苏科版八年级上册数学《期末检测试卷》附答案

苏科版数学八年级上学期

期末测试卷

学校班级姓名成绩________

一、选择题（本大题有8小题,每小题3分，共24分）

1.下列标志中，不是轴对称图形的是（）

A（H）BCC⑨

2.若等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,则它的腰长为（）

A.7B.6C.5D.4

3.点（2,-3）关于原点对称点的坐标是（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.（-3,-2）D.(2,-3)

4.在下列各数中，无理数有（）

4,34,弓,我,衿,0

A.I个B.2个C.3个D.4个

5.如果m是任意实数，则点P（m—4,m+1）一定不在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

I'TLX+72>KX+b

6.如图，直线y=，nr+〃与丁="+。的图像交于点（3,-1）,则不等式组1一八'的解集是（）

mx,+n<0

C.---WxW3D.以上都不对

mm

7.如图，若8。是等边AABC的一条中线，延长BC至点E,使CE=CD=x，连接力瓦则OE的长为（）

A.且xB.2GxC.@xD.瓜

23

8.如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=S,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为（）

A.2.8B.272C.2.4D.3.5

二、填空题（本大题有8小题,每小题4分，共32分）

9.已知一次函数弘=依+6与%=如+〃的函数图像如图所示,则关于％，V的二元一次方程组

kx-y+b=Q,

八的解是.

inx-y+n-0

10.已知4ABC中，AB=17,AC=10,BC边上得高AD=8,则边BC的长为

11.在△A8C中，已知AB=15,AC=11,则BC边上的中线AO的取值范围是__.

12.化筒：J（—3）2-西+而=

13.如图，在ABC中，/A=60。,。是8c边上的中点/ABC的平分线BF交OE于ABC内一点

P,连接PC,若NACP=〃2。，/ABP=〃。,则m,〃之间的关系为

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1,3）,点B的坐标为（2,-1）,点C在同一坐标平面中,

且AA8C是以AB为底的等腰三角形，若点C的坐标是（x,y），则x、y之间的关系为产（用含有x

的代数式表示）.

15.如图，已知直线小丫=履+4交x轴、），轴分别于点A（4,0）、点、B（0,4），点C为x轴负半轴上一点，过

点C的直线/2：y=〃经过AB的中点尸，点。（r,0）是X轴上一动点，过点Q作QMLx轴,分别交人、

，2于点M.N,当MN=2MQ时,t的值为.

16.如图,已知点M（-1,0），点N（5肛3m+2）是直线AB：y=-x+4右侧一点,且满足NOBM=/ABN,则

点N的坐标是.

三、解答题（本大题有9小题，共84分）

17.⑴计算：（一卜一四P+病一（3%-9）。一（4+石”（4—6）;

(2)求x值：3(X+3)2=27.

18.如图,M、N两个村庄落在落在两条相交公路A0、80内部,这两条公路的交点是0,现在要建立一所中

学C,要求它到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等.试利用尺规找出中学的位置（保留作图痕

迹,不写作法）.

19.己知：如图，点A是线段CB上一点,△A8。、ZkACE都是等边三角形,与BE相交于点6,4£与（7。

相交于点F.求证：AAGF是等边三角形.

20.如图，在△ABC中,4C=BC,/ACB=90。，点。在BC上，以A3,OC=1,点P是4B上的动点，当4PC£）的周

长最小时,在图中画出点P的位置,并求点P的坐标.

21.证明：最长边上中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形.

22.如图，在等腰直角三角形4BC中，ZACB=90°,AC=BC,A。平分NBAC,SOLA。于点E是AB的中点,

连接CE交AD于点F,BD=3,求BF的长.

23.【阅读・领会】

材料一：一般地，形如，?(。20)的式子叫做二次根式,其中“叫做被开方数.其中，被开方数相同的二次根

式叫做同类二次根式.像同类项一样，同类二次根式也可以合并,合并方法类似合并同类项,是把几个同类二

次根式前的系数相加，作为结果的系数,即mG+=(m+>0).利用这个式子可以化简一些含

根式的代数式.

