安徽省潜山市第二中学2024届高二数学第二学期期末监测试题含解析

安徽省潜山市第二中学2024届高二数学第二学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明：“实数中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（）A．中有一个大于0 B．都不大于0C．都大于0 D．中有一个不大于02．的常数项为(

)A．28 B．56 C．112 D．2243．扇形OAB的半径为1，圆心角为120°，P是弧AB上的动点，则的最小值为（）A． B．0 C． D．4．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75．已知向量满足，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．26．直线（为参数）被圆截得的弦长为（）A． B． C． D．7．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A．18个 B．16个C．14个 D．12个8．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A． B． C． D．9．是（）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数10．设，若是的等比中项，则的最小值为（）A．8 B． C．1 D．411．函数f(x)=sin(ωx+πA．关于直线x=π12对称 B．关于直线C．关于点π12，0对称 D．12．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数为偶函数，则的解集为__________．14．在四棱锥中，底面是等腰梯形，其中∥，若，，且侧棱与底面所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________．15．已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.16．在等比数列中，已知，且与的等差中项为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设的内角的对边分别为且.(1)求角(2)若求角及的面积.18．（12分）已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C在直线x＋y－1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．19．（12分）某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．20．（12分）某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如图：甲校乙校（1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率；（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。甲校乙校总计优秀不优秀总计21．（12分）已知函数，其中a为实数.（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.22．（10分）已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的值；（3）设有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“都大于0”，从而得出结论．【题目详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“实数中至少有一个不大于0”的否定为“都大于0”，故选：．【题目点拨】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．2、C【解题分析】分析：由二项展开式的通项，即可求解展开式的常数项.详解：由题意，二项式展开式的通项为，当时，，故选C.点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3、C【解题分析】

首先以与作为一组向量基底来表示和，然后可得，讨论与共线同向时，有最大值为1，进一步可得有最小值.【题目详解】由题意得,，所以因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得，所以当与共线同向时，有最大值为1，此时有最小值.故选：C.【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4、A【解题分析】∵P（x≤6）=0.9，∴P（x＞6）=1﹣0.9=0.1．∴P（x＜0）=P（x＞6）=0.1，∴P（0＜x＜3）=0.5﹣P（x＜0）=0.2．故答案为A．5、D【解题分析】

依据题目条件，首先可以判断出点的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出的代数式，由函数知识即可求出最值．【题目详解】由于，说明点在的垂直平分线上，当是的中点时，取最小值，最小值为，此时与的夹角为，与的夹角为，∴与的夹角为，的最小值是4，即的最小值是2.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模．6、B【解题分析】分析：先消去参数，得到直线的普通方程，再求出圆心到直线的距离，得到弦心距，根据勾股定理求出弦长，从而得到答案.详解：直线（为参数），，即，圆，圆心到直线的距离为.直线（为参数）被圆截得的弦长为.故选：B.点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、弦心距与弦长的关系，难度不大，属于基础题.7、C【解题分析】

试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【题目点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．8、C【解题分析】

由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．【题目详解】记通路为事件，则，所以灯泡亮的概率为．故选：C.【题目点拨】本题考查相互独立事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．9、D【解题分析】

整理,即可判断选项.【题目详解】由题,因为,所以该函数是奇函数,周期为,故选:D【题目点拨】本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.10、D【解题分析】∵是的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．a＞2，b＞2．∴==2．当且仅当a=b=时取等号．故选D．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误11、B【解题分析】

求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【题目详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω函数f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ当k＝0时，函数的对称轴为：x=π故选：B．【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题12、C【解题分析】

对函数求导，将问题转化为恒成立，构造函数，将问题转化为来求解，即可求出实数的取值范围.【题目详解】，，令，则.，其中，且函数单调递增.①当时，对任意的,，此时函数在上单调递增，则，合乎题意；②当时，令，得，.当时，；当时，.此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化为导数的符号来处理，然后利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求出，根据为偶函数，即可得出,从而得出，从而判断在上单调递增，且，这样即可由，得出，从而得出，这样解不等式即可.【题目详解】由题知函数为偶函数，则解得，所以，，故即答案为.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由恒成立求解，偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.14、【解题分析】

过作于，求得，，，设为的中点，则，由题意得顶点在底面的射影为，且，再根据体积公式即可求出答案．【题目详解】解：过作于，∵，，∴，，∴，设为的中点，则，∵侧棱与底面所成的角均为45°，∴顶点在底面的射影到各顶点的距离相等，即为等腰梯形的外接圆的圆心，即为点，∴为四棱锥的高，即平面，∴，∴该棱锥的体积，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题．15、【解题分析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.16、31【解题分析】

根据，求出，又与的等差中项为，得到，所以可以求出，，即可求出【题目详解】依题意，数列是等比数列，，即，所以，又与的等差中项为，所以，即，所以，所以，所以，故答案为：31【题目点拨】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由余弦定理，求得，即可求得.（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面积公式，即可求解.【题目详解】（1）由题意知，即，在中，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，又b<a，所以，所以，所以，则.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18、（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解题分析】

（1）由圆的性质知圆心在线段的垂直平分线上，因此可求得线段的垂直平分线的方程，与方程联立，可求得圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程；（2）设的方程为．代入圆方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．而以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则有，即，由此可求得，得直线方程．【题目详解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴线段PQ的中点M，斜率kPQ＝－1，则PQ的垂直平分线方程为，即．解方程组得∴圆心C(1，2)，半径．故圆C的方程为．(2)由l∥PQ，设l的方程为．代入圆C的方程，得．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依题意知OA⊥OB，则．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝2，即m2－m－12＝2．∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>2．故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3．【题目点拨】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求圆的方程，可先确定圆心坐标，求得圆的半径，然后写出标准方程．本题直线与圆相交问题中采用设而不求法，即设交点坐标为，由直线方程与圆方程联立方程组消元后可得（不直接求出交点坐标），代入A，B满足的其他条件（本题中就是）求得参数值．19、（1）详见解析；（2）．【解题分析】

试题分析：（1）根据题意，所选3人中女生人数的所有可能取值为0,1,2三种，，，，写出分布列即可；（2）从6名班干部中任选3人共用种选法，若男生甲被选中，则有种，若女生乙被选中，则有种，男生甲被选中的时候包含女生乙被选中，女生乙被选中的时候也包含男生甲被选中的情况，所有男生甲或女生乙被选中的种数应为，设男生甲或女生乙被选中为事件A，则事件A的概率为．或者也可以求出男生甲和女生乙都不被选中的种数为种，概率为，根据对立事件的概率，可知男生甲或女生乙被选中的概率为．试题解析：（1）ξ的所有可能取值为0,1,2依题意得ξ

0

1

2

P

所以ξ的分布列为（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C则P（C）＝所求概率为1－＝考点：1.离散型随机变量分布列；2.随机事件的概率．20、(1);(2)在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关.【解题分析】分析：（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1，求得a的值，再计算乙校成绩优秀的学生数，求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）由题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论.详解：（1）∵频率分布直方图中矩形面积为1成绩落在内的人数为成绩落在内的人数为从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为：两名学生的成绩恰有一个落在内的基本事件的个数为：则这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率为：（2）由已知得列联表如下甲校乙校总计优秀11516不优秀91524总计202040所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。点睛：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与概率的计算问题，是中档题.21、（1）时奇函数，时非奇非偶函数；（2）单调递增，证明见解析.【解题分析】

（1）讨论两种情况，分别利用奇偶性的定义判断即可；（2）设，再作差，通分合并，最