线段的垂直平分线

19.4线段的垂直平分线

,知识点梳理

一、线段的垂直平分线

定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.

线段垂直平分线的尺规作图

求做线段AB的垂直平分线

作法：

(I)分别以点A,B为圆心，以大于LAB的长为半径作弧，两弧相交于c,D两点；

2

(2)作直线CD,CD即为所求直线.

要点：作弧时的半径必须大于LAB的长，否则就不能得到交点了.

2

二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理

线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.

要点：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一.同

时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相

等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和

这条线段两个端点的距离相等的点的集合.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心一一

外心.

心典幽写第幽

题型1:线段的垂直平分线的性质

1.如图，在AABC中，A8的垂直平分线分别交AB、BC于点。、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC

的长是()

BC

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=4,结合图形计算，得到答案.

【解析】解：是AB的垂直平分线，AE=4,

：.EB=EA=4,

：.BC=EB+EC=4+2=6,

故选：C.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等.

2.如图，已知4c=8C,PCVAB,连接必和PB,则以PB.（选填或“=”）

【答案】=

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得PC垂直平分AB,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端

点的距离相等的性质解答.

【解析】解：•；4C=BC,PC±AB,

•♦.PC垂直平分AB（等腰三角形三线合一），

：.PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.

故答案为：=.

【点睛】本题考查/线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，

判断出PC垂直平分AB是解题的关键.

3.如图所示，在..ABC中，48的垂直平分线交AC于点E,若AE=2目,则B、£两点间的距离是（）

A

BLA---------

A.口B.6C.2百D.4公

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可.

【解析】解：如图，连接8E.

垂直平分线段AB,

二BE=AE=2B

故选C.

BC

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,解题的关键在于能够熟练掌握：线段垂直平分线上的点,

到线段两点的距离相等.

4.如图，AC=A。，BC=BD,则有（）

D

A.AB垂直平分CQB.C£＞垂直平分AB

C.AB与8互相垂直平分D.CD平分/ACS

【答案】A

【分析】由AC=4O,BC=BD,可得点A在CO的垂直平分线上,点B在CD的垂直平分线上，又由两点

确定一条直线，可得AB是CQ的垂直平分线.

【解析】解：；AC=AO,BC=BD,

...点A在C£＞的垂直平分线上，点8在CZ）的垂直平分线上，

是CD的垂直平分线.

即AB垂直平分CD.

故选:A

【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键.

5.如图，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小

区的距离相等，则文化广场应建在（）

A.AC,BC两边高线的交点处B.AC,8c两边中线的交点处

C.AC,BC两边垂直平分线的交点处D.ZA,NB两内角平分线的交点处

【答案】C

【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆

定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到8小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直

平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.

【解析】解：A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三

个小区的距离相等，则文化广场应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.

故选：C.

【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂

直平分线上，掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键.

6.如图，在一A5c中，AB=AC,NA=40。，AB的垂直平分线交4B于点。，交AC于点E,连接BE,则

NCBE的度数为（）

D.

R

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】由△ABC中，AB=AC,ZA=40°,即可求得NA8C的度数，又由线段A8的垂直平分线交A8于D,

交AC于七，可得继而求得NA8E的度数，则可求得答案.

【解析】解：・.•等腰△ABC中，AB=AC,ZA=40°,

—国—70。,

・・•线段A8的垂直平分线交AB于。，交AC于E,

:・AE=BE,

：.ZABE=ZA=40°,

・・・ZCBE=AABC-ZAB£=30°.

故选：D.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思

想的应用.

7.如图，OE是△A3C中AC边上的垂直平分线，如果BC=8cm,AB^\0cm,则△EBC的周长为（）

A.16cmB.18anC.26cmD.28cm

【答案】B

【分析】由DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，可得4E=CE,继而可得△EBC的周长=BC+A8.

【解析】解：:OE是△ABC中AC边上的垂直平分线,

：.AE=CE,

BC=Scm,AB=\0cm,

.,.△E8C的周长为：BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=8+10=18(cm).

故选：B.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质.注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.

