小学数学3年级培优奥数讲义 第02讲 寻找规律（含解析）

第02讲寻找规律

N学习砌&-

?发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。

0知识梳理

■*

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1,2,3,4,……双数列：2,

4,6,8,……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填

写空缺的数。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般

情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1.根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2.根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认

为是正确的。

对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：

1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方

法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；

2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位

置有关，这是我们解这类题的突破口。

3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

典例分析

考点一:发现数列规律

例1、填上合适的数。

(1)3,6,9,12,(),()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

例2、找出规律，再在括号里填上合适的数。

(1)15,2,12,2,9,2,(),()

(2)21,4,18,5,15,6,(),()

(3)3,4,7,3,4,10,3,4,13,(),()

(4)187,286,385,(),()

例3、1,1,2,3,5,8,13,(),34,55.......中，括号里应填什么数？

例4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在口里填上适当的数。

(8,4)(5,7)(10,2)(口，9)

考点二：发现规律填写图形内空缺的数

例1、根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

(1)

⑵

41233524

4643

例3、根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。

nono

u

例4、根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？

考点三：根据规律速求复杂算式的值

例1、先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得

数。12345679x9=12345679x18=

12345679x54=12345679x81=

例2、找规律计算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63

(2)72—27=(7-2)x9=5x9=45

(3)63—36=(口一口)、9=口*9=口

例3、计算(1)26x11(2)38x11

例4、下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问：第100个数组内3个数的和是多少？

考点四：用周期规律解决数学问题

例1、求67999的个位数字。

例2、求2%+3291的个位数字。

例3、求下式除法运算所得的余数:

555+3。

例4、某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7

个分为一组，还剩下几个细菌？

实战演练

＞课堂狙击

1、在括号内填上合适的数。

(1)2,4,6,8,10,(),()

(2)1,2,5,10,17,(),()

(3)2,8,32,128,(),()

【解析】⑴12；14(2)26;37(3)512;2048

2、按规律填数。

(1)2,1,4,1,6,1,(),()

(2)3,2,9,2,27,2,(),()

(3)18,3,15,4,12,5,(),()

3、找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

(1)

⑵AAA

AAAAAA

4、先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

(1)2,2,4,6,10,16,(),()

(2)34,21,13,8,5,(),2,()

(3)0,1,4,15,56,()

5、求以下除法运算所得的余数。

7855+5

6、在方框内填出合适的数。

H168r5H

1二

1610<9□

n9

■163?30

7、找规律，写得数。

1+0x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=

8,利用规律计算。

(1)53-3582-2892-2987+7861-1695—5939x1146x11

(2)根据62+26=(6+2)x11=8x11=88,计算87+78=

9、求28已8一2929的个位数字。

＞课后反击

1、在括号内填上合适的数。

(1)1,5,25,125,(),()

(2)1,15,3,13,5,11,(),()

(3)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(4)(100,50)(86,43)(64,32)(口，21)

(5)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

2、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。

3、根据规律，在空格内填数。

(1)198,297,396,(),()

32542145

38642665

4、下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在口里填上适当的数。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(0,3)

⑵(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(口，5)

⑷(2,3)(5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

5、找规律，写得数。

1X1=11X11=111X111=111111111X111111111=

6、利用规律计算。

(1)61-16(2)95-59

(3)39x11(4)46x11

7、求291+3291的个位数字。

，直击赛场.

1、下面是一组被打乱的数字，在被打乱之前它们之间有一个非常有趣的规律。你试着找找看,

然后按其原有的规律重新把下面的数字排列起来，并说明原来的规律是什么。(启智杯2010)

3,5,13,21,1,1,2,8

孥、名师点拨晶

一整数a与它本身的乘积，即axa叫做这个数的平方，记作a2,即a2=axa；同样，三个a

的乘积叫做a的三次方，记作a3,即a3=axaxa。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记

作an,即

n

a=axaxax-xa

n-t-a

我们需要掌握an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。

因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个

位数有关，而a的个位数只有0,1,2,…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们可以列出表格，看看a,

a2,a3,a4,…的个位数字各是什么。从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：

(1)当a的个位数是0,1,5,6时，an的个位数仍然是0,1,5,6。

(2)当a的个位数是4,9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。

其中a的个位数是4时，按4,6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9,1的顺序循环出

现。

(3)当a的个位数是2,3,7,8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环

出现。其中a的个位数是2时，按2,4,8,6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3,9,

7,1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7,9,3,1的顺序循环出现；当a的个位数

是8时，按8,4,2,6的顺序循环出现。

耍学霸经验

»一本节课我学到

＞我需要努力的地方是

第02讲寻找规律

教学目标

?发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。

工知识梳理.

