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复合函数1、复合函数的定义定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u又是x的函数，记为u=g(x),如果g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，那么确定了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数.即：x→u→y2、复合函数的定义域假设复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：(1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.假设f(x)的定义域为D，那么y=f[g(x)]的定义域是使有意义的x的取值集合。(2)y=f[g(x)]的定义域为D，那么g(x)在D上的取值范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域.3、复合函数的性质引理1：函数y=f[g(x)]，假设u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。引理2：函数y=f[g(x)]，假设u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。引理3：函数y=f[g(x)]，假设u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。引理4：函数y=f[g(x)]，假设u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。复合函数的单调性规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减〞例题1、求的单调区间.复合函数的单调性小结：复合函数y=f[g(x)]的单调性可按以下步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；

(4)假设两个函数在对应的区间上的单调性相同〔即都是增函数，或都是减函数〕，那么复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5)假设两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数，而另一个是减

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