结构力学课件第5位移计算

静定结构的位移计算返回第5章静定结构的位移计算静定结构的位移计算返回§5—1结构位移和虚功的概念§5—2变形体系的虚功原理和单位荷载法§5—3静定结构由荷载引起的位移§5—4图乘法§5—5互等定理静定结构的位移计算返回§5—1

结构位移和虚功的概念一、有关结构位移的概念1.变形和位移在荷载作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。2.位移的分类和广义位移APA′

A线位移：角位移：

A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A绝对位移相对位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□}{{广义位移静定结构的位移计算返回线位移角位移静定结构的位移计算返回3.计算位移的目的（1）为了校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。（3）为分析超静定结构打下基础。起拱高度△MFQFNκγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动

位移是几何量，自然可用几何法来求，如lD=bxdwd=k22βΔ但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；4.产生位移的原因主要有三种：

静定结构的位移计算返回1）荷载与位移成正比σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4）荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。即：线弹性体系。可用叠加原理。

结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后从中导出静定结构的位移计算公式·。5.

线性变形体系假定：静定结构的位移计算返回二、有关功和虚功的概念（一）、功的概念定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向的分位移的乘积。Ｗ=F△△是力作用线方向的分位移静定结构的位移计算返回（二）、广义力的概念与广义位移相对应的力因子称为广义力。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是功。即：W=FΔ，故：1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。PΔmβ2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABΔBΔAW=PΔA+PΔB=P（ΔA+ΔB）=PΔ这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABΔmm

A

BW=m

A+m

B=m（

A+

B）=mΔ这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。静定结构的位移计算返回（三）、实功与虚功实功：虚功：W=力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上作的功。力状态位移状态一个体系静定结构的位移计算返回§4—２变形体系的虚功原理和单位荷载法一、虚应变能当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以V表示。力状态位移状态静定结构的位移计算返回力状态位移状态微段上的虚应变能表示为对于直杆构成的结构单个杆件的应变能静定结构的位移计算返回二、虚功原理变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。即：1.变形体的虚功原理称为虚功方程，式中：

WＶ——外力虚功

——内力虚功（虚应变能）W=V变形体的虚功原理可用虚功方程表达：外力虚功=虚变形能外力虚功等于力状态中所有外力（包括荷载和支座反力）在位移状态对应位置的对应位移上所作的虚功。虚变形能等于力状态中各微段上的内力在位移状态对应微段上的变形所作的虚功总和。静定结构的位移计算返回对于直杆构成的结构对于杆件结构虚功原理杆件的虚功方程静定结构的位移计算返回虚功原理的两种用法

1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。

2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚力原理。2.刚体的虚功原理W=0刚体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于零。即：

1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。

2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚力原理。静定结构的位移计算返回三、单位荷载法P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移状态2c1c2KK‘ΔKHP=1虚拟力状态12R1R需首先虚拟力状态

在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.一个体系，两种状态实际位移状态虚拟力状态一般可写为：虚外功虚应变能1.杆件结构位移计算的一般公式静定结构的位移计算P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移状态2c1c2KK‘ΔKH注:1)适用于静定结构和超静定结构;2)材料可以是弹性的也可是非弹性的;3)产生位移的原因可以是各种因素;4)既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对位移的影响；

5)一般公式右边四项乘积,当力与变形的方向一致时,乘积取正。上式即为杆件结构位移计算的一般公式通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程求位移的方法—单位荷载法。返回P=1虚拟力状态12R1R静定结构的位移计算返回2.虚拟状态的设置在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如:广义力与广义位移静定结构的位移计算返回P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！静定结构的位移计算返回3.应用1）仅有荷载作用时2）仅有支座移动时3）仅有轴向伸縮时单位荷载法把计算位移这一几何问题变为主要是虚变形能的计算问题。使计算得到简化。注意力状态中的力符号上有横杠，表示此力由单位荷载产生。例1：试求图示桁架因杆a收缩2cm而引起的D点的竖向位移。

3×4=12m

a3m3mD3×4=12ma3m3mP=1解：左边题图即为位移状态，由桁架因杆a收缩而引起的位移是刚体位移，所有杆件轴力为0，无支座移动。因杆a收缩2cm而引起的

εa

=du2/dx=-0.02/5；右图为虚设力状态，可求得杆a轴力

Na=-5/18，公式变为：ΔDV=Σ∫N1du2=∫Naεa

dx==∫5/18×0.02/5dx=1/180=0.0055m（↓）此例很好地说明了用虚功原理计算位移的优越性；本来桁架因杆a收缩2cm而引起的D点的竖向位移是一个极为复杂的几何问题，但通过虚功原理，它变成了虚设力状态的平衡问题，答案可以轻易解得。静定结构的位移计算返回

§4—3荷载作用下的位移计算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑FNFQM真实位移状态注：EI、EA、GA是杆件截面抗弯、拉、剪刚度；

k是截面形状系数k矩=1.2，k圆=10/9。（1）FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是（2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。注意到无支座移动静定结构的位移计算返回荷载作用下的位移计算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑真实位移状态（4）桁架（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的åòdxEIMMPΔ=FNFQM每一杆的内力及截面都沿杆长不变在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计算则是近似的。静定结构的位移计算返回Pl/2l/2EIABx1x2例4—1

：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤ll－x(x)M=0≤x≤lEIPl162=－EIdxxlPlxdxEIPxlxlll2)(2220-－=－òòEIdxMMlPB0=òj2）MP须分段写静定结构的位移计算返回例4—2求图示刚架A点的竖向位移△Ay。E、A、I为常数。解：1.设置虚拟状态选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=3.代入公式得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx静定结构的位移计算返回例4—3求图示桁架下弦5的挠度。设各杆的截面面积，。解：虚拟状态如图b所示。实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表中，根据公式：实际位移状态虚设力状态可得所示结点5的挠度为静定结构的位移计算返回静定结构的位移计算返回作业：

