新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册

1．1.1空间向量及其运算[课标解读]

1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习

大小方向模长度长度2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做________，记为0单位向量________的向量称为单位向量相反向量与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向________且模________的向量称为相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线________________，则这些向量叫做________或________零向量模为1相等相反相同相等同向等长互相平行或重合共线向量平行向量状元随笔平面向量的有关概念和约定，能否将它们从平面推广到空间？[提示]只要去掉“在平面内”的限定，平面向量的概念与约定都可以原封不动地推广到空间中．知识点二空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间向量的运算加法减法数乘加法与数乘运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb状元随笔空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？[提示]完全一致．凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们．知识点三空间向量的夹角如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，记作________．非零∠AOB〈a，b〉[0，π]互相垂直a⊥b知识点四两个向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.2．数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝________λ(a·b)b·aa·c＋b·c知识点五两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔________③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________④|a·b|≤|a|·|b|a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2

基础自测1.下列命题中，假命题是(

)A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相反向量的和为零向量C．只有零向量的模等于0D．空间中任意两个单位向量必相等答案：D解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．

120°60°相等相反4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．120°

课堂探究·素养提升

答案：B

方法归纳(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

①②

(2)下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为(

)A．①②③B．④C．③④

D．①④答案：B解析：对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．题型2空间向量的加、减法运算【思考探究】向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？[提示]

(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法．(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．

状元随笔一般地，起点相同三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？[提示]起点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量，也称平行六面体法则．

(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．

状元随笔空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示]任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．方法归纳(1)空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π].(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．

答案：(1)60°

(2)120°

(3)180°

(4)120°

(5)60°

(6)120°

状元随笔根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．

(2)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．

方法归纳1．利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：2．求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．3．证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．4．证明与空间向量a，b，c有关的