高三数学圆锥曲线创新题资格考试认证

1/1高三数学圆锥曲线创新题-资格考试认证

1/9谈谈解析几何中的——

解题编题组题

老师的教学活动，决不单是备课与上课。特殊是数学老师，成天打交道最多的，就是数学题了。本文（或本讲座）预备就解析几何的学问内容，说说与解题编题组题相关的问题。

⒈解题

⒈1先看两个例子（本文各节自成例序）

例1始终线ι与x轴、y轴都不平行，也不过原点；点M(x,y)在ι上；点P（2，1），Q(3x+2y-1,3x-2y+1)在与ι垂直的直线ι′上。求直线ι的方程。

例2一X白纸上仅有双曲线的图象，试用圆规与直尺画出它的焦点。

例1是一道与直线相关的题目，莫非直线问题还有一般来说做不出来的题目吗？例2给人的感觉就是一道神奇兮兮、头绪玄乎的难题。

作为高中数学老师，具有肯定的解题力量，甚至是解决具有相当难度数学问题的力量，应当说是必需修行与具备的功力。对于解数学题所显现的力量X畴，主要是指哪些方面呢？

⒈2解题力量，不言而喻，主要就是指一般数学问题不被难倒，甚至具有相当难度数学问题也难不倒的力量。这里指的数学问题，当然主要是指中学数学X畴的基本初等数学问题。

例2后面还要说到，我们先看例1的解决。

例1解：设直线ι的方程为y=kx+b,k存在,kb≠0,ιˊ的方程为).2(11--=-xk

y把Q代入，即有].2)123[(11)123(--+-=-+-yxk

yx化简，得3(1+k)x+2(1–k)y–3=0.(1)

由于ιˊ的方程经如此整理,变量(x,y)就是ι中的变量,斜率k就是ι中的k,故化作了与

kx–y+b=0。（2）同样的方程。比较（1）、（2），应有)0(.31)1(2)1(3≠-=--=+kbb

kkk由2k2–2k-3–3k=0,(k–3)(2k+1)=0。解得k=3或k=―1/2。

k=3时b=―3/4；k=―1/2时，b=1.∴ι的方程为.12

1433+-=-=xyxy或例1同一法的解题构思并不是那么简单“想到”的。而一旦“想到”，也就不显得稀奇。例1的解决过程给我们以什么启示呢？

⒈⒉1所谓题目的难易，其实是相对的。即便是竞赛题，你熟识了其中的门道，其命题的途径，其解题的构思，特殊是基本的数学思想、方法、技巧，也就自而然之地融会贯穿于其中，亦即不感觉到怎样的难。否则，我国参赛队自加入国际奥林匹克数学竞赛以来，屡拿第一也就显得不行理解；另一方面，即便是学校的数学题，或许也有你颇感犯难的问题与时候。

⒈⒉2所谓熟识，是解决不了根本问题的。如例1，高中师生对于直线问题，不会不熟识。因此，解有份量的题还得有灵感。所谓数学灵感，是对数学概念，数学题的条件与要求，理解与应用相当到位的一种感觉。

⒈⒉3解所谓难题，要有肯定的学问、数学问题、数学思想与方法的积累；即要有相当的基本训练。所以话还得说回来，究竟熟能生巧。见得多了，练得多了，又有相当的思维机敏性，解题功力肯定渐长。

⒈3解题力量除了解肯定难题的功力，还指一般解题思路的清楚缜密，解题方法的简明得当，解题过程的轻松自如。走了很大的弯路，烦琐地解出一道题，看来是胜利了，或许却失败了。首先在理念上，要非常糊涂、非常明确地感悟到，数学就是一门追求简明的科学。在教学上，要鼓舞用好方法，讲究用巧方法；不主X满意结果。应追求思索在路子上，思维在点子上，思考在力度上。

2/9

比如抛物线上任意四点构成的四边形能否做到一组对角相等。假如这样说明：如图1-1，对于等腰三角形OAB，比较弦AB上的圆周角，当C离A较近时，明显∠C∠O；C在相当远的地方，∠C接近于0。其间必有点使∠C=∠O。但有同学这样说明：如图1-2，作任意弦AC的垂直平分线交抛物线于D、B，则四边形ABCD为筝形，∠A=∠C。明显更简明直观。既然如此，就宜采纳此法。笔者决不是排斥同一问题的不同解法，而是说应追求相对更好更为切合的方法。

