四川省绵阳市2021年中考真题数学试卷（含答案）

绵阳市2021年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试数学

本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页，考试时间120

分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填

写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答

案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内.超出答题区域书写

的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12个小题，每个小题只有一个选项符合题目要求.

1.整式一3盯2的系数是（）

A.-3B.3C.-3xD.3x

【答案】A

【解析】

【分析】根据单项式的系数的定义求解即可.

【详解】解：—3个2的系数为一3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义.

2.计算JjixJ瓦的结果是（）

A.6B.6&C.6百D.6A/6

【答案】D

【解析】

【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答

案.

【详解】解：718x712

=372x273

=6y[6

故选：D.

【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.

3.下列图形中，轴对称图形的个数是（）

三卜2#

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可.

【详解】解：第一个图形不是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形是轴对称

图形；第四个图形不是轴对称图形；

故选B.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义.

4.如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）

【答案】D

【解析】

【分析】如图所示，等边三角形ABC,BC边上的高AO即为所求.

【详解】解：如图所示等边三角形ABC,AO是BC边上的高，

由题意可知的长即为所求，AB=2,ZB=60°,

A0=A8sin8=5

故选D.

A

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够

熟练掌握相关知识进行求解.

5.如图，在边长为3的正方形A3CZ）中，NCQE=30°,DE1CF,则8尸的长是（）

B.V2C.百

【答案】C

【解析】

【分析】由正方形的性质得出DC=CB,NDCE=NCBF=90。,由AS4证得

△DCE/ACBF,即可得出答案.

【详解】解：四边形A5CD是正方形，

--------------7IC

：.ZFBC=ZDCE=90°,CD=BC=3,

•.•在RtVDCE中，NCDE=30°,

CE=—DE,

2

设CE-x>则DE=2x>

根据勾股定理得：DC2+CE1=DE2，

即32+X2=(2X)2,

解得：x=G（负值舍去），

\CE=>/3，

,DE1CF,

.-.ZDOC=90°,

:.NDCO=60。,

ZBCF=90°-60°=309=NCDE,

NDCE=NCBF,CD=BC，

BF=CE=6•

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角

三角形的性质等知识，证明△DCE/△CBF是解题的关键.

6.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派

送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派

站现有包裹（）

A.60件B.66件C.68件D.72件

【答案】B

【解析】

【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递

员派送12件，还差6件”，即可得出关于尤的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其

代入（10x+6）中即可求出该分派站现有包裹数.

【详解】解：设该分派站有x个快递员，

依题意得：10小+6=121-6,

解得：x=6,

・・・10%+6=10x6+6=66,

即该分派站现有包裹66件.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

7.下列数中，在痴与I丽之间的是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据班云>呵>版，阚=4，%云=5，^/125<^200<V216-

版正=6,即可得出结果.

【详解】^64<-^0<V125-^64=4,^/125=5.

4〈胸<5，

又V125<V200<V216>次话=6，

•••5<V200<6，

,4(廊<5<^200<6，

故选：C.

【点睛】本题考查了估算无理数大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数,

求无理数的近似值.

8.某同学连续7天测得体温(单位：℃)分别是：36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37」、

37.1,关于这一组数据，下列说法正确的是()

A.众数是36.3B.中位数是36.6C.方差是0.08D.方差是

0.09

【答案】C

【解析】

【分析】根据方差，众数，中位数的定义进行逐一求解判断即可.

详解】解：把这组数据从小到大排列：36.3、36.5、36.5、36.7、36.7、37.1、37.1,

二处在最中间的数是36.7,

二中位数是36.7,故B不符合题意；

V36.5,36.7,37.1都出现了两次，出现的次数最多，

二众数为36.5,36.7,37.1,故A不符合题意;

-36.3+36.5+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1»“

/.x=---------------------------------------------------------------=36.7,

7

S2=1[(36.3-36.7)2+2x(36.5-36.7『+2x(36.7-36.7)2+2x(37.1-36.7)1=0.08

,故C符合题意，D不符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查了方差，众数，中位数的定义，解题的关键在于能够熟记定义.

