浙江省杭州求是高级中学2024届高二数学第二学期期末经典试题含解析

浙江省杭州求是高级中学2024届高二数学第二学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则（）A.1B.4C.7D.1或72．对变量进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（）A． B．C． D．3．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C．2 D．-24．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）A． B． C． D．5．若直线与曲线相切，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知集合则=（）A． B． C． D．7．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（）A． B． C． D．8．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）A． B． C． D．9．若集合，则集合()A． B．C． D．10．已知，直线过点，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．111．函数的定义域为（）A． B．C． D．12．已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是虚数单位，若复数满足，则________.14．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为_____．15．已知椭圆，直线，则椭圆上点到这条直线的最短距离是______________．16．已知集合，则实数的取值范围是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线：（为参数），直线：（为参数）.（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.18．（12分）已知数列的前项和为，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和为，证明：（）．19．（12分）已知F是椭圆的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于，，两点.（1）若，求弦的长；（2）O为坐标原点，，满足，求直线l的方程.20．（12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量分布列；(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).21．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.(1)若，求证:;(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-BD-A的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：，所以，因为递减数列，所以，解得。考点：等差数列2、A【解题分析】

根据残差的特点，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．即可得到答案．【题目详解】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故选：．【题目点拨】本题考查了残差分析，了解残差分析的原理及特点是解决问题的关键，本题属基础题．3、D【解题分析】试题分析：题中的条件乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对进行求导：=，所以，-1.考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数进行求导；②的导数不知道是什么．实际上是一个常数，常数的导数是0.4、D【解题分析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．详解：由题意，得，因为，，，，故选D．点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．5、C【解题分析】分析：由直线与曲线相切，可以表示出的值，然后用导数求出的最小值详解：由题意可得，设切点坐标为，，则则，令，时，，递减时，，递增的最小值为故选点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题，本题在求解中转化为关于变量的最值，利用导数即可求出最小值。6、D【解题分析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.7、D【解题分析】

由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球，据此可以计算出结果.【题目详解】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.表面积.故选：D.【题目点拨】本题考查三视图求解几何体的表面积，属于基础题.8、C【解题分析】

由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【题目详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9、D【解题分析】试题分析：解：所以选D．考点：集合的运算．10、A【解题分析】

先得a+3b=1，再与相乘后，用基本不等式即可得出结果.【题目详解】依题意得，，所以，当且仅当时取等号；故选A【题目点拨】本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题．11、B【解题分析】

利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可.【题目详解】由题意知，，解得且，所以原函数的定义域为.故选：B【题目点拨】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题.12、A【解题分析】很明显，A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，则：，点A在双曲线上，则：，据此可得：，结合可得双曲线的离心率为.本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先计算复数，再计算复数的模.【题目详解】故答案为【题目点拨】本题考查了复数的计算，属于简单题.14、【解题分析】

总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目详解】因为总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目点拨】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有个个体，从中抽取个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为.15、【解题分析】

可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可【题目详解】由对应参数方程为：，由点到直线距离公式得，当时，故答案为：【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题16、【解题分析】

通过，即可得到答案.【题目详解】根据题意，，则，所以实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要集合交的运算，难度较小.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线与曲线相离（2）【解题分析】

（1）先分别求出曲线C和直线l的普通方程，再联立求，判断位置关系；（2）由点到直线的距离公式可得点P到直线l的距离最大值。【题目详解】解：（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为.由，得，因为，所以直线与曲线相离.（2）设点，则到直线：的距离（其中），所以到直线的距离的最大值为.【题目点拨】本题考查参数化为普通方程，以及用点到直线的距离公式求曲线上动点到直线的最大值。18、(1)(2)见解析.【解题分析】试题分析：（1）由数列递推式结合，可得（），然后利用累积法求得数列通项公式；（2）把数列的通项公式代入()，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案试题解析：（1）当时，，解得；当时，，，以上两式相减，得，∴，∴，∴（2）当时，；当时，，∴，∴（）．点睛：本题主要考查了这一常用等式，需注意的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19、(1);(2)【解题分析】

（1）根据直线和椭圆的位置关系,以及弦长公式即可求出;（2）根据向量的数量积和三角形的面积公式,弦长公式以及点到直线的距离,即可求出.【题目详解】(1)F是椭圆的右焦点,即,则,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为代入椭圆方程中,可得,解得..(2).当直线的斜率存在时，设直线的方程为,代入椭圆方程中,可得,点到直线的距离为,解得.直线的方程为;当直线的斜率不存在时,则直线方程为,此时，,不满足题意.综上，直线的方程为.【题目点拨】本题考查考查了弦长公式,点到直线的距离公式,三角形面积公式在解决直线和椭圆关系中的应用,考查学生的计算求解能力,难度一般.20、（Ⅰ）的分布列为ε

0

1

2

3

P

(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为ε0123P（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得21、(1)证明见解析(2)【解题分析】

（1）取中点，连接，，易知要证，先证平面；（2）如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可得到结果.【题目详解】(1)证明:取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.(2)设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，由(1)可知，，所以，故，，，，，对平面，，，所以其法向量为.又，所以直线与平面成角的正弦值.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面