材料二：二次根式可以进行乘法运算,公式是Gx扬=J拓.(a>0,/>>0)

我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地,当a20”20时，

根据积乘方运算法则,可得(右x声>=(々)2x(扬了=诏，

(Va)2=a(a>0),(>[ab)2=ab.于是JZxJB、J拓都是ab的算术平方根，

•••Gx振=4ab\a>0,/?>0)利用这个式子,可以进行一些二次根式的乘法运算.

将其反过来,得，益=&X®(a>0,Z?>0)它可以用来化简一些二次根式.

材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式：

(I)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

(II)被开方数中不含分母；

(III)分母中不含有根号.这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式.

【积累・运用】

(1)仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样,试推导二次根式除法公式.

(2)化简：J(—2)2。3比5320力20,C20)=.

_i_AIr)nh-I-/7~。=7,

(3)当0<a<b时,化简土吆J”.并求当八时它的值.

a-b\a,3b，2+a2b3W=9

24.如图,在平面直角坐标系中，已知4(4,0)、B(0,3).

(2)在坐标轴上是否存在点P,使AABP是等腰三角形?若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理

由.

25.【模型建立】

(1)如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90,CB=C4,直线££)经过点。，过人作于点

。，过8作8£_1_石。于点£.求证：△BECMAS4；

【模型应用】

4

(2)已知直线y=§x+4与坐标轴交于点A、B,将直线4绕点A逆时针旋转45至直线4,如图2,

求直线6的函数表达式；

(3)如图3,长方形A8C0,。为坐标原点，点8的坐标为(8,-6),点A、C分别在坐标轴上，点P是线段

上的动点，点O是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限.若是以点。为直角顶点的等腰直角

三角形,请耳掾写出点。的坐标.

答案与解析

一、选择题（本大题有8小题,每小题3分，共24分）

1.下列标志中，不是轴对称图形的是（）

A（S3）BQC®D

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的性质对各项进行判断即可.

【详解】A.是轴对称图形；

B.不是轴对称图形；

C.是轴对称图形：

D.是轴对称图形；

故答案为：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的问题,掌握轴对称图形的性质是解题的关键.

2.若等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,则它的腰长为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】

【详解】：等腰三角形ABC中,AB=ACAD是BC上的中线，

：.BD^CD=^-BC^3,

AO同时是BC上的高线，

-'-AB=ylAD2+BD2=5-

故它的腰长为5.

故选C.

A

3.点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.

【详解】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数，

・••点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是(-2,3).

故选A.

【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标,熟练掌握坐标特征是解题的关键.

4.在下列各数中，无理数有()

y/4,37T,—,y/S,y/9,0

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

先将能化简的进行化简，再根据无理数的定义进行解答即可.

【详解】V74=2,圾=2,

这一组数中的无理数有：3人，强共2个.

故选:B.

【点睛】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.

5.如果m是任意实数，则点P(m—4,m+1)一定不在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

求出点P的纵坐标一定大于横坐标,然后根据各象限的点的坐标特征解答.

【详解】V（m+l）-（m-4）=m+l-m+4=5>0,

；•点P纵坐标一定大于横坐标..

•••第四象限的点的横坐标是正数,纵坐标是负数，

第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标.

点P一定不在第四象限.

故选D.

1‘TLX+72>KX+b

6.如图，直线y=+〃与y="+〃的图像交于点（3,-1）,则不等式组《一,、’的解集是（）

mx+n<0

D.以上都不对

mm

【答案】C

【解析】

【分析】

h—n

首先根据交点得出--=3,判定m<0,k>0,然后即可解不等式组.

m-k

【详解】•直线y=尔+〃与y=的图像交于点（3,-1）

3m+〃=—1,3k+b=-1

h—n

3m+n=3k+b,即-----=3

m-k

由图象，得

；・mx+n>kx+b,解得x43

几

mr+«<0,解得---

m

n

，不等式组的解集为：一一<x<3

m

故选：C.

【点睛】此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集,利用交点是解题关键.

7.如图,若BQ是等边△ABC的一条中线,延长8c至点E,使CE=CD=x,连接DE,则OE的长为()

A.曲xB.2A/3XC.超xD.后

23

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE,求出BC,在RtABDC中，由勾股定理求出BD即可.