⒈4解题力量不光是解难题，巧解题，还留意功力体现于速度上。数学解题是应检测灵敏性的。这样，就更要求理解、应用、解决的基本功要扎实，特殊是一步步的验算与推理，保持连贯与正确应力求过硬。在教学中要训练同学的仔细、急躁、完备的心理素养，克服看题不细，做题不精，毛糙，不规X，不知检查、反馈、整理等毛病。

⒈5正由于解题力量是一种显现综合素养的力量，所以怕做难题，或只做难题都是偏颇的。不讲过程，忽视规X与完备更相当有害。到了高班级，更应讲究对解题力量的辩证理解。既不为一个小步骤的失误耿耿于怀，要看到大的方面；又不能眼高手低，总是不以为然。读题与做题相结合。讲究质量、讲究效率正是高班级特殊是毕业班同学追求的目标；也是解题力量努力的一种境界。因此，主次概念、重轻概念、急缓概念，平中思变、稳中求奇，都是高境界以理性指导解题的基本策略。由于年龄、阅历的特点，即便是高中同学，对题目及其解决的理解辨析力量是颇需训练的；相当关键的，是上述大小意识。

⒉编题

⒉1编题的意义、前提和准则

当一名称职的数学老师，光有即便是精彩的解题力量还不怎么样。必需要有不错的编题力量，才能称之为可以。从解题到编题，不能只看作层次差异，首先取决于你职业喜爱与敏感谢发的爱好与动力。很多老师只会解题，但肯定产生不了编题的激情，缘由当然许多,总之对数学（教学）本职的熟悉与感悟也就差了一截。你想胜利编题，编出好题，首先你必需熟识与讨论课程标准、考纲考点、考题特殊是高考题的分布特点、命题方向与价值取向。这个问题本身就具有简单性。从命题者（小组）本人（自身）到广阔师生，对上述最基本、最重要问题的理解与看法都不尽相同；另一方面，光是对这些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入误区，或导致更有害更严峻的后果。“阵而后战，兵家之常；运用之妙，存乎一心”。根本的问题还在于对学问的理解与把握，对基本技能显现的基础与功力。一方面，历年的高考题，高考的命题方向与取向，其特点甚至规律不能不讨论，特殊是强调力量、创意的今日；另一方面，又不能肯定化，还是着眼于基础训练与解题力量的提高。但究竟说明白，你想编题，你必需先大量做题；先充分关注、了解、讨论、整理与数学问题，特殊是典型数学题例相关的问题。在充分积淀的基础上，然后尽情发挥你的潜质，经过历练与提升，于是，能编出题目，能编出好题目的胜利前景会对你形成呼唤。

⒉2编题的几个主要成因

你有了编题的内在要求，尝试着去做，体会、阅历、愉悦自然会蕴含其中。就本文来说，当然也是最实质、最主要的地方。本人想就此仅对解析几何学问内容所自编、改编的数学问题述之一二，抛砖以引玉。

⒉⒉1“借题”以发挥

如前已述，要想编好题，必先解好题，只是在做题时，多存着几分讨论、探讨的心。我们知道，摩仿往往是创新的前奏。先想想人家这题目是怎样形成的，要解决什么问题。由此有何可深掘之处，因之培育感觉。举例如下：

例1在标准形式的椭圆、双曲线中，M是过x轴焦点、斜率为k1的弦的中点，MO的斜率为k2,则成立e2=1+k1k2。在抛物线中，有类似结论吗？有圆锥曲线的同一关系式吗？[1]

3/9这是蒲荣飞提到的一个数学问题，其实并不难解决。笔者否定了这个结论。得到的结果是：抛物线).1(022.22,)0(2211212211

22=≠+=+==ekkkkkkkkppxy即明显中

然而，这个结果的关系式太好，这样，一个数学问题随之产生：

题1已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB的斜率为a，AB的中点为M，OM的斜率为k。

⑴把k表示为a的函数。??????≠+=0,122aaak⑵求k的取值X围。???