9.如图，在等腰直角A6c中，NC=90°,M、N分别为BC、AC上的点，

NCNM=50°,P为MN上的点,且ZBPC=117°,则()

2

B

A.22°B,23°C.25°D.27°

【答案】A

【解析】

【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP=NP=CP,根据等腰三角形的

性质和三角形外角的性质可解答.

【详解】解：如图，过点M作MG_L3c于M,过点N作NG_LAC于N,连接CG交于

H,

：.NGMC=ZACB=ZCNG=90°,

四边形CMGN是矩形，

CH=—CG=—MN,

22

；PC=工MN,

2

存在两种情况:

如图，CP=CPI=LMN,

2

①尸是MN中点时，

:・MP=NP=CP,

：.4CNM=/PCN=50。,ZPMN=ZPCM=90°-50°=40°,

:.NCPM=180o-40°-40o=100°,

•••△A3C是等腰直角三角形，

・・・ZABC=45°f

VZCPB=117°,

.・・ZBPM=117°-100°=17°,

*.*NPMC=NPBM+/BPM,

/.Z/>BM=40o-17o=23°,

・・・ZABP=45°-23°=22°.

②CPI=LMN,

2

：.CP=CP\,

・・・NCPP】=NCPiP=8O。，

VZBPiC=117°,

・•・/BPiM=117。—80。=37。，

・•・ZMBPi=40°-37°=3°,

而图中NM3Pi>NM3P,所以此种情况不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等

知识，作出辅助线构建矩形CNGM证明P是MN的中点是解本题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，AB//DC,AC1BC,C£>=4D=5,AC=6,将

四边形ABC。向左平移5个单位后，点8恰好和原点O重合，则加的值是（）

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，m的值就是线段08的长度，过点。作OE_LAC,过点。作

CF1.OB,根据勾股定理求得OE的长度，再根据三角形相似求得5尸，矩形的性质得到

OF,即可求解.

【详解】解：由题意可得，的值就是线段08的长度，

过点。作过点。作BLOB,如下图：

•••C£>=A£>=5,DEIAC

：.CE=-AC=3,ZDEC=90°

2

由勾股定理得DE=y/CD2-CE2=4

AB!1DC

:.ZDCE=ZBAC，/ODC=ZBOD=90。

又,:AC±BC

：.ZACB=/CED=90。

：.4DECS*BCA

.DECECDHn435

BCACABBC6AB

解得8C=8,AB=10

CFLOB

；•ZACB=NBEC=90。

ABCFs^BAC

.BCBF8BF

..----=----,即—=----

ABBC108

解得BE=6.4

由题意可知四边形OFCD为矩形，；.OF=CD=5

OB=BF+OF=114

故选A

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理

等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键.

11.关于8的方程G：2+bx+c=0有两个不相等的实根玉、%，若々=2玉，则4Z?-9ac的

最大值是（）

A.IB.y/2C.百D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，

求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可.

【详解】解：由方程OX?+/?X+C=0有两个不相等的实根再、々

bc

可得，QW（）,X+X=一一,X,X=—

l2a2a

：x,=2%，可得3%=_2,2v=-,即2（_2）2=£

aa3aa

化简得9ac=处2

则4b-9ac=-2b2+4力=—2（/-2b）=一2s-I）2+2

故4。-9女最大值为2

故选D

【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根

据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键.

12.如图，在AACD中，AD=6,BC=5,AC?=.（.+§。），且DCA,

若AD=3AP,点。是线段A3上的动点，则PQ的最小值是（）

D

在8

c-

2D.5

【分析】根据相似三角形的性质得到包="，得到30=4，AB=BD=4,过8作

BDAD

BH'”于H,根据等腰三角形的性质得到A*/。3根据勾股定理得到

BH=y/AB2-AH2=J?三=々，当PQ,■时，PQ的值最小，根据相似三角形的

性质即可得到结论.

【详解】解：［ADABADCA,

ADCD

茄一茄

65+8。

~BD~6

解得：BD=4（负值舍去）,

■.ADABADCA,

ACCD93

AB-AD-6-2

3

/.AC=」A8,

2

AC2=AB（AB+BC）,

2

|=A8（A8+8C）,

..AB=4，

.・.AB=BD=4,

过8作9/_L4）于",

D,

A

AH=-AD=3,

2

BH=VAB2-AH2=742-32=S，

AD=3AP,AD=6,

.•.AP=2，

当PQ_LA8时，PQ的值最小，

ZAQP=ZAHB=90°,NPAQ=ZBAH

MPQMBH,

APPQ

一耘-而'

一=华，

4V7

:.PQ=—,

2

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确

的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

第n卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6个小题，将答案填写在答题卡相应的横线上.

