)d=m[q=m+n-1

则'>V

4=a1+(m-l)J=nd=-l

所以=4+一〃一l)d=加+〃-1一加+〃+1=2〃

8.已知数列｛%｝,｛4｝都是等差数列,公差分别为4，d2,数列£｝满足

cn=a„+2bn.

（1）数列｛%｝是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.

（2）若｛《,｝,也｝的公差都等于2,4=4=1,求数列£｝的通项公式.

【答案】（1）数列｛4｝是等差数列，证明见解析；（2）=6n-3.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；

（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.

【详解】（1）数列｛%｝是等差数列，

证明：因为数列｛%｝,也｝都是等差数列，公差分别为4，d2,

所以为=4+（〃-1）4也=4+（〃-1）。2，

又因为C“=an+2bn=（4+约）+（〃-1）（4+2J2）,

故--c.=［（4+纥）+〃（4+24）［-［（。1+函）+（〃-1）（4+24）］=4+24,

而q=q+24，所以数列£｝是以q+24为首项，4+24为公差的等差数列.

（2）由（1）知：数列｛c,｝是以4+2々为首项，4+24为公差的等差数列，

而q=弓+24=3,&+2d2=6,

所以q,=3+6（〃-1）=6"-3.

9.已知一个无穷等差数列｛4｝的首项为《，公差为d.

（1）将数列中的前，〃项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数

列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？

如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列

吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？

【答案】（1）是等差数列，首项为4+〃0，公差为d；（2）是等差数列，首项为首

项为卬，公差为2d；（3）是等差数列，首项为4+62,公差为7d；猜想：等差数

列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.

【解析】

【分析】（1）由题意可知，新的数列为：am+i,ain+2,am+3,L,可知新等差数列的首项

及公差；

（2）由题意可知，新的数列为：q,%，%，L，4,用，1,可知新等差数列的首项及

公差；

（3）由题意可知，新的数列为：«7,«I4,«21,L,«7„,L,可知新等差数列的首项及

公差，进而得到猜想.

【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列｛%｝的前，”项去掉，其余各项组成一

个新的数列为：

%+i，a,"+2，％,+3，L，这个新数列是等差数列，首项为勺+1=4+，泡，公差为d.

（2）由题意可知，取出无穷等差数列｛q｝中的所有奇数项，组成一个新的数列

为：

a3,a5,L,<72„+I,L,这个新数列是等差数列，首项为外,公差为2d.

（3）由题意可知，取出无穷等差数列｛《,｝中所有序号为7的倍数的项，组成一个

新的数列为：

a7,al4,a21,L,fl7n,L,这个新数列是等差数列，首项为由=4+6”,公差为

«14_%=［（!.

猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.

4.2.2等差数列的前n项和公式

例6已知数列｛%｝是等差数列.

（1）若q=7,a50=101,求S50；

（2）若q=2,a2,求Si。；

（3）若％=2，d=-—,Sn=-5,求几

26

分析：对于（1）,可以直接利用公式S"=〃（"+%）求和;在（2）中，可以先利

用外和。2的值求出力再利用公式唯=.+”"；Dd求和;（3）己知公式

3=31+若21中的4,d和S,,,解方程即可求得〃.

解：（1）因为4=7,%0=1。1，根据公式5“=〃（"+""）,可得

2

50x（74401）=270（）

502

（2）因为6=2,4=［，所以d=（根据公式S.=叫+勺可得

。sc10x(10-1)185

S=10x2+——----x-=—.

1l0o222

(3)把d^-\,"=-5代入5“=叫+”也1,得

262

一5」〃+叫』二］.

22I6)

整理，得

"-7〃-60=0.

解得〃=12,或〃=-5(舍去).

所以"=12.

例7已知一个等差数列｛4｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件

能确定这个等差数列的首项和公差吗？

分析：把已知条件代入等差数列前〃项和的公式(2)后，可得到两个关于q与d

的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得《和d.

解：由题意，知

，o=31O,邑0=1240.

把它们代入公式

cn(n-l),

S“=叫+---d,

/曰110%+45d=310,

行120al+190d=1220.

解方程组，得｛1二：

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.

练习

10.根据下列各题中的条件，求相应等差数列｛%｝的前〃项和S,.

(1)4=5,an=95,n=10；

(2)a,=100,d=—2,7?=50；

(3)q=—4,as=-18,；?=10；

(4)a,=14.5,d=0.7,«„=32.