【详解】解：•••△ABC为等边三角形，

NABC=NACB=60°,AB=BC,

；BD为中线，

2

VCD=CE,

ZE=ZCDE,

,/ZE+ZCDE=ZACB,

.,./E=30°=/DBC,

；.BD=DE,

YBD是AC中线,CD=x,

/.AD=DC=x,

VAABC是等边三角形，

.\BC=AC=2x,BD±AC,

在RtABDC中，由勾股定理得：BD=y/(2x)2-x2=V3x

DE=BD=y/3x

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形性质，勾股定理,等腰三角形性质,三角形的外角性质等知识点的应用，关键

是求出DE=BD和求出BD的长.

8.如图，正方形A8CZ）的边长为10,AG="=8,BG=£）H=6,连接GH,则线段GH的长为（）

A.2.8B.2&C.2.4D.3.5

【答案】B

【解析】

【分析】

延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明4ABG丝4CDH丝/XBCE,可得

GE=BE-BG=2,HE=CH-CE=2,ZHEG=90°,从而由勾股定理可得GH的长.

【详解】解：如图，延长BG交CH于点E,

四边形ABCD是正方形,

ZABC=90°,AB=CD=10,

VAG=8,BG=6,

AG2+BG2=AB2,

ZAGB=90°,

Zl+Z2=90°,

XVZ2+Z3=90°,

同理：Z4=Z6,

在AABG和ACDH中，

AB=CD=10

AG=CH=8

BG=DH=6

.•.△ABG^ACDH(SSS),

AZ1=Z5,Z2=Z6,

AZ2=Z4,

在AABG和ABCE中，

VZ1=Z3,AB=BC,Z2=Z4,

.,.△ABG^ABCE(ASA),

ABE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC=ZAGB=90°,

AGE=BE-BG=8-6=2,

同理可得HE=2,

在Rt^GHE中，

GH=yjGE2+HE2=722+22=242

故选：B.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证

三角形全等得出aGHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键.

二、填空题(本大题有8小题,每小题4分，共32分)

9.已知一次函数弘=履+6与%=如+〃的函数图像如图所示,则关于％，N的二元一次方程组

kx-y+b=Q,

的解是

inx-y+n-0

x=-X

【答案】1c

[y=2

【解析】

【分析】

根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解,从而可得答案.

【详解】解：I•一次函数X=履+人和一次函数必=机氏+〃的图象交点的坐标为（一1，2）,

fx=-l

・・・方程组4kx-y+b=O八的解是：c.

nvc-y+n=O[y=2

故答案为：\x=-l.

b=2

【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的

点，就一定满足函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.掌握以上知识是解题的

关键.

10.已知4ABC中,AB=17,AC=10,BC边上得高AD=8,则边BC的长为

【答案】21或9

【解析】

【分析】

由题意得出NADB=NADC=90°,由勾股定理求出BD、CD,分两种情况，容易得出BC的长.

①如图1所示：

：AD是BC边上的高，

Z.ZADB=ZADC=90°,

BD=y/AB2-AD2=>/172-82=15,CD=7AC2-AD2=V102-82=6

/.BC=BD+CD=15+6=21；

②如图2所示:

同①得:BD=15,CD=6,

.".BC=BD-CD=15-6=9；

综上所述：BC的长为21或9.

【点睛】本题考查了勾股定理、分类讨论思想；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.

11.在△A8C中，已知AB=15,AC=11,则BC边上的中线的取值范围是,

【答案】2VA£><13

【解析】

【分析】

延长至E,使得DE=AD,连接CE,然后根据“边角边”证明△A8Q和△ECO全等,再根据全等三角形对

应边相等可得然后利用三角形任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边求出AE的取值范围,

从而得解.

【详解】解：如图，延长AD至E,使得DE=AD,连接CE,

：AD是AABC的中线,

BD=CD,

在4ABD和4ECD中,

VAD=DE,/ADB=/EDC,BD=CD

.".△ABD^AECD(SAS),

；.AB=CE,

,/AB=15,

；.CE=15,

VAC=11,

.•.在4ACE中，15—11=4,15+11=26,

.".4<AE<26,

.".2<AD<13；

故答案为：2VADV13.

