初中数学-2.1-2.2 不等关系 不等式的基本性质（备课件）-2021-2022学年八年级数学下册同步备课系列（北师大版）

北师大版

八年级下册数学第二章

一元一次不等式与一元一次不等式组

2.1-2.2不等关系

不等式的基本性质

现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？

例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，

则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系.如：156>155或155<156.155cm156cm问题引入问题1

如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？

我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x>50.问题引导一、不等式的概念问题2

一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？

根据路程与速度、时间之间的关系可得：s>60x，且s<100x.问题3

铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.

根据题意可得：a+b+c≤160.

观察由上述问题得到的关系式：156>155，155<156，x>50，s>60x，s<100x,a+b+c≤160，它们有什么共同的特点？总结归纳

一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式（inequality）.

左右不相等

注意:用符号“≠”连接的式子也叫不等式.1.下列式子中,是不等式的是

()A.x+1=0 B.2xC.x2-2x-3 D.+3>0D练一练2.用适当的符号表示下列关系:(1)a的2倍比a与3的和小;(2)y的一半与5的差是非负数;(3)a,b两数的和的平方不大于3;(4)y的3倍与x的4倍的和是负数;(5)某天的气温x不高于25℃.解：（1）2a<a+3.（2）y-5≥0.（3）≤3.（4）3y+4x<0.（5）x≤25.还记得等式的基本性质吗？想一想：不等式有类似的性质吗？1.等式的两边同时加（或减）_____代数式，所得结果仍是_____.同一个等式2.等式的两边同时乘_______（或___同一个_____的数），所得结果仍是_____.同一个数除以不为0等式二、不等式的基本性质

不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.用字母表示：如果a>b，那么a+c>b+c，a–c>b-c.如果a<b，那么a+c<b+c，a–c<b-c.练习将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）x+4>7.（2）5x<3+4x.解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都减4，得x+4-4>7-4，即x>3.

（2）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都减4x，得5x-4x<3+4x-4x，即x<3.做一做完成下列填空：2<3;2×5_____3×5;2×(-1)_____3×(-1);2×(-5)_____3×(-5);2×_____3×;<<>>你能得到什么结论？

不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向____.不变用字母表示：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，.如果a<b，那么ac<bc，.

不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向____.改变用字母表示：如果a>b，并且c<0，那么ac<bc，.如果a<b，并且c<0，那么ac>bc，.例将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）x-5>-1.（2）-2x>3.解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式两边都加5，得x-5+5>-1+5，即x>4.

（2）根据不等式的基本性质3，在不等式两边都除以-2，得x<.1.下列式子是否正确?为什么?（1）若x>-3，则x>-6；（2）若-3x<2，则x<;（3）若m<n，则.练一练解：（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边都乘2，不等号的方向不变，所以x>6，所以（1）正确.（2）根据不等式的基本性质3，不等式两边都除以-3，不等号的方向改变，所以x>,所以（2）正确.（3）当a=0时，，所以（3）不正确.2.甲、乙两名同学讨论一个问题,甲同学认为“5a>4a”,乙同学认为“5a<4a”,这两名同学的观点是否正确?为什么?解:这两名同学的观点都不正确.由5>4可知,当a>0时,根据不等式的基本性质2,得5a>4a;当a=0时,5a=4a;当a<0时,根据不等式的基本性质3,得5a<4a.解：（1）不等式的两边都加上5，由不等式基本性质1，得

x＞

－1

+5，即

x

＞4.例

将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”的形式.（1）x－5

＞

－1；（2）－2x＞

3

；（2）不等式的两边都除以－2，由不等式基本性质3，得利用不等式的性质把不等式化成x＞a、x＜a的形式（3）x－7

<8，解：不等式的两边都加上7，由不等式基本性质1，得x－7+7

<8+7，即

x

<15.（3）x－7<8；（4）3x<2x－3.（4）3x<2x－3，不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得

3x－2x<2x－3－2x，即

x<－3.1.用“＜”或“＞”号填空：(1)－7____－5；(2)(－4)2____(－3)2；(3)|－0.5|____|－1000|；(4)3＋4____1＋4；(5)5＋3____12－5；(6)6×3____4×3；(7)6×(－3)____4×(－3).＜＞＜＞＞＞＜2.用适当的符号表示下列关系：(1)a是负数；(2)a是非负数；(3)a与b的和小于5；(4)x与2的差大于－1；(5)x的4倍不大于7；(6)y的一半不小于3．a＜0a≥0a＋b＜5x－2＞－14x≤7y≥33.下列说法不一定成立的是（）.A.若a>b，则a+c>b+cB.若a+c>b+c，则a>bC.若a>b，则ac2>bc2D.若ac2>bc2，则a>bC4.a，b两个实数在数轴上对应点的位置如图所示，用“>”或“<”填空.

（1）a___b；（2）|a|___|b|;（3）a+b___a-b；（4）ab___a.0ab><<<5.某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元.已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了多少支？（只列关系式）【解析】设其中签字笔购买了x支，则圆珠笔买了（15-x)支，根据题意可得:26＜2x+1.5(15-x)＜27.6.用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表所示,要配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式.【解析】因为用甲种原料x千克，所以用乙种原料（10-x）千克，则甲种原料x千克含维生素C为600x单位，乙种原料（10-x）千克含维生素C为100（10-x）单位.根据题意，得600x+100(10-x)≥4200.通过本课时的学习，需要我们掌握：1.不等式的概念：用符号“<”(或“≤”），“＞”（或“≥”）连