【答案】(1)兀=500；(2)§50=2550；(3)Sl0=-130；(4)S20=604.5

【解析】

【分析】(i)利用等差数列求和公式s“=〃⑷;4)直接求解;

(2)利用等差数列求和公式S“=/％+殁—4直接求解；

(3)先求出等差数列的公差d,再利用求和公式即可得解；

(4)利用,=32求出项数〃=26,再利用求和公式即可得解；

【详解】(1)由题意6=5,aa=95,n=10,

所以品)=10.；"。)=叱彳+灼=5x100=500.

(2)由题意4=100,d=-2,〃=50,

50x49

所以S5()=50x100+—-x(―2)=5000-50x49=50x51=2550.

(3)由题意q=—4,6=—18,n=10,=q+7〃=一4+71=-18,d=—2,

1()x9

所以&=10x(-4)+x(-2)=-40-90=-130.

(4)由题意4=14.5,d=0.7,凡=32,

由=q+(〃一l)d,得32=14.5+5-1)x0.7,解得〃=26,

所以S26x(14.5+32)=6045

及2

11.等差数列-1,-3,-5,…的前多少项的和是-100?

【答案】10

【解析】

【分析】根据题意，找到首项和公差，利用前〃项和公式即可解得.

【详解】等差数列-1,-3,-5,…的首项为4=-1,公差d=-2,

设前w项的和为-100,则有Sn=叫+"(?)d=-n+"7)x(-2)=-100,

解得：n=\0.

即等差数列-1,-3,-5,…的前10项的和是TOO.

12.在等差数列｛%｝中，S,为其前〃项的和，若邑=6,58=20,求品,.

【答案】72

【解析】

【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d,

-4a,+6d=631

则;0'0/”，解得q=；，"=，，

S8=8q+28d=2042

03,16x151”

则rail几=16x^+——x-=72.

13.在等差数列｛q｝中，若号5=5（%+4+火），求女.

【答案】16

【解析】

【分析】结合等差数列的前n项和公式得到15（6+15）=5（生+4+4），然后结合

中项性质得到36=%+4+4，进而利用通项公式即可求解.

【详解】因为九=5（%+&+4）,所以15（2；/）=5（4+4+4）,

即154=5（4+4+4），因止匕3%=%+%+4,

所以3（q+7"）=q+4+4+5d+q+（k-1）d,由题意知dw0,

所以15=Z—1,所以攵=16

14.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的

和为261.求此数列中间一项的值以及项数.

【答案】此数列中间一项是29,项数为19.

【解析】

【分析】设等差数列的项数为2〃-1,利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有

偶数和的比与〃的关系，求出〃，即可求出项数及中间一项.

【详解】设等差数列的项数为2〃-1,

设所有的奇数项和为S,则S=〃⑷[*）=,

设所有的偶数项和为T,则丁二伽_1）（彳+生

Tn-l2619山口0

—=----=----=—，解得〃=10,

Sn29010

项数2〃-1=19,中间项为4。，

由S=10aI0=290,al0=29,

所以此数列中间一项是29,项数为19.

例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2

排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.

分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列｛4｝.设数列｛%｝的前

〃项和为S“，由题意可知，｛a,,｝是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可

利用等差数列的前〃项和公式求首项.

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列

｛a,,｝,其前〃项和为S”.根据题意，数列｛4｝是一个公差为2的等差数列，且

S20=800.

由S20=200+20x（20T）,可得q=2i.

因此，第1排应安排21个座位.

例9已知等差数列｛q,｝的前〃项和为S“，若％=10,公差"=-2,则S,,是否存

在最大值？若存在，求S“的最大值及取得最大值时〃的值；若不存在，请说明理

由.

分析：由6>0和4<0,可以证明｛可｝是递减数列，且存在正整数2,使得当

〃2Z时，区,<0,S,,递减.这样，就把求S“的最大值转化为求｛%｝的所有正数项的

和.

另一方面，等差数列的前〃项和公式可写成所以当

时，s“可以看成二次函数y=gd+1%-g)x(xGR)当X="时的函数值.如图4.2-

4,当。<0时，S“关于〃的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以

利用二次函数求相应的〃，S,,的值.

5.

30->.

28-•・

24-•.

18-••

io[«.