A

【点睛】本题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系,解题的关键是将中线AD

延长得AD=DE,构造全等三角形,然后利用三角形的三边的关系解决问题.

12.化简：7（-3）2-V27+V16=.

【答案】4

【解析】

【分析】

根据算数平方根和立方根的运算法则计算即可;

【详解】解：7（-3）2-V27+716=3-3+4=4

故答案为4.

【点睛】本题主要考查了算数平方根和立方根的计算,熟记运算法则是解题的关键.

13.如图，在ABC中，乙4=60。,。是BC边上的中点,OELBC,/ABC的平分线B尸交。E于ABC内一点

P,连接PC,若N—叫NA8P』。,则必n之间的关系为.

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的性质，可得NPBC=NPCB,结合角平分线的定义,可得NPBC=/PCB=NABP,最后根

据三角形内角和定理，从而得到，"、〃之间的关系.

【详解】解：；点D是BC边的中点,DELBC,

；.PB=PC,

，NPBC=NPCB,

：BP平分/ABC,

ZPBC=ZABP,

ZPBC=ZPCB=ZABP=n°,

,/ZA=60°,NACP=m。，

ZA+ZABC+ZACB=\SO0,

：.ZPBC+ZPCB+ZABP=120o-m0,

.,.3ZABP=120°-m°,

，3n°+m°=120°,

故答案为：m+3n=120.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质的运用，角平分线的定义,解题时注

意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形内角和等于180。.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1,3），点8的坐标为（2,-1）,点C在同一坐标平面中,

且AABC是以AB为底的等腰三角形，若点C的坐标是（x,y）,则x、y之间的关系为产（用含有x

设AB的中点为。，过。作AB的垂直平分线£尸，通过待定系数法求出直线AB的函数表达式，根据

EFl.AB可以得到直线EF的左值，再求出AB中点坐标,用待定系数法求出直线EF的函数表达式即可.

【详解】解：设A3的中点为。，过。作A3的垂直平分线EF

设直线AB的解析式为y=klx+bl,把点A和B代入得:

k+b=3匕=一4

解得:

2k+b=—1瓦=7

：.y=-4x+7

D为AB中点，即0(,—^―)

3

•••0(-,1)

2

设直线EF的解析式为y=k2x+b2

•/EFLAB

=—1

把点D和k2代入y=+4可得:

,13,

1=-x—卜

42'

.♦.点C(x,y)在直线y='x+*上

48

故答案为:X+}

48

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，中垂线的性质，待定系数法求一次函数的表达式，根据题意作出

中垂线，再用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键.

15.如图，已知直线八：丫=去+4交x轴、y轴分别于点A(4,0)、点8(0,4)，点C为x轴负半轴上一点，过

点C的直线/2：y=〃经过AB的中点尸，点。（r,0）是x轴上一动点，过点。作QMJ_x轴,分别交/1、

/2于点M、N,当MN=2MQ时,f的值为.

【答案】10或一

7

【解析】

【分析】

先求出后〃的值，确定。4的关系式,然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点以A'的坐标，由两点

间的距离公式求得，眦欣的代数式，由已知条件,列出方程，借助于方程求得t的值即可；

【详解】解：把A（4,0）代入到丁=依+4中得：4左+4=0,解得：k=-l,

4的关系式为：y=-x+4,

为AB的中点，A（4,0）,B（0,4）

由中点坐标公式得：尸（2,2）,

把P（2,2）代入到y=；x+〃中得：；x2+〃=2,解得：〃=1,

的关系式为：y=—x+1,

-2

VQM1X轴,分别交直线4,4于点M、N,Q（r,o）,

/.M&T+4）,+

(—r+4)—g+1)=|f—3,MQ=\-t+4\=\t-4\,

•；MN=2MQ,

3

5,-3=2/-4|,

分情况讨论得:

①当年4时,去绝对值得:

3

-r-3=2(r-4),

解得：r=10；

②当2wr<4时,去绝对值得:

3

-r-3=2(4-/),

22

解得：t=—；

7

③当t<2时,去绝对值得:

3

3-,=2(4-。,

解得：/=1()>2,故舍去;

22

综上所述：，=10或/=一；

7

故答案为：10或三22.