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1,2,3,4,……双数列：2,

4,6,8,……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填

写空缺的数。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般

情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1.根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2.根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认

为是正确的。

对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：

1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方

法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；

2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位

置有关，这是我们解这类题的突破口。

3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

典例分析

考点一:发现数列规律

例1、填上合适的数。

(1)3,6,9,12,(),()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

【解析】(1)前一个数加上3就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是3.根据这一规律，

可以后推知括号里填15和18.

(2)第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是每相邻两个数

的差依次是1,2,3,4....,这样下一个数应比11大5,填16；再下一个数应比16大6,填22.

(3)后一个数是前一个数的3倍，162和486

例2、找出规律，再在括号里填上合适的数。

(1)15,2,12,2,9,2,(),()

(2)21,4,18,5,15,6,(),()

(3)3,4,7,3,4,10,3,4,13,(),()

(4)187,286,385,(),()

【解析】(1)第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数，第二、第四、第六个数不

变。应填6,2.(2)第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数；第二个数加1是第四

个数，第四个数加1是第六个数。应填12,(3)每三个为一组，每组中的前两个数都是3,4,每

组的第三个数都等于前一组第三个数加上3的和。填3,4,16(4)每个数十位上的数字8不变，

百位上的数字依次是1,2,3....,个位上的数字依次是7,6,5…，并且百位上的数字与个位上的数字

的和是8,应填484,583

例3、1,1,2,3,5,8,13,(),34,55……中，括号里应填什么数？

【解析】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。

根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34—13=21

上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列，也叫做“兔子数列”。

例4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在口里填上适当的数。

(8,4)(5,7)(10,2)(口，9)

【解析】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这

一规律，口里所填的数应为：12—9=3

考点二：发现规律填写图形内空缺的数

例1、根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

【解析】(1)横着看，图形中右边的数比左边的数多5；竖着看，下面的数比上面的数多4；斜

着看，和相等。根据这一规律，应填18.

(2)通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系4x8+2=16,7x8+4=14,也就是说

中心的数等于上面的数与左下方的数的乘积除以右下方的数。9x4+3=12,应填12

例2、按规律填数。

233141233524

25414643

【解析】通过观察可以发现前两个图形里的数之间有一定的联系：左上方的数十位上的数字

和右上方的数个位上的数字分别与下面的数的千位、个位上的数字相同，左上方的数十位上的

数字分别与右上方的数十位上的数字之和与下面的数百位上的数字相同，左上方的数个位上的

数字与右上方的数个位上的数字之和与下面的数十位上的数字相同。根据这一规律，应填3594.

例3、根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。

【解析】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18,8+7=15，即

每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。

例4、根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？

【解析】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：

5x12+10=64x20+10=8

根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8x30-10=24.

考点三：根据规律速求复杂算式的值

例1、先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得

数。12345679x9=12345679x18=

12345679x54=12345679x81=

【解析】题中每个算式的第一个因数都是12345679,它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果

是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算

式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个lllllllllo

因为：12345679x9=111111111

所以：12345679X18=12345679x9x2=222222222

12345679x54=12345679x9x6=66666666612345679x81=12345679x9x9=999999999.

例2、找规律计算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63

(2)72—27=(7-2)x9=5x9=45

(3)63—36=(□一口69=39=口

【解析】6:；3；27经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置

后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9,所得的积就是这两个数的差。

例3、计算(1)26x11(2)38x11

【解析】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就

是所求的积。(1)26义11=2(2+6)6=286⑵38x11=3(3+8)8=418

注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。

例4、下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问：第100个数组内3个数的和是多少？

【解析】分析一：

数组的第1个分量依次是：1,2,3…构成等差数列，所以第100个数组中的第1个数为

100；

数组的第2个分量3,6,9…也构成等差数列，所以第100个数组中的第2个数为

3x100=300；

同理，第3个分量为5x100=500,所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900o

解：第100个数组内三个数的和为100+300+500=900o

分析二：

以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。

第1组：1+3+5=9,第2组：2+6+10=18第3组：3+9+15=27…，

9,18,27…构成一等差数列，第100项为9x100=900,即第100个数组内三个数的和为

900o

解：9x100=900,即第100个数组内三个数的和为900。

考点四：用周期规律解决数学问题

例1、求67999的个位数字。

【解析】因为67的个位数是7,所以67n的个位数随着n的增大，按7,%3,1四个数的顺

序循环出现。

999+4=249.......3,

所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。

例2、求2%+3291的个位数字。

【解析】因为2n的个位数字按2,4,8,6四个数的顺序循环出现，91-4=22……3,所以，

291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。类似地，3n的个位数字按3,9,7,1四个数

的顺序循环出现，

291-4=72……3,所以3291与33的个位数相同,等于7。

最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3、求下式除法运算所得的余数：

555+3。

【解析】因为a+3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。

为了寻找5n-3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n,然后再除以3去求，而是用上次的余数乘