6|'246'810*12n

图4.2-4

解法1：由以。“+|-%=-2<0,得。，用<4,所以｛%｝是递减数列.

又由4=10+(〃-1»(-2)=-2〃+12,可知：

当“<6时，«„>0；

当〃=6时，«„=0；

当〃>6时，<0.

所以S]<§2<■••<S5—Sb>S-j>•••.

也就是说，当〃=5或6时，S“最大.

因为Ss=|x[2xl0+(5-l)x(-2)]=30,所以S.的最大值为3d

解法2：因为S“-彳)〃=_〃2+ii〃=_(〃_!!+我1,

212)2)4

所以，当〃取与;最接近的整数即5或6时，S“最大，最大值为30.

练习

15.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选

择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领

取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10

元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？

【答案】第二种方式获奖者收益更多.

【解析】

【分析】从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以1()()为首项,

以10为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.

【详解】从12月20号到第二年的I月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项,

以10为公差的等差数列，即q=100,1=10,〃=13

所以共获奖金13x100+—^xl0=2080元，

由于2080>2000,故第二种方式获奖者收益更多.

16.已知数列｛%｝的前〃项和S“=；"2+g〃+3.求这个数列的通项公式.

47,

—,n-1

12

【答案】氏=

15、

-n-\---,n>2

1212

【解析】

£,〃=1

【分析】利用公式为=<

1247

【详解】当〃=1时，^=^=-+-+3=—,

当“22时，=S“—S,i=；“2+；”+3一；(〃-1)2一[(〃-1)-3=；〃+得,

151147

当刀=1时,=—I=—W,

2121212

47

五，〃=1

所以=«

15

-n-\---,n>2

[212

17.已知等差数列~4.2,-3.7,-3.2,…的前〃项和为S“，S”是否存在最大

(小)值？如果存在，求出取得最值时〃的值.

【答案】S,存在最小值，〃=9

【解析】

【分析】由已知可求得数列的通项公式4=0.5〃-4.7，令%>0,可知〃>9且〃eN*,

可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值S“存在最小值.

【详解】由已知可知等差数列的首项4=-4.2,公差d=—3.7+4.2=0.5

则数列的通项公式为an=4+(〃—l)d=-4.2+(〃-l)x0.5=0.5〃—4.7

令。”>0,即0.5〃一4.7>0,又〃eN*，・・.“>9且〃eN*

即数列的前9项都是负数，第10项为正数，

故当〃=9时，S“存在最小值.

18.求集合”={讨〃?=2〃-1,〃€汽*,且机<60}中元素的个数，并求这些元素的

和.

【答案】集合M中有30个元素，这些元素的和为900.

【解析】

【分析】由集合M的元素特点可知，集合加={1,3,5,7,L59},再利用等差数列求

和公式可得解.

【详解】集合M={M〃Z=2〃—且加<60},即"={1,3,5,7,L59}

共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列

利用等差数列求和公式得S30=30网=900

故集合M中有30个元素，这些元素的和为900.

19.已知数列{q}的通项公式为4=在卡，前〃项和为S”.求S”取得最小值时

n的值.

【答案】〃=7

【解析】

【分析】首先求出数列的正负项，再判断S,,取得最小值时〃的值.

【详解】当(〃一2)(2〃-15)<0,

解得：〃=2,3,4,5,6,7,

当〃=1和〃28时,«„>0,

所以S,取得最小值时，〃=7.

习题4.2

20.根据下列等差数列｛4｝中的已知量，求相应的来知量：

(1)4=20,a.=54,Sn=999,求d及〃;

(2)d=；,〃=37,Sn=629,求q及；

(3),d=--,S=-5,求〃及a“；

6n6

(4)d=2,"=15,a”=—10,求6及S“.

173

【答案】(1)d=—,〃=27；(2)4=11,。37=23；(3)n=15,a=--；(4)

132]5

a｝=—38,Si5=—360.

【解析】

【分析】(1)由已知结合s”=幽押，求出〃，再由通项公式，求出d；

(2)由已知结合5,,=〃4+或罗1,求出《，再由通项公式求出%7；

(3)由已知结合5'="4+"；"d,求出"，再由通项公式求出凡；

(4)由已知结合通项公式，求出外，再由前〃项和公式求出$5.