8.如图，在ABC中，PM、QN分别是线段A3、AC的垂直平分线，若BC=100,则△4PQ的周长是（）

A

C.100D.90

【答案】C

【分析】利用垂直平分线的性质得/%=尸8，QA=QC,等量代换即可求解.

【解析】解：QN分别是线段A3、AC的垂直平分线,

二PA=PB,QA=QC,

△AP。的周长=P。+QA+PA=PQ+QC+PB=8C=100.

故选C.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

9.如图，在ABC中，NC=31。，NABC的平分线8。交AC于点。，如果DE垂直平分BC,那么4=()

C.87°D.88°

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到QB=OC,根据等腰三角形的性质得到NQBC=NC=31。，根据

角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可.

【解析】解：；在一ABC中，NC=31。，OE垂直平分8C,

:.BD=DC,BE=CE,

在上和△£>CE中,

BD=CD

BE=CE

DE=DE

:・“DBEaDCE（SSS）,

：.ZDBE=ZC=31°,

*.•8。是/ABC的平分线,

ZABC=2/DBE=2x31°=62°,

ZA=180°-Z.C-ZABC=180°-31°-62°=87°.

故选：C

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的

点到线段的两个端点的距离相等.

10.如图，DE为43c中AC边的中垂线，3c=8,A3=10,则一砂C的周长是（）

【答案】B

【分析】利用线垂直平分线的性质得AE=CE,再等量代换即可求得三角形的周长.

【解析】是A4BC中AC边的垂直平分线，AE=CE,

,AE+BE=CE+BE=\0,

A£8C的周长=8E+CE+3C=8+10=18.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解

答本题的关键.

题型2:线段的垂直平分线的判定

11.如图，等边ABC中，AD1BC,垂足为。，点E在线段AD上，Z£BC=45°,则NACE等于（）

A.15°B.20°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】先判断出A力是BC的垂直平分线，进而求出NEC8=45。，即可得出结论.

【解析】解：••,等边三角形A8c中，AD±BC,

：.BD=CD,即:4。是＜C的垂直平分线,

•.•点E在上，

•：BE=CE,

：.NEBC=NECB,

'：ZEBC=45°,

：.ZECB=45°,

△ABC是等边三角形，

，ZACB=60°,

：.ZACE=ZACB-ZECB=15°,

故选：A.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出NEC8

是解本题的关键.

12.如图，ABC中，ZACB=90°,AD平分NBAC,OEL4B于E.

⑴若/R4C=48。，求ZEEM的度数；

(2)求证：直线AO是线段CE的垂直平分线.

【答案】(1)66。

(2)见解析

【分析】(1)在Rf中，求出NE4D即可解决问题；

(2)证明二"ACD得出A£=AC,ED=DC,利用线段垂直平分线的判定即可证明.

(1)

解：VABAC=48°,A。平分/A4C,

ZE4D=-ZBAC=24°,

2

,:DELAB,

：.ZA£D=90°,

/.ZEZM=90o-ZE4£>=66o；

(2)

证明：VDEYAB,

ZAED=90P=ZACB,

又：AO平分NBAC,

：.ZDAE=NDAC,

"：AD=AD,

：.AED^_ACD,

：.AE^AC,ED=DC,

...点。在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，(两点确定一条直线)，

•••直线A。是线段C£的垂直平分线.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题

的关键是证明AE=AC,ED=DC.

题型3:尺规作图

13.如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N,连接

MN,交3c于点£),交AB于点E,连接AZ).若ABC的周长等于17,△AOC的周长为9,那么线段AE

【答案】C

【分析】根据作图过程可得MN是A8的垂直平分线，进而可得AE=^AB,再由二MC的周长等

于17,△AQC的周长为9,可得AC+AQ+C£>=9,AC+CD+BD+AB^ll,两式相减可得答案.

【解析】解：根据题意可得MN是A8的垂直平分线，

一AOC的周长为9,

AC+AD+CD=9,

的周长等于17,

AC+CD+BD+AB=U,

.MN是AB的垂直平分线，

/.AD=BD,AE=\AB,

2

AC+CD+AD+AB=\1,

.-.AB=17-9=8,

.\AE-4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线

的性质.