????-∈]22,00,22[k你看，多好的一道难度适中、题味隽永的题！

题2B是已知椭圆14

52

2=+yx的上顶点，过A（0，－1/3）的直线交椭圆于P、Q，试推断ΔBPQ是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形且证明之。

本题的编拟是基于以下的结果：

结论1在椭圆)0(122

22=+bab

yax中，长轴上的顶点A为直角顶点的内接三角形APQ中，弦PQ过定点M??????+-0,)(2222babaa；短轴上顶点B为直角顶点的内接三角形BPQ中，弦PQ过定点M??????+-2222)(,0babab。所取符号由图形很易确定。

由结论1，A（0，-2/9）时，ΔBPQ恰为直角三角形；A连续上移，则ΔBPQ就是钝角三角形了。需要说明的是，对于ΔBPQ，只有∠B可能为非锐角。

另外，在双曲线中，也有类似结论：

结论2在双曲线),0,0(122

22babab

yax≠=-中，自实轴的一个端点A，作相互垂直的两直线交双曲线于P、Q，

则PQ所在直线过定点M???

???-+0,)(2222babaa。

端点与定点相应值的符号相同。[2]、[3]

这种以圆锥曲线顶点为直角顶点的对应直角三角形过定点，对于抛物线而言，结果就更为我们所熟知了：

结论3过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作相互垂直的弦OP、OQ，则弦PQ过定点M(2p,0)。当然，借题以拟题必需要有肯定的解题意味，从一个题转变一两个数据形成另一个题并无趣味。但从重要的特点和结论动身，把需要考查的学问串联其中，状况就大不相同。如题2，对ΔBPQ的外形推断，可由BQBP?与0的比较解决之。化一般字母结论为特别数据推算，正符合考查的要求。

⒉⒉2贯彻以“目标”

有时我们确定一个问题的考查方向，又盼望结合相应的学问点给出考题，这时只要问题背景设置得当，深化而细致的思索设计，由量变积累到质变飞跃，好题目可以逐步成形完善。比如笔者盼望编拟一道圆锥曲线里的数列题，殚精竭虑，思之一再，最终拟成一题：

题3如图3，P1，P2，，P3…是抛物线y=x2上x=1,2,3,…上的点，求

4/9??????+++++=-3)12(2.22

123222121nnPPPPPPOPSnn⒉⒉3反用以陈题

有的陈题具有肯定的典型特征，加强认知可以巩固学问，

亦同时强化解题力量。本着强主枝、去次蔓的解题精神，

对这样的题改造变衍以形成新题是一种对路的思考。

请看

题4如图4，已知抛物线Y2=2PX(P0)上任意一点A(X0,Y0)，

A关于轴的对称点为

B，B向右平移2P个单位至M，

又过A作抛物线的弦AP、AQ且AP⊥AQ，试问P、M、Q三点是否在一条直线上？（在一条直线上）

其原题是，前面我们曾说到结论3，抛物线上的弦OP⊥OQ时，PQ过定点M(2p,0)。其实直角顶点不肯定是抛物线的顶点，当它任意时，如为A(x0,y0)，则PQ过定点M(x0+2p，-y0)。此即题4的相反结论。

但有意义的是，证明PQ过定点M，不如证明已知M时，P、M、Q在一条直线上更有做头。不妨按MQNPλ=证明之，更符合解析几何结合向量学问的解题意蕴。只是抛物线设做参数形式：

,222

???==pt

yptx更便利于解决。提到结论3，笔者也有题在编：

题5在射线OQ上取长度为2p的线段OP，一动点M满意

.4

0),2tan21arctan(,πθθθ=∠=∠MPQMOP⑴建立适当的平面坐标系，求动点M的轨迹方程，并说明曲线名称。

⑵延长MP到N，使ON⊥OM，证明点N也在以（1）取消X围限制后点M的轨迹上。

其中（1）的解就是抛物线段y2=2px。(y2p)