【详解】(1)因为等差数列｛4｝中，4=20,。“=54,S“=999,

所以S"==37〃=999,〃=27,

,254-2017

a„=a\+(n-1)d,Jd==—；

(2)因为等差数列｛%｝中，d=g,n=37，S“=629,

所以S“=629=37a,+卫产x；=37a,+222,

解得q=1l,a〃=a31=11+36x—=23；

(3)因为等差数列｛4｝中，4=3，d=J,S„=-5,

66

„u5n(n-l).1.

所CCH以IS.=-5=-n+--—x(--),

626

整理得“2—ii”—60,解得〃=15,或〃=T(舍去)，

4=%=|+14x(_/=_g；

(4)因为等差数列｛q｝中，d=2,〃=15,«„=-10,

=—10=q+14x2,q=—38,

15x(-38-10)

S.=九=----------=-360•

21.已知｛q｝为等差数列，4+%+%=1。5,4+%+%=99.求心.

【答案】1

【解析】

【分析】设｛%｝的公差为d,根据通项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出

。20•

【详解】设｛%｝的公差为d,首项为外,根据题意得

q+q+2d+%+4d=105

<

q+d+%+3d+4+5d=99

fa=39

d=—2

“20=4+19d=1

22.(1)求从小到大排列的前〃个正偶数的和.

(2)求从小到大排列的前〃个正奇数的和.

(3)在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和.

(4)在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2?这些数的和是多少？

【答案】(1)〃(〃+1)；(2)〃2；(3)180,98550；(4)13,663.

【解析】

【分析】根据等差数列的前〃项和公式求和即可.

【详解】(1)通项公式为4=2〃，所以£,=幽产1=〃(〃+1),

(2)通项公式为q=2〃-1,所以S,,=

2

(3)因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100,最大是995,

所以〃=(995-100)+5+1=180,

故和为00°+995)X】80=9855。,

2

(4)被7整除余2的数为7〃+2(〃GN*),当〃=14时，这个数等于100,所以在

小于100的正整数中共有13个数被7整除余2,每相邻两个数之间的差(大数减小

数)为7,

7

所以9x13+13x12x^=663.

2

23.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗

星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再

度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出

哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份.

【答案】2061年

【解析】

【分析】查历史记载列出时间表，根据即可回归周期求出它在本世纪回归的年份.

【详解】根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：

次数123457

年份160716821759183519101986

预测它在本世纪回归的年份为2061年.

24.己知一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列，最大的边长为

44cm,公差为3cm、求这个多边形的边数.

【答案】4

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数.

【详解】由题意可知：。“=44,S“=158,d=3

-58

则*n(a+44)=316

即＜1得3/—9」n+3」6=0

ax=47-3〃

an=4+3(〃-1)=44

解得：〃=4或〃=可（舍去）

故这个多边形的边数为4.

25.已知数列｛a,｝,仍“｝都是等差数列，且q=5,4=15,4Go+40c=100,求数

列｛4+〃｝的前10。项和.

【答案】6000

【解析】

【分析】通过｛4｝,｛2｝都是等差数列，则｛。,,+2｝也是等差数列，直接利用等差数

列前〃项和公式求出数列｛an+b,｝的前100项和即可.

【详解】解：因为数列｛4｝,｛2｝都是等差数列，所以｛4+〃｝也是等差数列，又

q=5,4=15,。仙+4go—100,

则数列｛4+〃｝的前100项和为：侬U铲32_=*132=6000.

26.已知S,是等差数列｛凡｝的前〃项和.

（1）证明是等差数列；

（2）设7.为数列的前〃项和，若其=12,58=40,求7“.

15

2

2-+-

【答案】（1）证明见解析;4/74

【解析】

Si

【分析】（D写出S〃，求出必L,化简2一,最终得出结论;

nnn-1

⑵求吟,求出公差〃,进一步求出乎根据求和公式得出小

【详解】(1),.•S.=〃G+^^d=g〃2+(q—

.Sdd

一n=3〃+(4

n22

nn-12122V7122

,.榭是等差数列;

"二5

(2)

S&S4

公差d_8-4_53=]

442

又•；&=3+3d

41

邑-3d=3-3^=3

1422

3

—+(n-l)J—+

n2

3n(n-l)11o5

=〃-4------x—=—n~+—n.

22244

27.已知两个等差数列2,6,10,...,190及2,8,14,…，200,将这两个等差

数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.

【答案】1472

【解析】

【分析】根据题意求出两个数列，相