以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余数是1,53除以3的余数与1x5=5除以3的余

数相同。这是因为52=3x8+1,其中3x8能被3整除，而53=(3x8+l)x5=(3x8)x5+lx5,(3x8)x5

能被3整除，所以53除以3的余数与1x5除以3的余数相同。由上表看出，5n除以3的余数,

随着n的增大，按2,1的顺序循环出现。由55+2=27……1知，555+3的余数与51+3的余数

相同，等于2。

例4、某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7

个分为一组，还剩下几个细菌？

【解析】1时后有lx3=31（个）细菌,2时后有31x3=32（个）细菌……20时后,有320个细菌，

所以本题相当于“求320+7的余数”。将3的各次方除以7的余数列表，由表看出，3n-7的余

数以六个数为周期循环出现。由20+6=32知，320+7的余数与32+7的余数相同，等于2。

所以最后还剩2个细菌。最后再说明一点，an+b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期

性变化规律，因为所得余数必然小于b,所以在b个数以内必会重复出现。

实战演练

＞课堂狙击

1、在括号内填上合适的数。

(1)2,4,6,8,10,(),()

(2)1,2,5,10,17,(),()

(3)2,8,32,128,(),()

【解析】(1)12；14(2)26;37(3)512;2048

2、按规律填数。

(1)2,1,4,1,6,1,(),()

(2)3,2,9,2,27,2,(),()

(3)18,3,15,4,12,5,(),()

【解析】⑴8;1(2)81;2(3)9;6

3、找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

(1)

⑵企AA

【解析】（席&

（2）16；通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:7x8+2=28；9x6+2=27

也就是说右下角数字等于三角形上面数字与左下角数的乘积除以2

4、先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

(1)2,2,4,6,10,16,(),()

(2)34,21,13,8,5,(),2,()

(3)0,1,4,15,56,()

【解析】(1)26,42后一位数字等于前两位数字之和

(2)3,1后一位数字等于前两项数字之差

(3)209lx4-0=44x4-1=1515x4-4=5656x4-15=209

5、求以下除法运算所得的余数。

7855+5

【解析】(1)由55+4=13……3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2,所以7855可

分解为10xa+2。因为10xa能被5整除，所以7855除以5的余数是2。

6、在方框内填出合适的数。

_d

H16HrnH

16二109n

n9n1630

【解析】⑴13；9+7=1616+5=214+9=13

(2)2；8+10+12=305+9+16=3017+11+2=30

(3)20；12-12+4=935-35+7=3024-24+6=20

7、找规律，写得数。

1+0x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=

【解析】1；11；111；1111；111111111

8、利用规律计算。

(1)53-3582-2892-2987+7861-1695-5939x1146x11

(2)根据62+26=(6+2)x11=8x11=88,计算87+78=

【解析】(1)18；54；63；165；45；429；506

(2)165

9、求28^8-2929的个位数字。

【解析】由128+4=32知,28128的个位数与84的个位数相同,等于6。由29+2=14...1知，

2929的个位数与91的个位数相同，等于9。因为6V9,在减法中需向十位借位，所以所求个

位数字为16-9=7o

＞课后反击

1、在括号内填上合适的数。

(1)1,5,25,125,(),()

(2)1,15,3,13,5,11,(),()

(3)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(4)(100,50)(86,43)(64,32)(0,21)

(5)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

【解析】(1)625；3125

(2)7;9;乘积均为24

(3)13；每组数两数之差均为2

(4)42；每组数两数之商均为2

(5)4；每组数两数之积均为48

2、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。

【解析】15；可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：3x6+2=9

5x12+2=305x12+2=303x10+2=15

3、根据规律，在空格内填数。

(1)198,297,396,(),()

325421453257

38642665

【解析】(1)495,594(2)3897

4、下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(口，3)

(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(0,5)

(4)(2,3X5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

【解析】(1)12;

(2)6;乘积均为24

(3)21；每对括号里的数，前一个和后一个差分别是18-17=1=1的平方14-10=4=2的平方

10-1=9=3的平方所以口-5=4的平方16+5=21

(4)17；3=2x2-1,9=5x2-113=7x2-1,9x2-1=17

(5)14；每组两数之差依次是1,2,3,4

5,找规律，写得数。

1X1=11X11=111X111=111111111X111111111=

【解析】1；121；12321；12345678987654321

6、利用规律计算。

(1)61-16(2)95-59

(3)39x11(4)46x11

【解析】(1)45；(2)36；(3