可见陈题反用是一个很好的拟题途径。只是反用时要经过匠心设计，周三打磨，应使因之拟出的题看不出，或想不到与原题有什么因果联系。只有这样，才能使编拟的题上质量上档次。再看一例：

题6已知P（p，0）是平面直角坐标系x轴上的一点（p0），M、N两点在y轴上，且|MN|=2p。过M、N、P三点作一个圆。

⑴求圆心C的轨迹方程。（y2=2px，抛物线）

⑵设OP的垂直平分线交曲线C于A、B两点，求曲线C关于以AB为对称轴的曲线C′的方程。（y2=-2p(x-p)）

⑶对两条曲线以AB为准，AB的左边取曲线C的部分曲线段；AB的右边取曲线C′的部分曲线段，包括AB形成一个图形。让这个图形以AB的中垂线为轴，即围着AB的中点旋转一周形成一个几何体。以此几何体模拟为某植物的种子，且使AB成水平线放置（形如上下凸起的围棋子）。假如AB=2cm，且这样的种子上下、前后、左右整齐堆放于一内壁为10104的盒子内，搭载于神舟*号宇宙飞船进行科学试验，

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则一个这样的盒子共可搭载多少枚这样的植物种子？(100枚)

这样的题有多浓的品位。其实题6（1）的原题就是，已知抛物线y2=2px(p0)，点P(p,0)，C是抛物线上任意一点，以|CP|为半径的圆被y轴所截，则弦长为定值2p。但题6当然已面目全非。假如改P(p,0)为P(a,0)，使不向抛物线处联想，则更有意思。只是本题还有（2）、（3），让做题者知道是抛物线也好。

题6还可呈现得更充分些。笔者另加（4）为附加题：

⑷附加题：假如转变放置方式，能否增多放入的种子？如不能增多，请赐予证明；如能够增多，可增多多少（说明：放置时，线段AB只能按水平或垂直方向）？（水平但错位放置时，可放置

553+44

2=107，多放置7枚。垂直不合。）

⒉⒉4转变于条件

我们编题，切不能为编题而编题，假如说，要对一道题加以改造形成新题，那肯定要显现有旧题变动的缘由，新题成立的新意。否则，还不如不改。试看下例：

例1已知P是椭圆外一点，过P作两切线ι1、ι2，F1′是焦点F1关于ι1的对称点，F2′是焦点F2关于ι2

的对称点。如图6-1，证明△PF1′F

2≌△PF1F2′。

应当说，这是一个蛮不错的题，但圆锥曲线的切线问题现在的平面解析几何教学已经淡出；又题目的解决虽然会用到椭圆的相关性质（如光学性质），但离教学较远，要证明的问题也过于平面几何化。那么，怎么进行变化与改造呢？笔者拟成为

6/9题

7如图6-2，F1、F2是椭圆的两个焦点，P、Q是椭圆上直线F1F2上方的任意两点，连F2P并延长至A，使PA=PF1；连F1Q并延长至B，使QB=QF2。M是AF1中点，N是F2B中点。直线ι1过M、P，直线ι2过N、Q，ι1∩ι2=C。

证明C到AF2的距离等于C到F1B的距离。

经这样一改，虽然MP、NQ仍是椭圆的切线，却不涉及切线概念；而对称条件却使垂直平分线的概念强化，比原题更简单引发ι1、ι2上的点到A、F1的距离及F2、B的距离分别相等；又结果按点到直线的距离给出，更切合解析几何的学问点。而饶有余味的竟是，证明C到AF2及F1B的距离相等应转化为证明全等三角形CAF2与CF1B的两条高相等。虽然证明的过程大致相仿，但|AF2|=|F1B|=2a的定义应用之关键比原题简单想到，因此也比原题便于证明。这就使问题的改编圆满胜利。

例2AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，M是准线与x轴的交点。如图7，AP平行于准线，假如MB⊥AB，证明|AP|=BP|。

