2024届山西省运城市高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届山西省运城市高二数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A． B． C． D．2．函数的定义域（）A． B．C． D．3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20224．设6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144 C．576 D．3245．下列命题中真命题的个数是（）①若样本数据，，…，的方差为16，则数据，，…，的方差为64；②“平面向量，夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；③命题“，”的否定是“，”；④若：，：，则是的充分不必要条件.A．1 B．2 C．3 D．46．已知a＝，b＝，c＝，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a7．已知数列的前项和为，，则“”是“数列是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则9．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．若，则（）A．10 B．-10 C．1014 D．103411．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形12．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A． B． C．160 D．240二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正的边长为，则到三个顶点的距离都为的平面有____________个.14．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．已知，则展开式中项的系数为______.16．随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱中，且，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角的大小为，求锐二面角的正切值.18．（12分）如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道，，，水滑道的下端点在同一条直线上，，平分，假设水滑梯的滑道可以看成线段，均在过C且与垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求.（1）求滑梯的高的最大值；（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.19．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.（1）求函数在区间上的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的最大值.20．（12分）设为关于的方程的虚根，虚数单位．（1）当时，求、的值；（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围．21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：分别判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．详解：A．函数为奇函数，不满足条件．B．y=﹣x2+1是偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．C.是偶函数又在上单调递减，故不正确.D．y=|x|+1是偶函数，当x＞0时，y=x+1是增函数，满足条件．故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的定义和函数的性质是解决本题的关键．2、A【解题分析】

解不等式即得函数的定义域.【题目详解】由题得所以函数的定义域为.故选A【题目点拨】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解题分析】

先利用二项式定理将表示为，再利用二项式定理展开，得出除以的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案．【题目详解】，则，所以，除以的余数为，以上四个选项中，除以的余数为，故选A.【题目点拨】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．4、C【解题分析】

先求出6人站成一排，有多少种排法，再计算把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有多少种排法，这样就可以用减法求出甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数.【题目详解】求出6人站成一排，有种排法，把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有种排法，因此甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为，故本题选C.【题目点拨】本题考查了全排列、捆绑法，考查了数学运算能力.5、C【解题分析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于①，由方差的性质得：则数据，，…，的方差为，故正确；对于②，逆命题为平面向量，满足，则向量，夹角为锐角，是假命题，故错误；对于③，命题“，”的否定是“，”，正确；对于④，，，是的充分不必要条件，故正确.故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大.6、D【解题分析】

分别考查指数函数在R上单调性和幂函数在（0，+∞）上单调性即可得出．【题目详解】∵y＝在R上为减函数，>，∴b<c.又∵y＝在(0，＋∞)上为增函数，>，∴a>c，∴b<c<a.故选：D【题目点拨】熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．7、C【解题分析】

先令，求出，再由时，根据，求出，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【题目详解】解：当时，，当时，时，，，数列是等比数列；当数列是等比数列时，，，，所以，是充分必要条件。故选C【题目点拨】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.8、A【解题分析】

依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.【题目详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，因，故，从而有，A正确.B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.综上，选A.【题目点拨】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.9、A【解题分析】

首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围【题目详解】由命题：解得或，则，命题：，，由是的必要不充分条件，所以故选【题目点拨】结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。10、C【解题分析】

先求出，对等式两边求导，代入数据1得到答案.【题目详解】取对等式两边求导取故答案为C【题目点拨】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.11、B【解题分析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选B．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12、D【解题分析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【题目详解】由已知得到，所以，所以展开式的通项为，令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

分类讨论，三个顶点都在平面的同一侧，三个顶点在平面的两侧，一侧一个，另一侧两个．【题目详解】若此平面与平面平行，这样的平面有2个到三顶点距离为1，若此平面与平面相交，则一定过三角形其中两边的中点，由于三角形边长为，因此如过的中点和的中点的平面，到三顶点距离为1的有两个，这样共有6个，所以所求平面个数为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点．14、36【解题分析】试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，考点：排列组合15、-2【解题分析】

利用定积分可求=2，则二项式为，展开式的通项：．令5-2r=-1，解得r=1．继而求出系数即可．【题目详解】∵=2，则二项式的展开式的通项：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展开式中x-1的系数为.故答案为：-2．【题目点拨】本题考查二项式定理通项的应用，根据通项公式展开即可，属于基础题.16、【解题分析】设时的概率为，则，解得，故考点：方差.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）由已知条件可得是平行四边形，从而，由已知条件能证明平面，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，不妨设，，求出面的一个法向量为，根据线面角可求出，在中求出，在即可求出结果.【题目详解】（1）取中点，连接，则，从而，连接，则为平行四边形，从而.∵直三棱柱中，平面，面，∴,∵，是的中点，∴,∵，∴面故平面（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，由条件：不妨设，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，，可取为一个法向量，过作，连，则为二面角的平面角，在中，，在中，，，则【题目点拨】本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题.18、（1）m（2）562.5.【解题分析】

（1）分别设出CB、CA、PC的长，分别表示出面积，再利用不等关系求解即可；（2）利用已知条件，求得体积是关于x的函数，再利用导函数判别单调性求得最小值即可.【题目详解】（1）设.由题意知，由及平分得，所以.因为，所以，所以.所以滑道的高的最大值为m.（2）因为滑道的坡度为，所以.由（1）知，即.又，所以.所以三棱锥P-ABC的体积，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，，所以该滑梯装置的体积最小为562.5m³.【题目点拨】本题考查了解三角形和立体几何应用实际问题，熟悉题意，仔细分析，结合导函数的应用求最值是解题的关键，属于中档题目.19、（1）最大值为-1，最小值为（2）1【解题分析】

（1）先求出导函数，代入即可求得，于是可知函数在区间上的单调性，于是得到最值；（2）不等式可化为，分和两种情况讨论即得答案.【题目详解】（1）由，有，得，故则，令，得，故函数的增区间为，减区间为由，，，，得：故函数在区间上的最大值为-1，最小值为（2）不等式可化为令，则①当时，，函数在区间上单调递减，由，则当时，，此时不可能恒成立，不符合题意；②当时，函数的增区间为，减区间为，故有得，故令，则∴时，，时，∴在上是增函数，在上是减函数，∴∴当时，取最大值1【题目点拨】本题主要考查利用导函数求原函数的最值，利用导函数研究含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，转化能力，计算能力，分类讨论能力，难度较大.20、（1）,（2）【解题分析】

（1）,则,则可确定方程两根为,由韦达定理即可求得;（2）可确定,为方程的两根,设,由韦达定理可得,即,,,用两点间距离公式可表示出,用三角函数的知识求得其范围.【题目详解】（1）当,则方程的两根分别为:,即,（2）当时，方程为,为方程的两根设，则，设，，故复数所对应的点为,可得根据两点间距离公式:其中，即的取值范围为:.【题目点拨】本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.21、（1）见解析；（2）2【解题分析】分析：（1）设，，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将，代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.详解：（1）设，，由得.∴∵在上∴即（为参数），消去参数得.∴曲线是以为圆心，以为半径的