14.如图，在已知的中，按以下步骤作图：

①分别以8,C为圆心，以大于g3C的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；

2

②作直线MN交AB于点£>,连接C。.

若AC=4,AB=10,则一ACD的周长为（）

A.8B.9C.10D.14

【答案】D

【分析】根据作图可得MN是8C的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=QB,然后可得

AD+CD=\0,进而可得△AC。的周长.

【解析】解：根据作图可得是BC的垂直平分线，

是BC的垂直平分线，

：.CD=DB,

：AB=10,

：.CD+AD=\0,

/\ACD的周长=CO+A£)+AC=4+10=14,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.

题型4：线段的垂直平分线的性质与判定的综合应用

15.如图，在AABC中，ZACB=\\\°,AC边上的垂直平分线交A8于点£),交AC边于点E,连接8.

(2)若AD=8C,试求ZA的度数.

【答案】(1)23

(2)23°

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得CD=AO,根据三角形的周长公式，可得答案；

(2)根据线段垂直平分线的性质，可得CD=4),根据等腰三角形的性质，可得/3与/COB的关系，根

据三角形外角的性质，可得/a®与NA的关系，根据三角形内角和定理，可得答案.

【解析】(1)解：班是AC的垂直平分线，

AD=CD.

C&BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB,

又・AB=15,BC=8,

••=23；

(2)W：,AD=CD

:.ZA=ZACDf设NA=x,

AD=CB,

:.CD=CB,

ZCDB=ZCBD.

NCD5是AACE＞的外角，

:.ZCDB=ZA-^ZACD=2x,

NA、NB、NAC8是三角形的内角，

ZA+Zfi+ZACB=180°,

.•.x+2x+lll°=180°,

解得x=23。

.-.ZA=23O.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，（1）利用线段垂直平分线的性质得出。。与的关系，把

三角形的周长转化成AB+BC是解题关键，（2）利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出N8与NA

的关系是解题关键.

16.如图，在一ABC中，DE垂直平分线段BC,ACD的周长为18,且A3—AC=4,

求A3、AC的长各为多少？

【分析】利用中垂线的性质得到，AC£）的周长=AC+AB,再结合43-AC=4,即可得解.

【解析】解：:OE垂直平分线段8C,

DB=DC,

又•••_ACD的周长为18,

AD+DC+CA=i8,

：.AD+DB+CA=18,即：AB+AC=18,

XVAB-AC^4,

：.AB=AC+4,

4+AC+AC=18,

二AC=7,

AB=7+4=11.

【点睛】本题考查中垂线的性质.熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

17.如图在一ABC中，AB^AC=\2,3c=15,AC的垂直平分线交3c于点£>,垂足为E.

A

E

BC

D

(1)求的周长；

(2)若N8=35。，求—BAD的度数.

【答案】(1)27；

⑵/&4D=75。.

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质易得到AABO的周长=4B+8C；

(2)根据等腰三角形的性质得到NC=/B=/C4/)=35。，根据三角形外角的性质求出-4)8,然后由三

角形内角和定理求得NBAD的度数.

【解析】(1)解：是4c的垂直平分线，

,AD=CD,

VAB=AC=12,BC=15,

：.△ABO的周长是：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=\2+15=21；

(2)解：如图，VAB=AC,NB=35。，

/.Zfi=ZC=35°,

又YAD=CD,

ZDAC=ZC=35°,

：.ZADB=NDAC+NC=35。+35。=70°,

?.ABAD=180°-ZB-ZADB=180°-35°-70°=75°.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定

理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.

18.如图，在ZABC中，A8=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M.

⑴若NB=65。，则NNMA的度数是；

⑵连接若A8=6cm,4M8C的周长是10cm.