如例1一样，证明的要求太平面几何化。引发的思索不妨取AB中点N，证明MB∥NP（即着眼于等腰ΔPAB的中线、AB上的高线、∠APB的平分线NP的三线合一）。

但事实上，延长AP

交抛物线于Q，Q

与A关于抛物线为轴对称。既然

|PA|=|PB|=|PQ|，不如说明ΔABQ为直角三角形。由此原题改编为

题8AB是抛物线y2=2px的焦点弦，M是准线与x轴的交点，A关于x轴的对称点是Q，如图7，假如MB⊥BA，求证M、B、Q在一条直线上。

这样改动，解析几何、垂直关系、三点共线，题目的意蕴浓多了，证明方法的选择也更自由了。特殊是向量法，与教学热点贴得更紧。

⒉⒉5挖潜以推广

解析几何中的椭圆与双曲线呈对偶关系，圆锥曲线又把有心曲线椭圆与双曲线及无心曲线抛物线囊括为整体的学问域。因此，椭圆的命题或许双曲线中有对偶关系；能够在圆锥曲线之其一成立的命题，在其他曲线中也能成立吗？事实表明，圆锥曲线中的命题或性质、相关结论等等，思考讨论的潜力或余地大得很。前面提到的抛物线、椭圆、双曲线的顶点弦OP、OQ，OP⊥OQ，PQ总过定点，就是一例。简洁来说，题7，题8都有挖潜结果或对偶结论：

题9如图8，F1，F2是双曲线的两个焦点，Q，P是双曲线上的点，且P∈F1Q，延长PF1至A，使PA=PF2；延长QF2至B，使QF1=QB。取AF2中点M，过M、P作直线ι1；取F1B中点N，过N、Q作直线ι2。ι1∩ι2=C。

证明C到AQ的距离与C到QB的距离相等。（先证ΔCF1A≌ΔCBF2）

7/9题10AB是圆锥曲线的焦点弦（如图

7，图9-1，图9-2），M是准线与x轴的交点，弦AQ平行于准线，假如BM⊥BA，证明M、B、Q在一条直线上。

好玩的是，本人发觉且证明题10之后不久，就看到有关杂志上更抱负的结果。[4]

其实在题10中，即便去掉BM⊥BA的条件，三点共线的结论依旧成立。

⒉⒉6拓展于结论

同其他学问域一样，解析几何学问域，由于数形结合最紧密，因此，图形、线条之间的特征与数据结构往往更丰富。如上所述自编、转变数学题的过程，其中就蕴含着许多的特征规律与数据结构。我校本班级组内某曾提议解决抛物线的找出焦点尺规作图问题。本人进一步探究，且一举解决全部圆锥曲线用尺规作出焦点的问题。解决过程就用到相关解析几何题的特征规律与数据结构。这就是