【答案】152°

【解析】

【分析】利用平行线的性质可得N3=N1=28°,再利用邻补角即可求N2的度数.

【详解】解：如图，

a2

]<_______________

allb,Nl=28°,

.•.Z3=Z1=28°,

.•.Z2=180°-Z3=152°.

故答案为：152。.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系.

14.据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万.数字910000()0用科学记

数法表示为

【答案】9.1X107

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中〃为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值村时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

【详解】解:用科学记数法表示：91000000=9.1X107

故答案为：9.IxlO7•

【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是关键.

15.若X-y=孙=-；,则—y2=.

【答案】0

【解析】

【分析】先求出f+y2,再求/一>2的平方，然后再开方即可求出f-y2.

【详解】解：二x-y=6，

(x—y)~=3,

x2-2xy+y2=3,

3

xy=——

4

232a

X+-+/=3,

223

..k+y-=一

2

(x2-y2)2=(x2+y2)2-4x2y2

99

=——4x—=0,

416

/.x2-y2=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键.

16.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6月12日起开始打折促销，

肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10

盒白粽需360元.轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月

13日购买的花费比在打折前购买节省元.

【答案】145

【解析】

【分析】设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒

肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x,

y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的

总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数.

【详解】解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元,

4x+5y=350%=50

依题意得：〈解得:

0.6x5x4-0.7x10^=360'y=30

.\5x+5y-(0.6X5x+0.7X5y)=5X50+5X30-(0.6X5X50+0.7X5X30)=145.

故答案为：145.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

17.如图，在菱形ABCD中，NA=60。，G为中点，点E在延长线上，F、”分

别为CE、GE中点，/EHF=/DGE,=则.

【答案】4

【解析】

【分析】连接CG,过点C作CM1AD,交40的延长线于M,利用平行线的性质和三角

形中位线定理可得CG=2HF=2用，由AB//CD,得NCDW=NA=60。，设DM=x,则

CD=2x，CM=百x,在RtACMG中，借助勾股定理得CG=^GM2+CM2=々x=2不，

即可求出x的值，从而解决问题.

【详解】如图，连接CG,过点C作CMJ_AD,交4。的延长线于M,

F、H分别为CE、GE中点，

二///是aCEG的中位线，

1

:.HF=—CG,

2

四边形ABC。是菱形，

AD//BC,AB//CD,

ZDGE=Z.E,

ZEHF=ZDGE,

/.ZE=ZEHFf

.，HF=EF=CF,

:.CG=2HF=2不，

:.AB〃CD,

：.NCDM=NA=60。，

设DM=x,则CD=lx,CM=y/3x,

点G为4。的中点，

DG=x,GM=2x,

放△CMG中，由勾股定理得：

CG=>JGM2+CM2=&x=2不，

.*.x=2,

-9-AB=CD=2x=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合

性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键.

18.在直角，ABC中，NC=90°,」一+—!—=*,NC的角平分线交A3于点。，

tanAtanB2

且CD=2近，斜边AB的值是.

【答案】3亚

【解析】

【分析】C。平分/4CB,过点。作。ELAC于点E,过点。作。尸，BC于点凡由此可证

明四边形CEDF为正方形,再利用CQ=20，根据直角三角形的性质可求出

AQ2S

DE=EC=CF=FD=2,再根据锐角三角函数和勾股定理得到-------=二，求出ACBC

ACBC2

的值即可.

【详解】解：如图，8平分NACB,过点。作。E_LAC于点E,过点。作。以LBC于点F,

；.DE=DF,ZCED=ZCFD^90°.

