3.5　指数与指数函数

第三章3.5指数与指数函数函数、导数及其应用复习目标1．了解指数幂的有关概念，理解指数幂的运算法则．2．理解指数函数的概念、图象与性质．内容索引核心体系活动方案核心体系活动方案活动一

基础引入1[2025南京一调]已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y的值为 (

)A．5

B．6C．7

D．12D【解析】由loga3＝y，得ay＝3，所以ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12．DA．(－∞，2]

B．[2，＋∞)C．(－∞，1]

D．[1，＋∞)AA．m＝1 B．f(x)＝－1无解C．f(x)是减函数

D．f(2024)＋f(－2023)＞0ABD活动二

典例悟法题组一指数式的运算化简

化简下列各式：1题组二指数函数的图象与性质

(1)[2025安庆二模]已知函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则下列说法中正确的是

(

)A．函数f(x)不具有奇偶性B．a＝2C．函数f(x)的值域为(－∞，2)D．函数f(x)的单调增区间为[0，＋∞)2D(2)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定正确的是

(

)A．a＜0，b＜0，c＜0

B．a＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2c

D．1＜2a＋2c＜2D【解析】

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，显然2a＋2c＞1，故选D．(3)已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa+2

的图象过函数f(x)＝32x＋b的图象所经过的定点，则实数b的值为 (

)A．－2

B．1C．2

D．4A(4)(多选)下列结论中，正确的是 (

)BCD[2025北京卷·4]为得到函数y＝9x的图象，只需将函数y＝3x的图象上的所有点

(

)A

[2025湖南“长望浏宁”四县联考]已知函数f(x)＝e|x－1|＋1，则使得f(x－1)＜f(－x)成立的x的取值范围是 (

)3BA．(－∞，1)

B．(1，＋∞)C．(－∞，－3)

D．(－3，＋∞)A【解析】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数．又当x＞0时，f(x)＝1－ex单调递减，所以f(x)为R上的减函数．由f(2x)＋f(x－3)＞0，得f(2x)＞－f(x－3)＝f(3－x)，则2x＜3－x，解得x＜1，即原不等式的解集为(－∞，1)．[2023新课标Ⅰ卷·4]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是

(

)A．(－∞，－2]

B．[－2，0)C．(0，2]

D．[2，＋∞)D1．指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．(1)指数幂的大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．题组三指数函数的综合应用

已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1．(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－3，0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围．4

1

已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式

f(x)＞1的解集；(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】(1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即3x＋λ·3－x＋3－x＋λ·3x＝0，化简，得(1＋λ)(3x＋3－x)＝0．因为3x＋3－x＞0，所以1＋λ＝0，解得λ＝－1，所以f(x)＝3x－3－x．(2)若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．令3x＝m∈[1，9]，则g(m)＝－m2＋6m，其图象的对称轴为直线m＝3，所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，所以g(m)min＝g(9)＝－81＋54＝－27，故实数λ的取值范围是(－∞，－27]．

2对于变式训练1中的函数，若f(x)为偶函数，求不等式f(2x)－f(x)≤0的解集．【解析】若f(x)＝3x＋λ·3－x为偶函数，则f(x)＝f(－x)，即3x＋λ·3－x＝3－x＋λ·3x，整理，得(λ－1)·3x＝(λ－1)·3－x，所以λ－1＝0，即λ＝1，所以f(x)＝3x＋3－x．所以f(2x)－f(x)≤0，即t2－t－2≤0，则(t－2)(t＋1)≤0，解得－1≤t≤2．又t≥2，所以t＝2，此时x＝0．故f(2x)－f(x)≤0的解集为{0}．

[2026沭阳如东中学月考]已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R．(1)若m＝－3，解关于x的不等式f(x)＞4；(2)若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值．5【解析】(1)当m＝－3时，f(x)＝4x－3·2x．由f(x)＞4，得4x－3·2x＞4，即(2x＋1)(2x－4)＞0．因为2x＋1＞0，所以2x－4＞0，解得x＞2，所以原不等式的解集为(2，＋∞)．(2)由题意，得y＝f(x)＋f(－x)＝(4x＋4－x)＋m(2x＋2－