题11用直尺、圆规作出仅有圆锥曲线图形（其中抛物线给定顶点）的曲线焦点。

解：作法如下：

（1）对于抛物线，

①以O为圆心，任意长为半径作弧，交抛物线于A、B，连AB(中点为M)；

②作AB的垂直平分线，此即X轴；过O作Y轴（即以O为圆心，作任意长为半径形成线段的垂直平分线）；

③作任意弦OP、OQ，使OP⊥OQ；

④连PQ交OX轴于N，由熟知的结论，N为定点，|ON|=2P；

⑤在X轴上取ON的1/4点，如图10-1，即F，|OF|=P/2。

（2）对于椭圆，

①先作两平行弦，及两平行弦的中点连线，如法炮制平行弦的中点连线；两中点连线交于O，此即椭圆中心；

②以O为圆心，任意长为半径作弧，再作弦PQ，作PQ的垂直平分线X轴；

③过O作Y轴；

④对X轴、Y轴上的顶点A、B，明显|OA|=a，|OB|=b，以B为圆心，OA长为半径作弧交X轴于F，如图10-2，.22cBOBFOF=-=

（3）对于双曲线，

①作法同于（2），作得O点，X轴、Y轴；顶点A；

②以O为圆心，OA为半径作圆；

③作任意半径OQ并延长至任意双曲线形内M点；以M为圆心，MQ为半径作圆与圆O相切，交X轴于F，F即焦点。

如图10-3，设P为圆M与双曲线的交点，则|PF′|—|PF|=2a，即|MO|—|MF|=a，即|OM|=|MQ|+a，为两半径之和。

[说明]10前苏联有竞赛题：在坐标平面OXY上画了函数Y=X2的图象，然后擦去坐标轴，仅留下一条抛物线，怎样用圆规和直尺重新作出坐标轴和长度单位。

其实抛物线不给出顶点也可以作出坐标系：两条平行弦的中点连线m平行于Y轴，作m的垂线交抛物线于AB，AB的垂直平分线就是Y轴…

20“找”出椭圆的中心，曾是某2023年的春季高考题。

这样，本文开头“1．解题”中提到的例2，由是在此处赐予了解决。双曲线上长轴为直径的圆与焦点及双曲线上任意一点线段长为直径的圆相外切，竟然在此作图题中能得以应用。

利用[4]，题11不仅可作出圆锥曲线的焦点，还可进一步作出圆锥曲线的准线。

出于对篇幅的考虑，这样那样的编题成因不再举例。事实上，各种因素也是综合起作用的。但对于编题、改题的的话题，还是有必要简略地总结一下：

10不能为编题、改题而编题、改题。

20编题也好，改题也好，都要具有创意，具有新意，具有解题意蕴。尤其是改题，决不能只是数据的简洁变动。要尽量看不出它就是某某题。否则便无意义。

30编题、改题都要有明确的检测方向。要有相宜的解题对应背景。比如是用于竞赛，用于高考（或模拟考），用于测验或练习。不同的用题场合，显现不同的特色。

40编题、改题要指明出处或缘由（对于编书中的用题，由于题广量大，编辑许可时可不必一一标明）。

⒊组题

所谓组题，就是针对总复习、一学期、某阶段、一个学问域所整合的一份考试卷或练习卷。从国家来说，高考卷就是最讲究的组题卷。

一般来说，一个班级组一个学习段的考试卷的拟成，往往最正常的途径就是在各种相关资料中找出若干认为切合的题，按定型定量的方式列序付印而已。尽管组题最好能最多具有编题、改题的成份，但基于时间、精力的现实，一般这么做的状况并不多。即便如此，决不等于说，组题可以不讲究，组题没什么要求。对于这些，并不是全部老师都有很好的熟悉，都有正确的熟悉。即便是较高层次的组题者，甚至所谓专家，也未必观点、理念都非常到位。笔者对此说一些浅见，欠妥不当之处欢迎批判指正。

⑴组题的目的必需端正。不论是哪类试卷，都要重视试卷的内容与考试的要求及方向相对应；且这样的要求及方向，还得与时俱进，宏观上与培育训练素养力量挂钩，突出创意、新意；微观上与当前教学状况挂钩。立足基础学问基本机能的强化与巩固。以某而论，自主命题，尤其是近数年来，高考试卷的质量越来越被社会所确定，应是试卷评价考察追求的方向。现在各相关学校的各类考试，笔者以为这方面的差距还很明显。由于自编、改编题客观上很少，于是组题时，舍命在各类资料中搜寻，首先生怕有关题被别人做到猜到。这其实是个误区。考查的目的是检验同学对学问、特殊是基础学问重要学问关键学问的理解、把握与巩固。不在于相关题平常练习的多少，是否被做过。由于组题者极力求异，往往使考题偏离方向，在主次重轻上失衡。比如有一次的高二期末试卷的第12题（填空题）：

连接抛物线上任意四点的四边形。可能是__②③⑤____________（填写全部的正确选项的序号）。（*）

①菱形②三条边相等的四边形③梯形

④平行四边形⑤有一组对边相等的四边形

一般来说，假如支配12道填空题，题12虽然是小题，地位却举足轻重。这道题检验抛物线什么样的

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学问内容呢？学问点的解决用到什么样的解题思路与方向呢？

⑵组题的轻重配置必需得当。现在有些题组，大题不像大题，小题不像小题：大题按选择填空给出也可以，小题有时比大题求解还费时费劲。小题的结果设置，由于题目措词与要求不当，给解答的评判带来麻烦与不公。比如有些不等式的求解问曰：

不等式的解集是___________________________。

对于2x3，x∈(2,3)，x∈{x|2x3}。第一种解答判错，明显抹杀了与不会解、解不出、解错了的区分。这些明显都是偏向。