7

【点睛】本题属于一次函数综合题,需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式,一次函数图象上点的坐标特

征,两点间的距离公式等知识点，能够表示出线段的长度表达式,合理的使用分类讨论思想是解决本题的关

键，有一定的难度.

16.如图，已知点M(-1,0)，点N(5皿3加+2)是直线A8：y=-x+4右侧一点，且满足则

点N的坐标是

【答案】停3)

【解析】

【分析】

在x轴上取一点P(1,0),连接BP,作PQ1PB交直线BN于Q,作QR±x轴于R,构造全等三角形

△OBP^ARPQ(AAS)；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q(5,1),易得直线BQ的解

析式,所以将点N代入该解析式来求m的值即可.

【详解】解：在x轴上取一点P(1,0)，连接BP,

作PQ1PB交直线BN于Q,作QRLx轴于R,

ZBOP=ZBPQ=ZPRQ=90°,

JNBPO=NPQR,

VOA=OB=4,

JZOBA=ZOAB=45°,

VM(-1,0),

AOP=OM=1,

ABP=BM,

・・・ZOBP=ZOBM=ZABN,

.\ZPBQ=ZOBA=45°,

APB=PQ,

.•.△OBP^ARPQ(AAS),

.,.RQ=OP=1,PR=OB=4,

AOR=5,

・・・Q(5,1),

3

・•・直线BN的解析式为y=--x+4,

33

将N(5m,3m+2)代入y=--x+4,得3m+2=--x5m+4

解得m=:,

3

故答案为：件3)

【点睛】本题考查了一次函数综合题,需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式,一次函数图象上点的坐标

特征,全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质,两点间的距离公式等知识点,难度较大.

三、解答题(本大题有9小题，共84分)

17.(1)计算：(一卜一血,+源一(3乃一9)°一(4+6)x(4—6)；

(2)求x的值：3。+3y=27.

【答案】⑴-4-272：(2)玉=0,々=一6

【解析】

【分析】

(1)根据二次根式混合的运算、立方根、以及零指数基的法则计算即可

(2)利用直接开平方法解方程即可

【详解】解：(1)原式=3-2夜+5-1-16+5=7-20；

(2)3(X+3)2=27.

*+3产=9.

彳+3=±3.

%]=0,%2=一6

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程,熟练掌握法则是解题的关键

18.如图,N两个村庄落在落在两条相交公路AO、8。内部,这两条公路的交点是O,现在要建立一所中

学C,要求它到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等.试利用尺规找出中学的位置（保留作图痕

迹,不写作法）.

【答案】作图见解析.

【解析】

【分析】

先连接MN,根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE,再作出NAOB的平分线OF,DE与

OF相交于C点,则点C即为所求.

【详解】点C为线段MN的垂直平分线与/AOB的平分线的交点，则点C到点M、N的距离相等，到A0、

B0的距离也相等，作图如下：

【点睛】此题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的

关键.

19.已知：如图，点A是线段C8上一点,△AB。、AACE都是等边三角形,与BE相交于点G,AE与

相交于点F.求证：AAGF是等边三角形.

D.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由等边三角形可得AD=AB,AE=AC,NBAE=NDAC=120°,再由两边夹一角即可判定4BAE也△DAC,可

得N1=N2,进而可得出4BAG丝Z\DAF,AG=AF,则可得4AGF是等边三角形.

【详解】证明：:△ABD,Z\ACE都是等边三角形，

；.AD=AB,AE=AC,

ZDAE=ZBAD=ZCAE=60°

，NBAE=/DAC=120°,

在ABAE和4DAC中

AD=AB,ZBAE=ZDAC,AE=AC,

.".△BAE^ADAC.

，N1=N2

在4BAG和4DAF中

Z1=Z2,AB=AD,ZBAD=ZDAE,

.,.△BAG^ADAF,

；.AG=AF,又NDAE=60°,

.,.△AGF是等边三角形.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等边三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确

题意,利用数形结合的思想解答.

20.如图,在△ABC中,AC=BC,/ACB=90。,点。在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，当4PCD的周

长最小时,在图中画出点P的位置,并求点P的坐标.