又ZC=90°,

四边形CECF为正方形，

:.DE=EC=CF=FD,/ECD=NEDC=45。,

在R/_C£D中，sinZECD=—=sin45°=—,

CD2

•:CD=2也，

:.DE=EC=CF=FD=2,

+变/

BCAC2

又二AC1+BC1=AB\

.AB25

ACBC2

tanA=

DE2

AE=

tanAtanA

..十人,nDF2

•在RtZXBO/中，tanB=——=—,

BFBF

…DF2

tanBtanB

ACBC=(CE+AE)(CF+BF)

444

=4A+------+-------+--------------

tanAtan3tanAtanB

=4(1+—!—+―5—+1)

tanAtanB

=4x(2+-)

2

=18,

.AB25

•.------=—,

182

/.AB2=45，

即AB=3正(舍负)，

故答案为：35/5.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键.

三、解答题：本大题共7个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(1)计算：2cos45°+|V2—>/3|—2021°•

2x2xy〜.c

(2)先化简，再求值：---------------产三，其中x=1.12,y=0.68.

x-yx+yx-y

2-x

【答案】(1)-1；(2)-------,2

x-y

【解析】

【分析】(i)根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数基法则以及二次根式的性质

逐步进行计算即可；

(2)先根据分式的运算法则及运算顺序将原式化简，再代入求值即可.

【详解】解：(1)原式=2乂变+6-&—1—百

2

=72+73-72-1-73

2(x+y)x(x-y)2xy

(2)原式二-5-----5---------5------5-------2------7

x-yx-yx-y

2(x+y)—x2+xy-2xy

x2-y2

2(x+y)一■(』+)，)

■>2

x-y-

(2-x)(x+y)

(x+y)(x—y)

2.—x

x—y'

当x=L12,y=0.68时,

目#2-1.120.88

原式=---------=----

1.12-0.680.44

【点睛】本题考查数与式的运算能力，涉及分式的化简求值，实数的运算等知识，熟练掌握

运算法则是解题的关键.

20.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛.某年级随机选出一个班的

初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中。段对应扇形圆心角为72°.

分段成绩范围频数频率

A90〜100am

B80〜8920b

C70〜79C0.3

D70分以下10n

注：90~100表示成绩x满足：90<x<100,下同.

(1)在统计表中，a=,b=,c=；

(2)若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及

以上的学生人数；

(3)若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选

到1名男生和1名女生的概率.

3

【答案】(1)47=5,。=0.4,c=15；(2)200；(3)列举见解析，-

【解析】

【分析】(1)根据扇形统计图中。段对应扇形圆心角为72。，。段人数为10人，可求出总

人数，即可求出b,c,。的值；

(2)用样本中的频率来估计总体中的频率即可；

(3)通过列举所选情况可知：共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男

生1名女生的结果有6种，然后根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：(1)总人数为：10+(72+360)=50(人)，

;.〃=20+50=0.4,c=50x0.3=15(人)，

.♦.4=50—(20+15+10)=5(人)，

故答案为：5,0.4,15；

(2)由题意得：成绩在90~100之间的人数为5,

随机选出的这个班级总人数为50,

设该年级成绩在90~100之间的人数为＞,,

解得：y=200,

答：该年级成绩在90~100之间的人数为200人，

(3)由(1)(2)可知：A段有男生2人，女生3人，

记2名男生分别为男1,男2；记3名女生分别为女1,女2,女3,

选出2名学生的结果有：

男1男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,

男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,

共10种结果，并且它们出现的可能性相等，

其中包含1名男生1名女生的结果有6种，

n63

105

3

即选到1名男生和1名女生的概率为《.

【点睛】本题主要考查了统计表和统计图，列举法求概率，用样本估计总体等知识，解决本

题的关键是列举出所有等可能结果.

21.某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不

少于680件.该厂家现准备购买A、8两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类

原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种

工艺品6件.

(1)该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？

(2)若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺

厂购买A、8两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)50、51、52、53、54、55；(2)50根，100根，最大利润为76000

【解析】

【分析】(1)设工艺厂购买A类原木x根，3类原木(150-x),x根A类原木可制作甲种

工艺品4X件+(150-x)根8类原木可制作甲种工艺品2(150-x))件不少于400,X根A类

原木可制作乙种工艺品2X件+(150-x)根B类原木可制作乙种工艺品6(150-x)件不少于

680列不等式组，求出X范围即可；

(2)设获得利润为N元，根据每件甲利润乘以甲件数+每件乙利润乘以乙件数列出函数，

根据函数性质即可求解.