第199页5-4、5-7（a）、5-10§5—4

图乘法一、荷载作用下位移计算的简化及其具备的条件

1、杆件多为等截面直杆。3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。2、同一杆件EI常为常数。åò=DPdsEIMM二、图乘法证明结论：在满足前述条件下，积分式之值等于某一图形面积A乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。第6章yxoyyodxdAMP(x)MK(X)

xxoBA静定结构的位移计算返回⑤几种常见图形的情况：单位荷载弯矩图由若干直线段组成时，就应该分段图乘。两个梯形相乘时，不必找出梯形的形心，而将一个梯形分解为两个三角形，然后分别与另一梯形图乘。静定结构的位移计算返回均布荷载作用区段的弯矩图与直线段图乘。两个图形都呈直线变化，但均含有不同符号的两部分，图乘时也将其中一图形分解为三角形。静定结构的位移计算返回几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线A=hl/3二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点静定结构的位移计算返回PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？？静定结构的位移计算返回图乘法位移计算举例åòå==DPEIydxEIMMCAP①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。②图乘法的应用条件：③竖标yC④面积AP与竖标yC在杆的同侧，AP

yC

取正号，否则取负号。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：h3l/4l/4二次抛物线ω=hl/3顶点l/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3顶点

a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。静定结构的位移计算返回⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3AP1AP2y1y2()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=21AP2AP1MiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111（1）32649静定结构的位移计算返回S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369静定结构的位移计算返回＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线成直线形举例静定结构的位移计算返回例5-6：试求图示简支梁A端的角位移和中点C的竖向位移。EI为常数。解：荷载作用下的弯矩图和两个单位弯矩图分别如图b、c、d所示。将图b与图c相乘则得将图b与图d相乘则得静定结构的位移计算返回例5-7：试求图示刚架C点的水平位移ΔCH。EI为常数。解：做出MP图和图分别如图b、c所示。（1）图的BC段没有弯矩，只需在AB段进行图乘。（2）两图均为直线，图上取面积，MP图上取相应竖标，较为简便。静定结构的位移计算返回例4-8：试求图示伸臂梁A端的角位移φA及C端的竖向位移ΔCV。解：做出MP图和图分别如图b、c、d所示。将图b与图c相乘则得结果中的负号表示φA

的实际方向与Ｍ＝１的方向相反，即逆时针方向。静定结构的位移计算返回将图b与图d相乘则得BC段在均布荷载和集中荷载作用下，其弯矩图不是标准的抛物线图形。静定结构的位移计算返回=+=+均布荷载按简支梁进行叠加，按第22页图3-2方法。集中荷载、均布荷载分别做弯矩图，然后进行叠加。使用乘法时应注意的问题小结：

1、yo必须取自直线图形；

2、当MK为折线图形时，必须分段计算；

3、当杆件为变截面时亦应分段计算；

4、图乘有正负之分；

5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；

6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；

7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。第6章静定结构的位移计算返回作业：

第202页5-19,5-23,5-28静定结构的位移计算返回§5—5由支座位移引起的结构位移在静定结构中，支座位移和转动并不使结构产生应力和应变，而使结构产生刚体运动。位移计算公式如下：式中为虚拟状态的反力在实际状态的支座位移上所做虚功之和。例1：试求B点的竖向位移和转角位移解：B点的竖向位移：B点的转角位移：正号表示位移方向与虚设广义力的方向一致静定结构的位移计算返回例2（a）图示结构，若支座B发生水平位移，即B点向右移动一间距a，试求C铰左、右两截面的相对转角φ。解：求相对转角φ的虚拟状态及其所引起的虚拟反力如图(b)所示。利用公式即得：6.6静定结构在温度变化时的位移计算一、由于温度改变引起的位移

图示悬臂梁由于温度改变而引起变形。为求

CV，在C点加一单位力，根据求位移公式计算CV

。

t1

t1

t2第6章

将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：

经分析：

若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面高度相同，则：第6章例题1

图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面为矩形，h=0.5m,线膨胀系数

=1.010-5,试求梁中点的竖向位移

DV。+25ºC+5ºC解：作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：第6章MK图3/2NK图1/2静定结构的位移计算返回应用条件:1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2①F1F2②FN1M1FQ1FN2M2FQ21、功的互等定理åòøöçèæ++dsGAFkFEIMMEAFFQ1Q212N1Ｎ２å=D=FW1221åò

øöçèæ++=dsGAFkFEIMMEAFFQ2Q121N2N1åD=PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：W12=W21§4-6互等定理静定结构的位移计算返回2、位移互等定理P1①P2②（4-11）位移互等定理：（P74）

在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数δ21

等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。Δ21Δ122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。

2）δ12与δ21不仅数值相等,量纲也相同。静定结构的位移计算返回3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。r12=r21

（4-12）反力互等定理：（P75）

在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21

等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。

注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。

2）反力互等定理仅用与超静定结构。静定结构的位移计算返回Pl/2l/23Pl/16CA①θΔC②例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起地C点的挠度。解：W12=W21∵V21=0∴W12=PΔC－3Pl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：图示同一结构的两种状态，求Δ=？P=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ4、反力与位移互等定理：由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力，等于该支座发生与反力方向相一致的单位位移时，在单位荷载作用处所引起的位移，唯符号相反。r12=-21第6章作业：5-2，5-3，