①求BC的长：

②在直线MN上是否存在点£>,使由8、C、。三点构成的4OBC的周长值最小？若存在，标出点力的位置

并求Z。8c的周长最小值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)40。

(2)①BC的长为4cm：②存在，标出点。的位置见解析，ZO8C的周长最小值为10cm

【分析】(1)根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得/A的度数，根据直角三角形两锐角的关

系，可得答案；

(2)①根据垂直平分线的性质，可得AM与M8的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之

间线段最短，可得。点与M点的关系，可得。8+OC与AC的关系.

(1)

解：；A8=4C,

:.NB=/C,

：.Z^=180°-2ZB,

又MN垂直平分AB,

AZWA=90°-ZA=90°-(180°-2ZB)=2/B-90°=40°,

故答案为：40°；

(2)

如图：

①,；/修垂直平分AB,

：.MB=MA,

又「△MBC的周长是10cm,

，AC+BC=10cm,

/.5c=4cm.

②当点。与点M重合时，△O8C的周长最小，最小值是10cm.

【点睛】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出08=04.

心跟踪钏练

一、单选题

1.如图，在ABC中，OE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△A3。的周长为13cm，则ABC的周长是().

BDC

A.13cmB.16cmC.19cmD.22cm

【答案】C

【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AQ=CQ,AC=2AE,结合周长，进行线段的等

量代换可得答案.

【解析】解：•••DE是AC的垂直平分线，

.'.AD=CD,AC=2AE=6cm,

又△ABC的周长=48+8£>+4£>=13cm,

AB+BD+CD=13cm,

即A8+BC=13cm,

二/\ABC的周长=A8+BC+AC=13+6=19cm.

故选C.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线

段的等量代换是正确解题关键.

2.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分垂足为点E,下列结论不一定成立的是（）

A.AB^ADB.NBCE=NDCEC.△BEUADECD.AB=BD

【答案】D

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB=A。，BC=BD,再对各选项进行逐一分析即可.

【解析】解：：AC垂直平分5。，

AB=AD,BC=CD,BE=DE,故A正确，该选项不符合题意；

BC=DC,

在.BEC和QEC中，＜CE=CE,

BE=DE,

:.BEC空DEC（SSS）,故C正确，该选项不符合题意，；

，N8C£=N〃CE,故B正确，该选项不符合题意；；

A8不一定等于80,故。错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一

点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.

3.下列条件中，不能判定直线C。是线段AB（C,/）不在线段AB上）的垂直平分线的是（）

A.CA^CB,DA=DBB.CA=CB,CDYAB

C.CA=DA,CB=DBD.CA=CB,CO平分AB

【答案】C

【分析】根据垂直平分线的概念逐个判断即可.

【解析】解：A、CA=CB,DA=DB,可以判定直线CD是线段A8（C,。不在线段AB上）的垂直平分线，不

符合题意；

B、CA=CB,CD1AB,可以判定直线C£＞是线段AB（C,。不在线段A8上）的垂直平分线，不符合题意；

C、CA=DA,CB=DB,不能判定直线8是线段A8（C,。不在线段AB上）的垂直平分线，符合题意：

D、CA=CB,C£＞平分4B,可以判定直线C£＞是线段4B（C,。不在线段AB上）的垂直平分线，不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题考查了垂直平分线的概念，解题的关犍是熟练掌握垂直平分线的概念.

4.如图，在ABC中，分别以点A和点8为圆心，大于〈A3长为半径画弧，两弧相交于点M、N,连接MN,

交BC于点D,交A3于点E,连接40.若..ABC的周长等于17,△ADC的周长为9,那么线段AE的长

等于（）

A.3B.3.5C.4D.8

【答案】c

【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得A£>=8力，AE=^AB,再由；MC的周长等

于17,ZWC的周长为9,可得AC+仞+CD=9,AC+CD+BD+,两式相减可得答案.

【解析】解：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，

AZ5C的周长为9,

AC+AD+CD=9,

_"C的周长等于17,

/.AC+CD+BD+AB=]1,

MV是4B的垂直平分线，

:.AD=BD,AE=^AB,

：.AC+CD+AD+AB=\1,

.,.AB=17-9=8,

:.AE=4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线

的性质.