【分析】

过C作b_LAB于尸，延长CF到E,使CF=FE，连接OE,交AB于尸，连接

CP,。/5+。？=。/5+£/?=及)的值最小，即可得到P点；通过A和3点的坐标，运用待定系数法求出直

线AB的函数表达式,再通过。和E点的坐标,运用待定系数法求出直线DE的函数表达式,联合两个表达

式解方程组求出交点坐标即可.

【详解】解：如图所示，过。作Cb_LAB于F,延长b到E,使CF=FE,连接。E,交A3于P,连接

△PCD的周长=CD+DP+CP

二。/5+€7?=。/5+£/?=即时,可取最小值，图中P点即为所求；

又•.•8£>=3,£>C=1

平面直角坐标系中每一个小方格的边长为1,即：A(5,4),B(l,0),D(4,0),E(l,4)

设直线AB的解析式为以B=kABx+bAB，代入点A和B得：

5%+b=4L=1

解得:

kAB+h=0“B=一1

•*-=x-i

设直线DE的解析式为如E=kDEx+bDE，代入点。和石得:

r\k=--

曝DE

4£+*DE=03

,,A解得：,；

[%+矶=4%=3

、3

416

•FL—

.•.联合两个一次函数可得：

,[19

fy=x-lx=—

7

・•・〈416解得＜s

y=——x+—12

【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径画法，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次

方程组的解，求出一次函数的解析式组建二元一次方程组是解题的关键.

21.证明：最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

如图,在AABC中,AB是最长边,CD是边AB的中线,可得3D=AD,再根据最长边上的中线等于最长边的

一半可得CD=BD=AD,根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得证.

【详解】证明：如图，在AABC中,AB是最长边,CD是边AB的中线

VCD是边AB的中线

BD=AD

：最长边上的中线等于最长边的一半

CD=BD=AD

NA=ZACD,ZB=/BCD

•••ZA+Z5+ZACB=180°

ZACB=ZACD+ZBCD=-xl80°=90°

2

.•.△ABC是直角三角形

，最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形.

【点睛】本题考查了直角三角形的证明问题，掌握直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、中

线的性质是解题的关键.

22.如图,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AD平分/BAC,BD±AD于点O,E是AB的中点,

连接CE交AD于点F,BD=3,求8尸的长.

【答案】BF的长为3夜

【解析】

【分析】

先连接BF,由E为中点及AC=BC,利用三线合一可得CE1AB,进而可证4AFE丝Z\BFE,再利用AD为角平

分线以及三角形外角定理,即可得到/BFD为45o,4BFD为等腰直角三角形,利用勾股定理即可解得BF.

【详解】解：连接BF.

A

E

B

D

：CA=CB,E为AB中点

；.AE=BE,CE1AB,ZFEB=ZFEA=90°

在RtAFEB与RtAFEA中,

BE=AE

NBEF=ZAEF

FE=FE

ARtAFEB^RtAFEA

又：AD平分/BAC,在等腰直角三角形ABC中NCAB=45。

I

ZFBE=ZFAE=-ZCAB=22.5°

2

在4BFD中，ZBFD=ZFBE+ZFAE=45°

XVBD1AD,ZD=90°

ABFD为等腰直角三角形，BD=FD=3

BF=>JBD2+FD2=\l2BD?=3血

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线,

解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质.

23.【阅读•领会】

材料一：一般地,形如JZSNO)的式子叫做二次根式,其中〃叫做被开方数.其中，被开方数相同的二次根

式叫做同类二次根式.像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二

次根式前的系数相加，作为结果的系数，即mG+nG=(〃z+〃)4(尤>0).利用这个式子可以化简一些含

根式的代数式.

材料二：二次根式可以进行乘法运算,公式是&1义枇=%人a>0,b>0)

我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地,当a20,匕20时,

根据积的乘方运算法则,可得（GX北）2=（G）2x（折）2="，

（Va）2=a（a>0）,（yfab）2=ab.于是J拓都是ab的算术平方根,

Gx折=J茄.（a>0,/?>0）利用这个式子,可以进行一些二次根式的乘法运算.

