福建省泉州晋江市2023-2024学年数学九年级第一学期期末考试试题含解析

福建省泉州晋江市2023-2024学年数学九年级第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．02．已知点在抛物线上，则点关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A． B． C． D．3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．l1为x轴，l3为y轴 B．l2为x轴，l3为y轴C．l1为x轴，l4为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴4．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()A． B． C． D．5．要使有意义，则x的取值范围为()A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－16．如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）7．如图，A、B、C是⊙O上互不重合的三点,若∠CAO＝∠CBO＝20°，则∠AOB的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°8．根据下面表格中的对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.269．与相似，且面积比，则与的相似比为（）A． B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．36二、填空题(每小题3分,共24分)11．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________．12．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是________________．13．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为_____度．14．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为.已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为______.15．如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了_________米（结果保留根号）16．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．18．已知点A关于原点的对称点坐标为(﹣1，2)，则点A关于x轴的对称点的坐标为_________三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在A岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续正东方向航行40海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：）20．（6分）如图，在中，，正方形的顶点分别在边、上，在边上.（1）点到的距离为_________.（2）求的长.21．（6分）今年，我市某中学响应“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？22．（8分）如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长．23．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．24．（8分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：（1）填空：线段AB的长度d＝；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”）；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是；（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝，该函数图象与⊙O的位置关系是．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．25．（10分）（1）（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4.2，写出完整的证明过程．（2）（结论应用）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．①求证：MN＝PN；②∠MNP的大小是．26．（10分）已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】试题解析：是关于的二次函数,解得：故选B.2、A【分析】先将点A代入抛物线的解析式中整理出一个关于a,b的等式，然后利用平方的非负性求出a,b的值，进而可求点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴即可得出答案．【详解】∵点在抛物线上，∴，整理得，，解得，，．抛物线的对称轴为，∴点关于抛物线对称轴的对称点坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用、平方的非负性和二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3、D【分析】根据抛物线的开口向下，可得a＜0，求出对称轴为：直线x=a，则可确定l4为y轴，再根据图象与y轴交点，可得出l2为x轴，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵y＝ax2﹣2a2x+1，∴对称轴为：直线x=a<0，令x=0，则y=1，∴抛物线与y轴的正半轴相交，∴l2为x轴，l4为y轴．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号．4、B【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．5、B【分析】根据二次根式有意义有条件进行求解即可.【详解】要使有意义，则被开方数要为非负数，即，∴，故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键.6、A【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（-2，-3）．故选A．7、D【分析】连接CO并延长交⊙O于点D，根据等腰三角形的性质，得∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，结合三角形外角的性质，即可求解．【详解】连接CO并延长交⊙O于点D，∵∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，∴∠CAO=∠ACO=∠CBO=∠BCO＝20°，∴∠AOD=∠CAO+∠ACO=40°，∠BOD=∠CBO+∠BCO=40°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=80°．故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，添加和数的辅助线，是解题的关键．8、B【解析】根据表中数据可得出ax2+bx+c＝0的值在-0.02和0.01之间，再看对应的x的值即可得．【详解】∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.1时，ax2+bx+c＝0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.1．故选：B．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．9、B【分析】根据面积比为相似比的平方即可得出答案．【详解】与相似，且面积比与的相似比为与的相似比为故答案为：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．10、C【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即△ABC面积=AB×CD=30.故选C.【详解】解：∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故选：C．【点睛】本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面积公式即可得出答案.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：1，∴这两个相似三角形的周长比是1：1，故答案为1：1．考点：相似三角形的性质．12、10%【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可.【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：60（1-x）2=48.6，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率是10%．故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、1【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．【详解】解：扇形的半径是1，弧长是，，即，解得：，此扇形所对的圆心角为：．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．14、【分析】直接根据正切的定义求解即可.【详解】在Rt△ABC中，约为，高为，∵tan∠ABC=，∴BC=m.故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.15、【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴AC=AB=50，BC=AB•cos∠ABC=50，

∵斜坡BD的坡度i=1：5，

∴DC：BC=1：5，

∴DC=10，

则AD=50-10，

故答案为：50-10．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．16、20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为20%．17、5．【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分

N在矩形ABCD内部与

N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，∴∠MAB＝∠MNB＝90°．∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC＝90°．①当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、N、C三点共线，∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，∴NC＝4．设AM＝MN＝x，∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，35+（5﹣x）5＝（4+x）5，解得x＝3；当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图5．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、C、N三点共线，∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，∴NC＝4，设AM＝MN＝y，∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，35+（y﹣5）5＝（y﹣4）5，解得y＝9，则所有符合条件的M点所对应的AM和为3+9＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．18、(1，2)【分析】利用平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出点A的坐标，再利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A点关于x轴的对称点的坐标．【详解】解：∵点A关于原点的对称点的坐标是（-1，2），∴点A的坐标是（1，-2），∴点A关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．三、解答题(共66分)19、无触礁的危险．【分析】根据已知条件解直角三角形OAC可得A岛距离航线的最短距离AC的值，若AC>50，则无触礁危险，若AC<50，则有触礁危险．【详解】解由题意得：∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACO=90°，OB=40∠BAC=45°，AC=BC在Ｒt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，tan∠AOC=，∴，∴，．因此无触礁的危险．【点睛】本题考查解直角三角形，由题意画出几何图形把实际问题转化为解直角三角形是解题关键．20、（1）；（2）【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.（2）根据正方形的性质，即可得出，再根据相似三角形的判定可得出，进而得出，设x得出方程进行求解即可.【详解】解：（1）∵∴BC=8∴==24∴∴点C到AB的距离是.（2）如图，过点作于点，交于点，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴.设，则，解得∴的长为.【点睛】本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.21、（1）10%．（2）去B商场购买足球更优惠．【解析】试题分析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×≈90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=1（元）．14742＞1．答：去B商场购买足球更优惠．考点：一元二次方程的应用．22、（1）证明见解析；（2）AB=2，OE=．【分析】（1）根据AB是直径即可求得∠ADB=90°，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；（2）根据三角函数的定义，即可求得BC，进而得到AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．【详解】（1）连接BD，OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．又∵AB=BC，∴AD=CD．∵OA=OB，∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°．∵OD∥BC，∴∠ODE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）在Rt△CBD中CD，∠ACB=30°，∴BC2，∴AB=2，∴ODAB=1．在Rt△CDE中，CD，∠ACB=30°，∴DECD．在Rt△ODE中，OE．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大．23、2.6cm【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.24、抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；（2）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为S＞c2．【分析】将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；（2）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和2．5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），∴y＝ax2+5，将点（﹣3，）代入，得＝a×（﹣3）2+5，∴a＝，∴抛物线的解析式为：y＝；（2）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），在y＝，当y＝0时，x2＝2，x2＝﹣2，∴M（2，0），即当x＝2时，S＝0，∴d的值为2；∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；当S＝3时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，∴a（2﹣a）＝3，整理，得a2﹣2a+6＝0，∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根；当S＝2.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，∴a（2﹣a）＝2.5，整理，得a2﹣2a+3＝0，解得，∴当a＝时，2﹣a＝，当a＝时，2﹣a＝，∴若面积S＝2.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；故答案为：2，0＜x＜2，不能，和；（2）设AC＝y，CB＝x，则y＝﹣x+2，如图2所示的线段PM，则P（0，2），M（2，0），∴△OPM为等腰直角三角形，∴PM＝OP＝2，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；故答案为：，相离或相切或相交；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则，∵（a+b）2＝a2+b2+2a