5.如图，AD±BE,瓦>=DE,点E在线段AC的垂直平分线上，若AB=6cm,BD=3cm,则。C的长为

()

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【答案】c

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=4B=6,EA=EC,结合图形计算，得到答案.

【解析】解：AD1.BE,BD=DE,

AE=AB=6,

.点E在线段AC的垂直平分线上，

:.EA=EC,

:.DC=DE+EC=AB+BD=9（c”，），

故选：c.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

6.如图，线段AC的垂直平分线交线段A8于点。，ZBZ)C=100°,则ZA=()

A.30°B.50°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到8="＞，再由平角的定义求出一4)C的度数，最后利用三角

形内角和定理求解即可.

【解析】解：二♦线段AC的垂直平分线交线段A8于点。，

,CD=AD,

:ZBZX7=1(X)°,

:.ZADC=180°-ZBDC=80°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直

平分线的性质是解题的关键.

7.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,若/BAC=70。,

则/EAN的度数为()

B-FC

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】由三角形内角和180。解得ZB+ZC=110°,根据线段垂直平分线的性质，解得AEA=EB,NA=NC,

进而根据等边对等角性质，解得=ZNAC=NC,最后根据角的和差计算NEW的度数即可.

【解析】ZBAC=70°,

N8+NC=180°—70°=110°,

AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,

:.EA=EB,NA=NC,

:.NEAB=ZB,ZAMC=ZC,

NBAC=NBAE+ZNAC-4EAN=NB+NC-NEAN,

ZEAN=NB+NC—ZBAC=110。-70。=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和180。等性质，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

8.如图，AABC中，AD_LBC于点D,且BD=DC,E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上,

有下列结论：

①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；(3)AD=-AE；④BD=DC=CE,

2一

其中，正确的结论是()

A.只有①B.只有①②

C.只有①©③D.只有①④

【答案】B

【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CE,又可判定AB=AC,可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE,由

于/E不一定等于30。，于是得到AD不一定等于;AE,由BD=CD<AC,故④错误.

【解析】解：VBD=CD,AD±BC,

AAD垂直平分BC,

AB=AC,

•••C在AE的垂直平分线上，

:.AC=CE,

，AB=AC=CE,故①正确，

；.AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE,故②正确，

YNE不一定等于30°,

...AD不一定等于;AE,故③错误，

•；BD=CD<AC,故④错误.

故选B.

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解

题的关键.

9.如图，线段A8,OE的垂直平分线交于点C,HZABC=ZEDC=12°,/AEB=92°,则NEB。的度数为（）

A.118°B.128°C.126°D.136°

【答案】B

【分析】连接CE,依据线段AB,OE的垂直平分线交于点C,可得C4=C8,CE=CD,判定△ACE四△BCD,

可得NAEC=/BQC,设NAEC=/8QC=a,贝i」NBDE=72°-a,ZCEB=92°-a,

ZBED=ZDEC-ZCEB=12°-(92°-a)=a-20°,即可得到4中，ZEBD=180°-(72°-a)-(«-20°)=128°.

【解析】如图，连接CE,

•.•线段AB,OE的垂直平分线交于点C,

：.CA=CB,CE=CD,

"：ZABC=ZEDC=72°=ZDEC,

：./ACB=/EC£)=36。，

NACB-NBCE=NECD-/BCE,即NACE=NBCD,

在△ACE和ABC。中，

CA=CB,ZACE=ZBCD,CE=CD,

AAC£^△BCD(SAS),

，NAEC=NBDC,

设NAEC=NBDC=a,PJlJZBDE=72°-a,ZCEB=92°-a,

：.ZBED=ZDEC-ZCEB=72°-(92°-a)=a-20°,

在△BDE中，ZEBD=180o-(72°-a)-(ct-20o)=128°,

故选:B.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是

依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论.