【详解】解：(1)设工艺厂购买A类原木X根，B类原木(150-x)根

4%+2(150-^)>400

由题意可得〈

2x+6(150—幻2680

可解得50Wx<55,

•••x为整数,

%=5(),51,52,53,54,55.

答：该工艺厂购买A类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55.

(2)设获得利润为了元，

由题意，y=50[4x+2(15。一x)]+8012x+6(15。一X)],

即y=—220x+87(X)0.

V-220<0,

r.y随％的增大而减小，

X=50时，>取得最大值76000.

购买A类原木根数50根，购买B类原木根数100根，取得最大值76000元.

【点睛】本题考查列不等式组解应用题，一次函数的增减性质求最值，掌握列不等式组解应

用题方法与步骤，利用一次函数的增减性质求最值方法是解题关键.

22.如图，点M是NABC的边84上的动点，BC=6,连接并将线段绕点M

逆时针旋转90°得到线段MN.

AA

M

(1)如图1,作MH上BC,垂足H在线段BC上，当NCM”=NB时，判断点N是否

在直线AB上，并说明理由；

(2)如图2,若NA5C=30。，NC//AB,求以MC、MN为邻边的正方形的面积S.

【答案】(1)点N在直线AB上，见解析；(2)18

【解析】

【分析】(1)根据NCM”=ZB，ZCM//+ZC=90°,得到NB+NC=9()°,可得线

段CM逆时针旋转90°落在直线B4上，即可得解；

(2)作C£>J_AB于。，得出NMCN=45°,再根据平行线的性质得到NBMC=45°,

再根据直角三角形的性质计算即可；

【详解】解：(1)结论：点N在直线上；

•；Z.CMH=/B,Z.CMH+NC=90°,

ZB+ZC=90°,

ZBMC=90。，即CMLAB.

线段CM逆时针旋转90°落在直线84上，即点N在直线ABk.

(2)作于£>,

•:MC=MN,ZCMN=90°,

：.ZMCN=45。，

'：NC!/AB,

：.NBMC=45°,

；BC=6,NB=30°,

/.CD=3,MC=0CD=3g，

S=MC2=i8,即以MC、MN为邻边的正方形面积S=18.

A

M.

B

【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线性质计算是解题的关键.

k

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直角A3C的顶点A,8在函数y=、（Z〉0,x>0）

图象上，AC//X轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M,交AC的延长线于点E，点A

纵坐标为2,点3横坐标为1,CE=1.

（1）求点C和点E的坐标及人的值；

（2）连接鸵，求仍E的面积.

25

【答案】⑴（1,2）,（2,2）,k=--,（2）--

【解析】

【分析】（1）由点A的纵坐标为2,点3的横坐标为1,可以用我表示出A,3两点坐标，

又AC//X轴，，AHC为直角三角形，所以可以得到点。的纵坐标为2,点C的横坐标为

1.由此得到C点坐标，又由于CE=1,可以得到E点坐标，因为垂直平分AB，所以

AE=BE，根据此等式列出关于攵的方程，即可求解；

（2）由（1）中的攵值，可以求出A,8的坐标，利用勾股定理，求出线段4B的长度，

从而得到8。的长度，先证明△BDA/sA5c4,利用相似三角形对应边成比例，求出

的长度，即可求出的面积.

【详解】解：（1）如图，连接BE,

由题意得点A的坐标为(9，2),点8的坐标为(1,%),

又AC〃x轴，且△ACB为直角三角形，

二点C的坐标为(1,2),

又：CE=\,

二点E的坐标为(2,2),

点E在线段AB的垂直平分线上,

:.EA=EB，

在RtqBCE中，EB~=BC23+CE2，

.•.1+(%—2)2=4一2>,

・•.左=2或一，

3

当％=2时，点A,B,。三点重合，不能构成三角形，故舍去,

二2=2,

3

2

AC(l,2),E(2,2),k=—；

3

24

(2)由(1)可得，AC=-,BC=—,CE=l,

33

设A3的中点为。，

AB=ylAC2+BC2=-V5,BD=-AB=—,

323

ZABC=ZMBD,NBDM=NBCA=90°,

ABDMsABCA,

BM_BD

好

T2755

BM--7-x-------=—

436

3

【点睛】本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性

质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐

标特征，是解决此题的关键.

