2024届河北省衡水十三数学高二第二学期期末考试试题含解析

2024届河北省衡水十三数学高二第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数与（且）的图象关于直线对称，则“是增函数”的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．2．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（）A．至多两件次品 B．至多一件次品C．至多两件正品 D．至少两件正品4．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是()A． B． C． D．5．已知的周长为9，且，则的值为（）A． B． C． D．6．复数A． B． C． D．7．已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为()A． B． C． D．8．已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．9．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A． B． C． D．10．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种 B．48种C．96种 D．144种11．变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）模型12340.480.150.960.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型412．已知数列，则是这个数列的（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．14．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；15．已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值为__________．16．已知为椭圆上的任意一点，则的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：，其中.参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.19．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.20．（12分）2017年10月18日上午9:00,中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告.人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况.某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人,经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4:1.将这200人按年龄分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65),其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示(1）求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄（2）把年龄在第1,2,3组的观众称为青少年组,年龄在第4,5组的观众称为中老年组,若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人,请完成下面2×2列联表,则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关?通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年中老年合计附:(其中样本容量)21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．22．（10分）已知函数，（其中,为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若分别是的极大值点和极小值点，且，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：先求出，再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.详解：因为函数与（且）的图象关于直线对称，所以.选项A,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项B,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项C,是“是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.选项D,是“是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知命题是条件，命题是结论,充分条件：若，则是充分条件.必要条件：若，则是必要条件.2、A【解题分析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.3、B【解题分析】试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确．考点：对立事件．4、B【解题分析】

根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【题目详解】关于的方程有实根设与的夹角为，则又又本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.5、A【解题分析】

由题意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【题目详解】由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为3：2：4，再根据△ABC的周长为9，可得．再由余弦定理可得cosC，故选A．【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得是解题的关键，属于中档题．6、C【解题分析】，故选D.7、A【解题分析】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：函数的定义域是，，是函数唯一的极值点,是导函数的唯一根，在无变号零点，即在上无变号零点，令，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，必须.故选A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.8、A【解题分析】

根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【题目详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C．故选A．【题目点拨】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．9、C【解题分析】

将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案．【题目详解】问题等价于将这个同学中新插入的个同学重新排序，因此，所有排列的种数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．10、C【解题分析】试题分析：,故选C.考点：排列组合.11、C【解题分析】分析：根据相关系数的性质，最大，则其拟合效果最好，进行判断即可．详解：线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；

越小，相关程度越小，

∵模型3的相关系数最大，∴模拟效果最好，

故选：A．点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小．12、B【解题分析】解：数列即：，据此可得数列的通项公式为：，由解得：，即是这个数列的第项.本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、；【解题分析】

由体积公式得，长宽高变化后体积公式为，这样可用表示，然后结合基本不等式求得最值．【题目详解】依题意，设新长方体高为，则，∴，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．故答案为．【题目点拨】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型．15、4【解题分析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义和数形结合即可得到答案详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由可得：平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小，解得，即此时故目标函数的最小值为点睛：本题主要考查的知识点是线性规划的应用，画出可行域，转化目标函数，将其转化为几何意义，在轴的截距问题即可解答。16、9【解题分析】

设，代入并利用辅助角公式运算即可得到最值.【题目详解】由已知，设，则，故.当时，取得最大值9.故答案为：9【题目点拨】本题考查利用椭圆的参数方程求函数的最值问题，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；（2）选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.【解题分析】试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，（2）（i）根据分层抽样即可求出，（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．试题解析：（1）由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.19、(1)当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2).【解题分析】

（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【题目详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成立，在上单调递减.③当，即时，或时，恒成立，在单调递增，时，恒成立，在上单调递减.综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，令，则在成立，故单调递增，，，有两个零点等价于，得，，当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当且时，有两个极值，，记，，令，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减，故在单调递增，时，，故，又，由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为.【题目点拨】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.20、见解析；（2）见解析【解题分析】分析：（1）由频率分布直方图的性质，可得，进而可求得通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；（2）由题意得列联表，利用公式计算的值，即可作出判断.详解：（1）由频率分布直方图可得:解得所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为:（2）由题意得2×2列联表:通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年2896124中老年126476合计40160200计算得的观测值为,所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及