10.如图，在等腰AABC中，AB^AC,ZBAC=50,NB4C的平分线与线段A8的中垂线交于点。，点

C沿EF折叠后与点。重合，则/CEF的度数是()

【答案】B

【分析】延长AO交BC于点M,连接OB,根据已知，求得NBA0=NABO25。，ZABC^ZACB=65°,继而

得至l」N。8c=NOCB-40。，设OC与EF的交点为G,根据折叠的性质，求得NEGC=90。,从而得到NCEF=50。.

【解析】如图，延长A。交8c于点M,连接。8,

因为=ABAC=50,NBAC的平分线与线段48的中垂线交于点。，

所以NG4O=/BAO=/ABO=25。，NABC=NACB=65°,直线AM是线段8c的垂直平分线，

所以OB=OC,ZOBC=Z0cB=40。，

设OC与EF的交点为G,根据折叠的性质,

所以NEGC=90。,

所以NCEQ50。.

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，折叠的性质，熟练掌握三条性

质是解题的关键.

二、填空题

11.线段的垂直平分线；经过并且的叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂

线）.

【答案】线段的中点垂直于这条线段直线

【分析】根据线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线

段的垂直平分线，即可求得答案.

【解析】解：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

故填：线段的中点，垂直于这条线段，直线.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的定义，比较简单，注意掌握线段垂直平分线的定义是解此题的关键.

12.如图，8垂直平分线段A8,且垂足为点则图中一定相等的线段有对.

【答案】3

【分析】由CO垂直平分线段A8,根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离

相等，可得AC=3C,AM=BM,AD=BD,从而求得答案.

【解析】垂直平分线段A8,

AC=BC,AM=BM,AD=BD.

...图中一定相等的线段有3对.

故答案为：3.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键.

13.如图，根据已知条件，填写由此得出的结论.

(1)ABC中，AB=AC,:.NB=.

(2)中，AB=4C,N1=N2,AO垂直平分

⑶：ABC中，AB=AC,ADYBC,：.BD=.

(4)；.ABC中，AB=AC,BD=DC,：.ADA..

【答案】NCBCCDBC

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，等边对等角可得；

(2)根据等腰三角形的性质，三线合一可得；

(3)根据三线合一可得；

(4)根据三线合一可得；

【解析】(1)「一ABC中，AB=AC,:.NB=/C.

(2)：ABC中，AB=AC,Z.\=Z2,二A£)垂直平分BC.

⑶；_A8C中，AB=AC,AD1BC,：.BD=CD.

(4)中，AB=AC,BD=DC,ADJ.BC.

故答案为：(1)/C；(2)BC；(3)CD；(4)BC

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

14.如图，在ABC中，AB=AC=10cm,AB的垂直平分线交AC于点。，且△88的周长为17cm,则

BC=cm.

【答案】7

【分析】根据。E是A3的垂直平分线可得4)=3。，结合△BCD的周长为17cm可得结论.

【解析】：止是A3的垂直平分线，

/.AD=BD,

,/△88的周长为17cm,

ABC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=\7(cm),

又；AB=AC=10cm,

BC=17-10=7(cm).

故答案为：7.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点到两端点的距离相等是解题的关键.

15.如图，在A4BC中，AB=AC,NA=42。，AB的垂直平分线交4B于点D,交AC于点E,连接BE,则NC8E

【答案】27

【分析】根据等腰三角形的性质求出/A8C=NC=69。，根据线段的垂直平分线的性质得到E4=EB,计算即

可.

【解析】'：AB=AC,ZA=42°,

，ZABC=ZC=69°,

DE是AB的垂直平分线，

：.EA=EB,

：.ZEBA=ZA=42°,

：.NCBE=/ABC-NEBA=27。,

故答案为：27.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

16.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,若/BAC=100。，则/DAE=.

【答案】20。

【分析】由垂直平分线的性质可知：NB=NBAD,ZC=ZCAE,即得：NDAE=NBAC—NB—NC,即

NDAE=ABAC-(1800-ABAC),即求出ZDAE=2伊.