24.如图，四边形ABCO是。。的内接矩形，过点A的切线与CO的延长线交于点M，

连接与AO交于点£，AD>1，CD=\.

(1)求证：AD5CAAMD；

(2)设AO=x,求VCQ0的面积（用x的式子表示）;

(3)若NAOE=NCOD,求0E的长.

【答案】（1）见解析；（2）立三；（3）更

410

【解析】

【分析】（1）由矩形性质可得N4NW="CB=90。，然后证明N£）M4=NDBC即可得出

结论;

(2)根据勾股定理得出=+1，根据相似三角形性质得出加。=*2,则

OA=ON=OD=OC=OB=^^-＞根据勾股定理得出M4的值，运用三角形面积公

2

式表示即可；

(3)记与圆弧AO交于点N,连接DN,证明△M/VD△MOC,即可得出

x2ND

求出ND的值，过。作。G,AC于G,过。作O"_L0N于”.运

X

用等面积法得出“O=DG=)根据勾股定理得出DN=2DH=2ylOD2-HD2，

Jx2+1

代入数据联立ND的值，解方程得出ND=广=B，0A=—＞设OE=t,则

2777132

NE=2-1，根据相似三角形性质即可得出结论.

2

【详解】解：(1)•.•四边形ABCO为।。的内接矩形，

AAC,3。过圆心0,且ZAZ)C=NQC8=90°.

ZADM=90°,

：.ZDAM+ZDMA=^°,

又：A"是?。的切线，故NZM/0+ND4O=9O°,

由此可得/DMA=ADAC,

又,:NDAC与NO8C都是圆弧DC所对的圆周角，

NDAC=NDBC,

：•ZDMA=NDBC,

又ZMDA=ZBCD=90°,

:.ADBCAAMD；

(2)解：由A£>=x,CD=1,则=&+1，

I~~27

由题意OA=ON=OD=OC=OB="一十.

2

由(1)知ADBCAAMD,则处=处，

BCMD

代入。C=l,BC=x,AD=x,

IY

可得一二——，解得MD=x2-

xMD

在直角△M4£>中，MA=VDM2+DA2=7x2+x4>

所以5人”“^-MAOC=-\lx2+X4--yjx2+l=

△COM2224

(3)解：记OM与圆弧AO交于点N,连接DN.

VZAOE^ACOD,乙ADN==乙AON,ZDBC=-ZDOC,

22

•••ZADN^ZDBC.

又/DAC=NDBC,所以/DAC=NADN,

：.NDI/AC.

工MDND

△AA/7VD△AA/OC,故----=----.

MCOC

由(2)知，由A£>=%,CD=1,则A。=G+1,

由题意可得。4=ON=OD=OC=OB="+1，

2

代入数据MC=MD+DC^X2+1>OC=1VX2+1.

2

__x_______NDY2

得至1「7>解得ND=—=①.

»+124rl

过。作OGLAC于G,过。作O”_LDN于〃.

易知"O=OG.

由等面积法可得5AA℃=^DADC=^ACDG,

八「DA-DCx〃八八〃x

代入数据得0G==-/•,即HO=DG=/「

ACVx2+1Vx2+1

在直角三角形HOD中，DN=2DH=2ylOD2-HD2

2+（，+1\x2

）一f+l

X2X2—1

由①②可得I,=-得％2=2d—2,

2vx+1Jx+1

解得％=J5,x2=-5/2（舍去）.

r2=B

所以ND=-f=0A=—

2A/%2+12

由ND//AC,故△AED/\OEA,故——=—.

AOOE

BBT

设OE=t,则NE="一r，代入得4=N-,

2Bt

T

解得/=£1,即OE的长为封I.

1010

【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解

一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键.

25.如图，二次函数y=-V-2x+4-/的图象与一次函数丁=一2%的图象交于点A、B

（点8在右侧），与＞轴交于点C,点A的横坐标恰好为动点P、。同时从原点。