将其反过来，得1茄=&x〃.（a20120）它可以用来化简一些二次根式.

材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式：

（I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（II）被开方数中不含分母：

（III）分母中不含有根号.这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式.

【积累・运用】

（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样,试推导二次根式的除法公式.

（2）化简：7（-2）2«Vc5（a>0,Z?>0,c>0）=.

〃-4-hI—0ah4-/Ja=7,

（3）当0<（<6时,化简生2、一并求当Lc时它的值.

a-b\a3b2+a2b3〔。=9

【答案】（1）见解析；（2）2abc~\[ac;（3）---"十",——

ab63

【解析】

【分析】

（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法,推导二次根式的除法公式

（2）根据二次根式乘法公式进行计算即可

（3）先根据二次根式除法公式进行化简,再把a和b的值代入即可

【详解】解：（1）二次根式的除法公式是密=、口（a20/>0）

证明如下：一般地，当aN0,b>0时,

_(Gf_a

根据商的乘方运算法则，可得

一(ClF

（7^）2=«（«>（））,：.（,1^）2=-.于是*、、口都是;的算术平方根,

bbbb

塔=聆(。>0,b>0)利用这个式子,可以进行一些二次根式的除法运算.

将其反过来，得J|=布(a>0,b>0)它可以用来化简一些二次根式.

(2)yl(-2)2a3b2c5(a>0,/?>0,c>0)=V4x=2abc2y/ac

故答案为：2abe?

(3)当0<Q<Z?时,

a+bb2-2ab+a2_a+b/(b-a)2_a+hb-aI_1__yJa-^-b

a-b\//+a2b3a-bva2b2(a+b)a-b^ab\a+bab

a=7J]6

当《时，原式=_业1=4

b=96363

【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法法则,，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于

中等题型.

24.如图,在平面直角坐标系中，己知A(4,0)、B(0,3).

(2)在坐标轴上是否存在点P,使AABP是等腰三角形?若存在，请直接写出点尸坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)5；(2)(0,8),(0,-3),(0,-2)，(°，—：)，(9,0),(-1,0),(-4,0),I17,0l；理由见

8

解析

【解析】

【分析】

(1)根据A、B两点坐标得出OA、OB的长，再根据勾股定理即可得出AB的长

(2)分三种情况,AB=AP,AB=BP,AP=BP,利用等腰三角形性质和两点之间距离公式,求出点P坐标.

详解［解：(1)VA(4,0)、B(0,3).

.".OA=3,OB=4,

AB=>/42+32=5

(2)当点P在y轴上时

当AB=BP时，此时OP=3+5=8或OP=5-3=2,

；.P点坐标为(0,8)或(0,-2)；

当AB=AP时，此;时OP=BO=3,

；.P点坐标;(0,-3)；

当AP=BP时，设P(0,x),VX2+42=7(X-3)2

：x=-';点坐标为

当点P在x轴上时

当AB=AP时，此时OP=4+5=9或OP=5-4=1,

；.P点坐标为(9,0)或(-1,0)；

当AB=BP时,此时OP=AO=4,

；.P点坐标为(-4,0)；

当AP=BP时，设P(x,0),；.VX2+32=J(X-4)2

：x=(；;.p点坐标为((,0)

综上所述：符合条件的点的坐标为：(0,8),(0,-3),(0,-2)J。,一,,(9,0),(-1,0),(-4,0),R,0

【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、两点之间距离公式和勾股定理，学生只要掌握这些知识点，解决此问

题就会变得轻而易举，需要注意的是,在解题过程中不要出现漏解现象.

25.【模型建立】

（1）如图1,等腰直角三角形A3C中，ZACB=90,C8=C4,直线EO经过点C,过A作AD_LED于点

。，过B作ED于点E.求证：ABEC=ACZM；

【模型应用】

4

（2）已知直线4：）=§x+4与坐标轴交于点A、8,将直线乙绕点A逆时针旋转45至直线如图2,

求直线人的函数表达式；

（3）如图3,长方形ABCO,0为坐标原点，点5的坐标为（8,-6）,点A、。分别在坐标轴上，点P是线段

8C上的动点，点。是直线y=-2x+6上的动点且在第四象