【解析】由垂直平分线的性质可知：ZB=ZBAD,ZC=ZCAE,

'：ZDAE^ZBAC-ZBAD-ZCAE,

：.NDAE=NBAC-NB-NC,即ND4E=NBAC-(N8+NC),

ZDAE=ABAC-(1800-ABAC),EpZDAE=100°-(180°-100°),

ZO4£=20°

故答案为：20°.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理.由垂直平分线的性质得出

NB=NBAD,NC=NC4E是解答本题的关键.

17.如图，线段A8,BC的垂直平分线《4交于点O.若NB=35°,则N4OC=°

【答案】70

【分析】连接OB,由线段垂直平分线的性质求得AO=OB=OC,由等腰三角形的性质得NA=NABO,

ZC=ZCBO,进而得至IJ/A+NC=/ABC,然后利用三角形外角的性质求解.

【解析】解：连接BO并延长，如图：

线段AB,BC的垂直平分线交于点。

AAO=OB=OC

.♦.A=NABO,ZC=ZCBO

，ZA+ZC=ZABC=35°

/•ZAOC=ZAOD+ZCOD=ZA+ZABO+ZC+ZCBO=ZA+ZC+ZABC=10

故答案为：70

【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂

直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

18.如图，等腰三角形ABC的底边8C长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于E,F

点，若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM的周长的最小值为.

D

B

【答案】9.

【分析】连接AD,AM,由于AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADJ_BC,再根据三角形的

面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C,

MA=MC,推出MC+DM=MA+DMNAD,故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【解析】连接AO,MA.

「△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.AD±BC,

：.SAABC=^BC>AD=；x6xA£>=18,解得AD=6,

,：EF是线段AC的垂直平分线，

...点A关于直线EF的对称点为点C,

：.MC+DM=MA+DM>AD,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

的周长最短=(CM+MD)+CQ=AO+1BC=6+：X6=6+3=9.

故答案为9.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质

得出AM=MC,并由此得出MC+DM=MA+DM>AD是解决此题的关键.

三、解答题

19.已知，如图，在△ABC中，AB<AC,8c边上的垂直平分线。E交8c于点£>,交AC于点E,AC=8,

△ABE的周长为14,求AB的长.

【答案】6

【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算.

【解析】解：•••£）£是BC的中垂线，

：.BE=EC,

贝ijAC=EC+AE=BE+EA^S,

又•.,△48E的周长为14,

故AB=14-8=6.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等，

熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键.

20.如图，在AABC中，ABAC=120°,ZB=40°,边AB的垂直平分线与边A8交于点E,与边BC交于

点、D.

（1）求NADC的度数：

（2）求证：AACD为等腰三角形.

【答案】（1）ZADC=80°；（2）见解析.

【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得DB=DA,根据等腰三角形的性质可得/B=/DAB,利用三角形

外角的性质求出NADC的度数即可；

（2）根据角的和差关系可求出NDAC=80。，可得/ADC=/DAC,即可证明CA=CD,可得△ACD是等腰

三角形.

【解析】（1）•••£>£：垂直平分A8,

,DB=DA,

:.ZB=Z.DAB

"：4=40°,

ZB=ZZMB=4O°,

，AADC=ZB+NDAB=80°.

(2)VZBAC=120°,ZDAB=40°,

，ADAC=ZBAC-ZDAB=120°-40°=80°,

,/ZAZX7=8O°,

:.ZADC=ZDAC,

：.CA=CD,

"8为等腰三角形.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握垂直平分线

上的点到相等两端点的距离相等及等角对等边的性质是解题关键.

21.如图，已知.ABC,其中AB=AC.

(1)作AC的垂直平分线交AC于点。，交A3于点E,连结CE(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)所作的图中，若BC=7,AC=9,求一BCE的周长.

【答案】(1)见解析

⑵16

【分析】(1)根据题意作出AC的垂直平分线。E,交AC于点交48于点E,连结CE即可；

(2)根据垂直平分线的性质得出E4=EC,根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解.

(1)

如图所示,

D

E

(2)

・・・OE是4c的垂直平分线，

EA=EC,AB=AC

VBC=7,AC=9,

:..BCE的周长=8E+EC+CB

=BE+AE+BC

=AB+BC

=7+9

=16.

【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.

22.如图，△ABC中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于点凡交BC于点E,S.BD=DEf连接

⑴求证：AB=EC；

(2)若△ABC的周长为14cm,AC=6cm,求0c长.

【答案】(1)见解析

(2)4cm

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC,AB=AE,即可求证；

(2)根据△ABC的周长为14cm,可得48+8C=8(cm),再由A8=EC,BD=DE,nJWDC=DE+EC=y

(AB+BC),即可求解.

(1)

证明：・・・EF垂直平分AC,

：.AE=EC,

VAD1BC,BD=DE,

：.AB=AE,

：.AB=EC；

(2)

解：・・•△ABC的周长为14cm,

：.AB+BC+AC=]4(cm),

VAC=6cm,

.\AB+BC=S(cm),

VAB=EC,BD=DE,

：.DC=DE+EC=~(AB+BC)=4(cm).

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

是解题的关键.

23.如图，8平分/ACS,DELCA,DFLCB.求证：

(I)ACDE/ACDF；

(2)CO垂直平分EF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(D直接利用AAS证明ACDE名ACDF即可；

(2)根据全等三角形的性质得到DE=DE。£=。/即可证明8垂直平分后尸.

【解析】(1)解：...8平分NAC5,DE1CA,DFLCB,

：.ZDCE=ZDCF,ZDEC=ZDFC=90°,

又•：CD=CD,

：.△(?£)£■丝△CDF(AAS)；

(2)解：ACDE^ACDF,

ADE=DF,CE=CF,

CD垂直平分EF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，证明

△CDE^ACDF是解题的关键.

24.已知，在AABO中，ZABD=45°,ZAZ)3=90°,点B关于直线A£＞的对称点为E,连接AE,点C在

射线。E上，作直线4C,作ENLAC于N,8例，47于M.

(1)若点C在点E的右边，如图1,若EN=1,BM=3,求MN的长；

(2)当点C在线段。E上运动时，请求出EMBM,MN之间的数量关系.

【答案】(1)4

Q)BM=MN+EN

【分析】(1)根据对称的性质，44%)=45。，4403=90°，得到：AB=AE,ZBAE=90°,根据同角的

余角相等，得到NA/8A=NE4N,证明：AMBAMNAE,利用的V=AM+AN即可得解；

(2)如图，同(1)证明△AffiA=AM4E,得到4W=EN,AN=BM,即可求出.

(1)

解：点5和点E关于直线AO对称，

.••AO是线段BE的垂直平分线，

AB=AE,

：.ZAED=ZABD=45°,

：.NBA£=180°-ZAB£)—ZAED=90°,

VENIAC,BMAC

ZBMA=ZANE=90°

，ZBAM+ZABM=90°f

•//BAM+ZEAN=180°-NBAE=90°,

・・・ZABM=ZNAE

：.^MBA=/\NAE(AAS),

:・AM=EN=1,AN=BM=3,

：.MN=AM+AN=l+3=4；

(2)

解：点5和点E关于直线AQ对称，

：.AD是线段BE的垂直平分线，

:.AB=AE,

：.ZAED=ZABD=45°,

・・・ZBAE=180°-ZABD-ZAED=9()°,

VENIAC,BM1AC

：.ZBMA=ZANE=90°

：.NBAM+NABM=90。,

*/NB4M+NE4N=90。，

，ZABM=ZNAE

：./\MBA=/\NAE(AAS),

：・AM=EN,AN=BM,

•/AN=AM+MN

JBM=MN+EN.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.熟练掌握对称的性质，同角的余角相等是解题的关键.在求

解线段之间的和差关系时，通常利用全等三角形进行证明.

25.如图，在AABC中，己知A8=AC,A3的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.

A

(1)若NABC=70。，则/NMA的度数是度.

(2)若AB=8cm,△的周长是14cm.

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△P8C周长的最小值.

【答案】(1)50

(2)@6；②14

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；

(2)①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得然后求出^MBC的周

长